INTERNE UND EXTERNE WINKEL KONJUGIEREN: BEISPIELE, ÜBUNGEN - MATHE - 2025

Die Winkelkonjugate sind diejenigen, die zu den Ergebnissen hinzugefügt werden, um 360 zu sein, unabhängig davon , ob die Winkel benachbart sind oder nicht. In Fig. 1 sind zwei konjugierte Winkel gezeigt, die mit α und β bezeichnet sind.

In diesem Fall haben die Winkel α und β in der Figur einen gemeinsamen Scheitelpunkt und ihre Seiten sind gemeinsam, daher sind sie benachbart. Die Beziehung zwischen ihnen wird wie folgt ausgedrückt:

α + β = 360º

Figure 1. Zwei konjugierte Mittelwinkel, Summe. Quelle: Wikimedia Commons. Kein maschinenlesbarer Autor angegeben. Thiago R Ramos vermutet (basierend auf Urheberrechtsansprüchen). Es ist eine Klassifizierung der Winkel nach ihrer Summe. Andere wichtige Definitionen umfassen komplementäre Winkel, deren Summe 90º beträgt, und ergänzende Winkel, die insgesamt 180º betragen.

Betrachten wir nun zwei parallele Linien, die von einer Sekante geschnitten werden und deren Anordnung unten dargestellt ist:

Abbildung 2. Parallele Linien, die von einer Sekante geschnitten werden. Quelle: F. Zapata.

Die Linien MN und PQ sind parallel, während die Linie RS sekant ist und die Parallelen an zwei Punkten schneidet. Wie zu sehen ist, bestimmt diese Konfiguration die Bildung von 8 Winkeln, die mit Kleinbuchstaben bezeichnet wurden.

Nun, gemäß der am Anfang gegebenen Definition sind die Winkel a, b, c und d konjugiert. Und auf die gleiche Weise sind e, f, g und h, da beide Fälle wahr sind:

a + b + c + d = 360º

UND

e + f + g + h = 360º

Bei dieser Konfiguration werden zwei Winkel konjugiert, wenn sie sich in Bezug auf die Sekantenlinie RS auf derselben Seite befinden und beide intern oder extern sind. Im ersten Fall sprechen wir von internen konjugierten Winkeln, während es sich im zweiten Fall um externe konjugierte Winkel handelt.

Beispiele

In 2 sind die Außenwinkel diejenigen, die außerhalb des durch die Linien MN und PQ begrenzten Bereichs liegen, sie sind die Winkel A, B, G und H. Während die Winkel zwischen den beiden Linien sind C, D, E und F.

Nun muss analysiert werden, welche Winkel links und welche rechts von der Sekante liegen.

Links von RS sind die Winkel A, C, E und G. Und rechts sind die Winkel B, D, F und H.

Wir bestimmen sofort die konjugierten Winkelpaare gemäß der Definition im vorherigen Abschnitt:

-A und G, extern und links von RS.

-D und F, intern und rechts von RS.

-B und H, extern und rechts von RS.

-C und E, intern und links von RS.

Eigenschaft konjugierter Winkel zwischen parallelen Linien

Die konjugierten Winkel zwischen parallelen Linien sind ergänzend, dh ihre Summe beträgt 180º. Auf diese Weise gilt für Abbildung 2 Folgendes:

A + G = 180º

D + F = 180º

B + H = 180º

C + E = 180º

Die Paare entsprechender Winkel für parallele Linien

Sie sind diejenigen, die sich auf derselben Seite der Sekantenlinie befinden, sie sind nicht benachbart und einer von ihnen ist intern und der andere ist extern. Es ist wichtig, sie zu visualisieren, da ihr Maß das gleiche ist, da sie gegenüber dem Scheitelpunkt entgegengesetzte Winkel haben.

Zurück zu Abbildung 2 werden die entsprechenden Winkelpaare wie folgt identifiziert:

-A und E.

-C und G.

-B und F.

-D und H.

Innenwinkel eines Vierecks

Vierecke sind vierseitige Polygone, darunter beispielsweise das Quadrat, das Rechteck, das Trapez, das Parallelogramm und die Raute. Unabhängig von ihrer Form ist es in jedem von ihnen richtig, dass die Summe ihrer Innenwinkel 360º beträgt, daher erfüllen sie die zu Beginn angegebene Definition.

Sehen wir uns einige Beispiele für Vierecke an und wie man den Wert ihrer Innenwinkel gemäß den Informationen in den vorhergehenden Abschnitten berechnet:

Beispiele

a) Drei der Winkel eines Vierecks messen 75º, 110º und 70º. Wie viel sollte der verbleibende Winkel messen?

b) Ermitteln Sie den Wert des Winkels ∠Q in Abbildung 3 i.

c) Berechnen Sie das Maß für den Winkel ∠A in Abbildung 3 ii.

Lösung für

Sei α der fehlende Winkel, so ist erfüllt:

α + 75º + 110º + 70º = 360º → α = 105º

Lösung b

Fig. 3i ist ein Trapez und zwei seiner Innenwinkel sind rechts, die an den Ecken mit einem farbigen Quadrat markiert sind. Für dieses Viereck wird Folgendes überprüft:

∠R + ∠S + ∠P + ∠Q = 360º; ∠S = ∠R = 90 °; ∠P = 60º

So:

∠ Q = 2 x 90º + 60º = 240º

Lösung c

Das Viereck in Abbildung 3 ii ist ebenfalls ein Trapez, für das Folgendes gilt:

∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 360º

So:

4x -5 + 3x + 10 +180 = 360

7x + 5 = 180

x = (180 - 5) / 7

x = 25

Um den in der Anweisung angeforderten Winkel zu bestimmen, verwenden wir ∠A = 4x - 5. Wenn wir den zuvor berechneten Wert von x einsetzen, folgt ∠A = (4 × 25) -5 = 95º

Übungen

- Übung 1

Wenn Sie wissen, dass einer der gezeigten Winkel 125 ° beträgt, finden Sie die Maße der 7 verbleibenden Winkel in der folgenden Abbildung und begründen Sie die Antworten.

Abbildung 4. Die Linien und Winkel der Übung 1. Quelle: F. Zapata.

Lösung

Winkel 6 und Winkel 125º sind interne Konjugate, deren Summe 180º beträgt, gemäß der Eigenschaft der konjugierten Winkel, daher:

+6 + 125º = 180º → ∠6 = 180º - 125º = 55º

Andererseits sind ∠6 und ∠8 entgegengesetzte Winkel des Scheitelpunkts, dessen Maß das gleiche ist. Daher misst ∠8 55º.

Der Winkel ∠1 ist auch dem Scheitelpunkt bei 125º entgegengesetzt, dann können wir bestätigen, dass ∠1 = 125º ist. Wir können auch darauf hinweisen, dass die entsprechenden Winkelpaare das gleiche Maß haben. In der Figur sind diese Winkel:

∠7 = 125 º

∠2 = ∠6 = 55 º

∠1 = ∠5 = 125º

∠4 = ∠8 = 55 º

- Übung 2

Finden Sie den Wert von x in der folgenden Abbildung und die Werte aller Winkel:

Abbildung 5. Linien und Winkel für Übung 2. Quelle: F. Zapata.

Lösung

Da es sich um entsprechende Paare handelt, folgt F = 73º. Andererseits beträgt die Summe der konjugierten Paare 180º, also:

3x + 20º + 73º = 180º

3x = 180º - 73º - 20º = 87

Schließlich ist der Wert von x:

x = 87/3 = 29

Wie alle Winkel sind sie in der folgenden Abbildung aufgeführt:

Abbildung 6. Winkel aus Übung 2. Quelle: F. Zapata.

Verweise

1. Winkelgruppen. Ergänzende, ergänzende und ergänzende Winkel Erläuterung. Wiederhergestellt von: thisiget.com/
2. Baldor, A. 1983. Ebenen- und Raumgeometrie und Trigonometrie. Patria Kulturgruppe.
3. Corral, M. Mathematik LibreTexts: Winkel. Wiederhergestellt von: math.libretexts.org.
4. Mathmania. Winkel klassifizieren und konstruieren durch ihre Messung. Wiederhergestellt von: mathemania.com/
5. Wentworth, G. Flugzeuggeometrie. Wiederhergestellt von: gutenberg.org.
6. Wikipedia. Winkel konjugieren. Wiederhergestellt von: es.wikipedia.org.