NULLWINKEL: DEFINITION UND EIGENSCHAFTEN, BEISPIELE, ÜBUNGEN - MATHE - 2025

Der Nullwinkel ist einer, dessen Maß 0 ist, sowohl in Grad als auch im Bogenmaß oder einem anderen System zur Winkelmessung. Daher fehlt es an Breite oder Öffnung, wie sie zwischen zwei parallelen Linien gebildet wird.

Obwohl seine Definition einfach genug klingt, ist der Nullwinkel in vielen physikalischen und technischen Anwendungen sowie in der Navigation und im Design sehr nützlich.

Abbildung 1. Zwischen der Geschwindigkeit und der Beschleunigung des Autos gibt es einen Winkel von Null, daher fährt das Auto immer schneller. Quelle: Wikimedia Commons.

Es gibt physikalische Größen, die parallel ausgerichtet werden müssen, um bestimmte Effekte zu erzielen: Wenn sich ein Auto in einer geraden Linie entlang einer Autobahn bewegt und zwischen seinem Geschwindigkeitsvektor v und seinem Beschleunigungsvektor a 0º liegt, bewegt sich das Auto immer schneller, aber wenn das Auto Bremsen, seine Beschleunigung ist entgegengesetzt zu seiner Geschwindigkeit (siehe Abbildung 1).

Die folgende Abbildung zeigt verschiedene Winkeltypen, einschließlich des Nullwinkels rechts. Wie zu sehen ist, fehlt dem 0º-Winkel die Breite oder Öffnung.

Abbildung 2. Winkeltypen, einschließlich des Nullwinkels. Quelle: Wikimedia Commons. Orias.

Beispiele für Nullwinkel

Es ist bekannt, dass parallele Linien miteinander einen Nullwinkel bilden. Wenn Sie eine horizontale Linie haben, verläuft diese parallel zur x-Achse des kartesischen Koordinatensystems, daher beträgt ihre Neigung dazu 0. Mit anderen Worten, horizontale Linien haben eine Steigung von Null.

Abbildung 3. Die horizontalen Linien haben eine Steigung von Null. Quelle: F. Zapata.

Auch die trigonometrischen Verhältnisse des Nullwinkels sind 0, 1 oder unendlich. Daher ist der Nullwinkel in vielen physikalischen Situationen vorhanden, die Operationen mit Vektoren beinhalten. Diese Gründe sind:

-sin 0º = 0

-cos 0º = 1

-tg 0º = 0

-sec 0º = 1

-cosec 0º → ∞

-ctg 0º → ∞

Und sie werden nützlich sein, um einige Beispiele für Situationen zu analysieren, in denen das Vorhandensein des Nullwinkels eine grundlegende Rolle spielt:

- Auswirkungen des Nullwinkels auf physikalische Größen

Vektoraddition

Wenn zwei Vektoren parallel sind, ist der Winkel zwischen ihnen Null, wie in 4a oben gezeigt. In diesem Fall wird die Summe von beiden durch Platzieren nacheinander ausgeführt, und die Größe des Summenvektors ist die Summe der Größen der Addenden (Abbildung 4b).

Abbildung 4. Summe der parallelen Vektoren, in diesem Fall ist der Winkel zwischen ihnen ein Nullwinkel. Quelle: F. Zapata.

Wenn zwei Vektoren parallel sind, ist der Winkel zwischen ihnen Null, wie in 4a oben gezeigt. In diesem Fall wird die Summe von beiden durch Platzieren nacheinander ausgeführt, und die Größe des Summenvektors ist die Summe der Größen der Addenden (Abbildung 4b).

Das Drehmoment oder Drehmoment

Das Drehmoment oder Drehmoment bewirkt die Drehung eines Körpers. Dies hängt von der Größe der ausgeübten Kraft und ihrer Anwendung ab. Ein sehr repräsentatives Beispiel ist der Schraubenschlüssel in der Abbildung.

Um den besten Dreheffekt zu erzielen, wird die Kraft senkrecht zum Schraubenschlüsselgriff nach oben oder unten ausgeübt. Es wird jedoch keine Drehung erwartet, wenn die Kraft parallel zum Griff ist.

Abbildung 5. Wenn der Winkel zwischen den Positions- und Kraftvektoren Null ist, wird kein Drehmoment erzeugt und daher kein Spin-Effekt. Quelle: F. Zapata.

Mathematisch ist das Drehmoment τ als das Vektorprodukt oder Kreuzprodukt zwischen den Vektoren r (Positionsvektor) und F (Kraftvektor) von 5 definiert:

τ = r x F.

Die Größe des Drehmoments ist:

τ = r F sin θ

Θ der Winkel zwischen R und F . Wenn sin θ = 0 ist, ist das Drehmoment Null, in diesem Fall ist θ = 0º (oder auch 180º).

Elektrischer Feldfluss

Der elektrische Feldfluss ist eine skalare Größe, die von der Intensität des elektrischen Feldes sowie von der Ausrichtung der Oberfläche abhängt, durch die es fließt.

In Fig. 6 gibt es eine kreisförmige Fläche des Bereichs A, durch die die elektrischen Feldlinien E verlaufen . Die Orientierung der Oberfläche ist durch den Normalenvektor n gegeben . Links bilden das Feld und der Normalenvektor einen beliebigen spitzen Winkel θ, in der Mitte bilden sie einen Nullwinkel miteinander und rechts stehen sie senkrecht.

Wenn E und n senkrecht sind, kreuzen die Feldlinien die Oberfläche nicht und daher ist der Fluss Null, während wenn der Winkel zwischen E und n Null ist, kreuzen die Linien die Oberfläche vollständig.

Die Definition des elektrischen Feldflusses durch den griechischen Buchstaben Φ (lesen Sie „fi“), seine Definition für ein einheitliches Feld wie in der Abbildung, sieht folgendermaßen aus:

Φ = E • n A.

Der Punkt in der Mitte beider Vektoren bezeichnet das Punktprodukt oder Skalarprodukt, das alternativ wie folgt definiert ist:

Φ = E · n A = EAcosθ

Der Fettdruck und die Pfeile über dem Buchstaben sind Mittel zur Unterscheidung zwischen einem Vektor und seiner Größe, die durch normale Buchstaben gekennzeichnet ist. Da cos 0 = 1 ist, ist der Fluss maximal, wenn E und n parallel sind.

Abbildung 6. Der elektrische Feldfluss hängt von der Ausrichtung zwischen der Oberfläche und dem elektrischen Feld ab. Quelle: F. Zapata.

Übungen

- Übung 1

Zwei Kräfte P und Q wirken gleichzeitig auf ein Punktobjekt X, wobei beide Kräfte anfänglich einen Winkel θ zwischen ihnen bilden. Was passiert mit der Größe der resultierenden Kraft, wenn θ auf Null abfällt?

Abbildung 7. Der Winkel zwischen zwei auf einen Körper einwirkenden Kräften nimmt ab, bis er aufgehoben wird. In diesem Fall erhält die Größe der resultierenden Kraft ihren Maximalwert. Quelle: F. Zapata.

Lösung

Die Größe der resultierenden Kraft Q + P nimmt allmählich zu, bis sie maximal ist, wenn Q und P vollständig parallel sind (Abbildung 7 rechts).

- Übung 2

Geben Sie an, ob der Nullwinkel eine Lösung der folgenden trigonometrischen Gleichung ist:

Lösung

Eine trigonometrische Gleichung ist eine Gleichung, bei der das Unbekannte Teil des Arguments eines trigonometrischen Verhältnisses ist. Um die vorgeschlagene Gleichung zu lösen, ist es zweckmäßig, die Formel für den Kosinus des Doppelwinkels zu verwenden:

cos 2x = cos ² x - sin ² x

Denn auf diese Weise wird das Argument auf der linken Seite zu x statt zu 2x. So:

cos ² x - sin ² x = 1 + 4 sin x

Andererseits ist cos ² x + sin ² x = 1, also:

cos ² x - sin ² x = cos ² x + sin ² x + 4 sin x

Der Begriff cos ² x wird aufgehoben und bleibt:

- sin ² x = sin ² x + 4 sin x → - ² sin ² x - 4 sinx = 0 → ² sin ² x + 4 sinx = 0

Nun wird die folgende Variablenänderung vorgenommen: sinx = u und die Gleichung wird:

2u ² + 4u = 0

2u (u + 4) = 0

Wessen Lösungen sind: u = 0 und u = -4. Wenn wir die Änderung zurückgeben, haben wir zwei Möglichkeiten: sin x = 0 und sinx = -4. Diese letzte Lösung ist nicht realisierbar, da der Sinus eines beliebigen Winkels zwischen -1 und 1 liegt. Wir haben also die erste Alternative:

sin x = 0

Daher ist x = 0º eine Lösung, aber jeder Winkel, dessen Sinus 0 ist, funktioniert auch, der auch 180º (π Radiant), 360º (2 π Radiant) und die jeweiligen Negative sein kann.

Die allgemeinste Lösung der trigonometrischen Gleichung lautet: x = kπ wobei k = 0, ± 1, ± 2, ± 3,…. k eine ganze Zahl.

Verweise

1. Baldor, A. 2004. Ebenen- und Raumgeometrie mit Trigonometrie. Publicaciones Cultural SA de CV Mexiko.
2. Figueroa, D. (2005). Reihe: Physik für Wissenschaft und Technik. Band 3. Partikelsysteme. Herausgegeben von Douglas Figueroa (USB).
3. Figueroa, D. (2005). Reihe: Physik für Wissenschaft und Technik. Band 5. Elektrische Wechselwirkung. Herausgegeben von Douglas Figueroa (USB).
4. OnlineMathLearning. Arten von Winkeln. Wiederhergestellt von: onlinemathlearning.com.
5. Zill, D. 2012. Algebra, Trigonometrie und analytische Geometrie. McGraw Hill Interamericana.