MITTLERE WINKELGESCHWINDIGKEIT: DEFINITION UND FORMELN, GELÖSTE ÜBUNGEN - KÖRPERLICH - 2025

Die mittlere Winkeldrehzahl ist definiert als der Winkel, der pro Zeiteinheit des Positionsvektors eines Punktes gedreht wird, der die Kreisbewegung beschreibt. Die Flügel eines Deckenventilators (wie der in Abbildung 1 gezeigten) folgen einer Kreisbewegung, und ihre durchschnittliche Winkeldrehzahl wird berechnet, indem der Quotient zwischen dem gedrehten Winkel und der Zeit genommen wird, in der dieser Winkel zurückgelegt wurde.

Die Regeln, denen die Rotationsbewegung folgt, sind den bekannten Regeln für die Translationsbewegung etwas ähnlich. Die zurückgelegten Entfernungen können auch in Metern gemessen werden. Die Winkelgrößen sind jedoch besonders relevant, da sie die Beschreibung der Bewegung erheblich erleichtern.

Abbildung 1. Die Lüfterflügel haben eine Winkelgeschwindigkeit. Quelle: Pixabay

Im Allgemeinen werden griechische Buchstaben für Winkelgrößen und lateinische Buchstaben für die entsprechenden linearen Größen verwendet.

Definition und Formeln

In Abbildung 2 ist die Bewegung eines Punktes auf einer Kreisbahn c dargestellt. Die Position P des Punktes entspricht dem Zeitpunkt t und die diesem Zeitpunkt entsprechende Winkelposition ist ϕ.

Ab dem Zeitpunkt t vergeht eine Zeitspanne Δt. In dieser Zeit ist die neue Position des Punktes P 'und die Winkelposition hat sich um einen Winkel Δϕ erhöht.

Abbildung 2. Kreisbewegung eines Punktes. Quelle: selbst gemacht

Die mittlere Winkelgeschwindigkeit ω ist der pro Zeiteinheit zurückgelegte Winkel, so dass der Quotient Δϕ / Δt die mittlere Winkelgeschwindigkeit zwischen den Zeiten t und t + Δt darstellt:

Da der Winkel im Bogenmaß und die Zeit in Sekunden gemessen wird, ist die Einheit für die mittlere Winkelgeschwindigkeit rad / s. Wenn wir die Winkelgeschwindigkeit gerade zum Zeitpunkt t berechnen wollen , müssen wir das Verhältnis Δϕ / Δt berechnen, wenn Δt ➡0 ist.

Gleichmäßige Rotation

Eine Drehbewegung ist gleichmäßig, wenn zu einem beobachteten Zeitpunkt der zurückgelegte Winkel im gleichen Zeitraum gleich ist. Wenn die Drehung gleichmäßig ist, stimmt die Winkelgeschwindigkeit zu jedem Zeitpunkt mit der mittleren Winkelgeschwindigkeit überein.

In einer gleichmäßigen Rotationsbewegung wird die Zeit, in der eine vollständige Umdrehung ausgeführt wird, als Periode bezeichnet und mit T bezeichnet.

Wenn eine vollständige Drehung durchgeführt wird, beträgt der zurückgelegte Winkel 2π, so dass bei einer gleichmäßigen Drehung die Winkelgeschwindigkeit ω mit der Periode T in Beziehung gesetzt wird, wobei die folgende Formel verwendet wird:

Die Frequenz f einer gleichmäßigen Drehung ist definiert als der Quotient zwischen der Anzahl der Windungen und der Zeit, die verwendet wird, um sie zu durchlaufen, dh wenn N Windungen in der Zeit Δt gemacht werden, ist die Frequenz:

f = N / Δt

Da eine Umdrehung (N = 1) in der Zeit T (der Periode) zurückgelegt wird, wird die folgende Beziehung erhalten:

f = 1 / T.

Das heißt, bei einer gleichmäßigen Drehung wird die Winkelgeschwindigkeit durch die Beziehung auf die Frequenz bezogen:

ω = 2π ・ f

Beziehung zwischen Winkelgeschwindigkeit und Lineargeschwindigkeit

Die lineare Geschwindigkeit v ist der Quotient zwischen der zurückgelegten Strecke und der dafür zurückgelegten Zeit. In 2 ist die zurückgelegte Strecke die Bogenlänge & Dgr; s.

Der Bogen Δs ist proportional zum zurückgelegten Winkel Δϕ und zum Radius r, wobei die folgende Beziehung erfüllt ist:

Δs = r ・ Δϕ

Vorausgesetzt, Δϕ wird im Bogenmaß gemessen.

Wenn wir den vorherigen Ausdruck durch den Zeitraffer Δt dividieren, erhalten wir:

(Δs / Δt) = r ・ (Δϕ / Δt)

Der Quotient des ersten Elements ist die lineare Geschwindigkeit und der Quotient des zweiten Elements ist die mittlere Winkelgeschwindigkeit:

v = r ・ ω

Gelöste Übungen

-Übung 1

Die in Abbildung 1 gezeigten Spitzen der Deckenventilatorflügel bewegen sich mit einer Geschwindigkeit von 5 m / s, und die Flügel haben einen Radius von 40 cm.

Berechnen Sie mit diesen Daten: i) die durchschnittliche Winkelgeschwindigkeit des Rads, ii) die Anzahl der Umdrehungen, die das Rad in einer Sekunde macht, iii) den Zeitraum in Sekunden.

Lösung

i) Die Lineargeschwindigkeit beträgt v = 5 m / s.

Der Radius beträgt r = 0,40 m.

Aus der Beziehung zwischen linearer Geschwindigkeit und Winkelgeschwindigkeit lösen wir letztere:

v = r ω => ω = v / r = (5 m / s) / (0,40 m) = 12,57 rad / s

ii) ω = 2π ・ f => f = ω / 2π = (12,57 rad / s) / (2π rad) = 2 Umdrehungen / s

iii) T = 1 / f = 1 / (2 Umdrehungen / s) = 0,5 s für jede Umdrehung.

-Übung 2

Ein Spielzeugkinderwagen bewegt sich auf einer Kreisbahn mit einem Radius von 2 m. Bei 0s ist seine Winkelposition 0 rad, aber nach der Zeit t ist seine Winkelposition

φ (t) = 2 ・ t.

Mit diesen Daten

i) Berechnen Sie die mittlere Winkelgeschwindigkeit in den folgenden Zeitintervallen; ;; und schließlich im Zeitraffer.

ii) Basierend auf den Ergebnissen von Teil i) Was kann über die Bewegung gesagt werden?

iii) Bestimmen Sie die mittlere lineare Geschwindigkeit im gleichen Zeitraum aus Teil i)

iv) Finden Sie die Winkelgeschwindigkeit und die lineare Geschwindigkeit für jeden Moment.

Lösung

i) Die mittlere Winkelgeschwindigkeit ergibt sich aus folgender Formel:

Wir berechnen den zurückgelegten Winkel und den Zeitablauf in jedem Intervall.

Intervall 1: Δϕ = ϕ (0,5 s) - ϕ (0,0 s) = 2 (rad / s) * 0,5 s - 2 (rad / s) * 0,0 s = 1,0 rad

Δt = 0,5 s - 0,0 s = 0,5 s

ω = Δϕ / Δt = 1,0 rad / 0,5 s = 2,0 rad / s

Intervall 2: Δϕ = ϕ (1,0 s) - ϕ (0,5 s) = 2 (rad / s) * 1,0 s - 2 (rad / s) * 0,5 s = 1,0 rad

Δt = 1,0 s - 0,5 s = 0,5 s

ω = Δϕ / Δt = 1,0 rad / 0,5 s = 2,0 rad / s

Intervall 3: Δϕ = ϕ (1,5 s) - ϕ (1,0 s) = 2 (rad / s) * 1,5 s - 2 (rad / s) * 1,0 s = 1,0 rad

Δt = 1,5 s - 1,0 s = 0,5 s

ω = Δϕ / Δt = 1,0 rad / 0,5 s = 2,0 rad / s

Intervall 4: Δϕ = ϕ (1,5 s) - ϕ (0,0 s) = 2 (rad / s) * 1,5 s - 2 (rad / s) * 0,0 s = 3,0 rad

Δt = 1,5 s - 0,0 s = 1,5 s

ω = Δϕ / Δt = 3,0 rad / 1,5 s = 2,0 rad / s

ii) Angesichts der vorherigen Ergebnisse, bei denen die durchschnittliche Winkelgeschwindigkeit in verschiedenen Zeitintervallen berechnet wurde und immer das gleiche Ergebnis erzielt wurde, scheint dies darauf hinzudeuten, dass es sich um eine gleichmäßige Kreisbewegung handelt. Diese Ergebnisse sind jedoch nicht schlüssig.

Der Weg, um die Schlussfolgerung sicherzustellen, besteht darin, die mittlere Winkelgeschwindigkeit für ein beliebiges Intervall zu berechnen: Δϕ = ϕ (t ') - ϕ (t) = 2 * t' - 2 * t = 2 * (t'-t)

Δt = t '- t

ω = Δϕ / Δt = 2 * (t'-t) / (t'-t) = 2,0 rad / s

Dies bedeutet, dass der Kinderwagen in jedem betrachteten Zeitraum eine konstante mittlere Winkelgeschwindigkeit von 2 rad / s hat. Sie können jedoch noch weiter gehen, wenn Sie die momentane Winkelgeschwindigkeit berechnen:

Dies wird so interpretiert, dass das Spielzeugauto jederzeit eine konstante Winkelgeschwindigkeit = 2 rad / s hat.

Verweise

1. Giancoli, D. Physics. Prinzipien mit Anwendungen. 6. Auflage. Prentice Hall. 30-45.
2. Kirkpatrick, L. 2007. Physik: Ein Blick auf die Welt. 6 ^ta Bearbeitung abgekürzt. Lernen einbinden. 117.
3. Resnick, R. (1999). Körperlich. Band 1. Dritte Ausgabe in Spanisch. Mexiko. Compañía Editorial Continental SA de CV 33-52.
4. Serway, R., Jewett, J. (2008). Physik für Wissenschaft und Technik. Band 1. 7 .. Auflage. Mexiko. Cengage Learning Editors. 32-55.
5. Wikipedia. Winkelgeschwindigkeit. Wiederhergestellt von: wikipedia.com