- Beweis des Grundsatzes der Arithmetik
- Einzigartigkeit der Primfaktorisierung
- Anwendungen
- Primzahlen in der Natur
- Primzahlen und Online-Shopping
- Gelöste Übungen
- - Übung 1
- Lösung
- - Übung 2
- Lösung
- Verweise
Der Grundsatz der Arithmetik besagt, dass jede natürliche Zahl größer als 1 als Produkt von Primzahlen zerlegt werden kann - einige können wiederholt werden - und diese Form ist für diese Zahl eindeutig, obwohl die Reihenfolge der Faktoren unterschiedlich sein kann.
Denken Sie daran, dass eine Primzahl p eine ist, die nur sich selbst und 1 als positive Teiler zulässt. Die folgenden Zahlen sind Primzahlen: 2, 3, 5, 7, 11, 13 usw., da es Unendlichkeiten gibt. Die Zahl 1 wird nicht als Primzahl betrachtet, da sie nur einen Teiler hat.
Abbildung 1. Euklid (links) hat in seinem Buch Elements (350 v. Chr.) Den Grundsatz der Arithmetik bewiesen, und der erste vollständige Beweis geht auf Carl F. Gauss (1777-1855) (rechts) zurück. Quelle: Wikimedia Commons.
Die Zahlen, die nicht mit den oben genannten übereinstimmen, werden zusammengesetzte Zahlen genannt, wie 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14 … Nehmen wir zum Beispiel die Zahl 10 und sehen sofort, dass sie als Produkt von zerlegt werden kann 2 und 5:
10 = 2 × 5
Sowohl 2 als auch 5 sind effektiv Primzahlen. Der Satz besagt, dass dies für jede Zahl n möglich ist:
Wobei p 1 , p 2 , p 3 … p r Primzahlen sind und k 1 , k 2 , k 3 ,… k r natürliche Zahlen sind. Die Primzahlen fungieren also als Bausteine, aus denen durch Multiplikation die natürlichen Zahlen aufgebaut werden.
Beweis des Grundsatzes der Arithmetik
Wir beginnen damit zu zeigen, dass jede Zahl in Primfaktoren zerlegt werden kann. Sei eine natürliche Zahl n> 1, Primzahl oder zusammengesetzt.
Wenn beispielsweise n = 2 ist, kann dies ausgedrückt werden als: 2 = 1 × 2, was eine Primzahl ist. Fahren Sie auf die gleiche Weise mit den folgenden Zahlen fort:
3 = 1 × 3
4 = 2 × 2
5 = 1 × 5
6 = 2 × 3
7 = 1 × 7
8 = 2 × 2 × 2
Wir fahren so fort und zerlegen alle natürlichen Zahlen, bis wir die Zahl n -1 erreichen. Mal sehen, ob wir es mit der folgenden Nummer schaffen: n.
Wenn n eine Primzahl ist, können wir es als n = 1 × n zerlegen, aber nehmen wir an, dass n zusammengesetzt ist und einen Divisor d hat, logischerweise kleiner als n:
1 <d <n.
Wenn n / d = p 1 ist , wobei p 1 eine Primzahl ist, dann wird n geschrieben als:
n = p 1 .d
Wenn d eine Primzahl ist, gibt es nicht mehr zu tun, aber wenn dies nicht der Fall ist, gibt es eine Zahl n 2 , die ein Teiler von d ist und kleiner als diese: n 2 <d, so dass d von einem anderen als Produkt von n 2 geschrieben werden kann Primzahl p 2 :
d = p 2 n 2
Das beim Einsetzen in die ursprüngliche Zahl n würde ergeben:
n = p 1 .p 2 .n 2
Nehmen wir nun an, dass n 2 auch keine Primzahl ist und wir schreiben es als Produkt einer Primzahl p 3 durch ihren Teiler n 3 , so dass n 3 <n 2 <n 1 <n:
n 2 = p 3 .n 3 → n = p 1 p 2 p 3 .n 3
Wir wiederholen diesen Vorgang eine endliche Anzahl von Malen, bis wir erhalten:
n = p 1 .p 2 .p 3 … p r
Dies bedeutet, dass es möglich ist, alle ganzen Zahlen von 2 auf die Zahl n als Produkt von Primzahlen zu zerlegen.
Einzigartigkeit der Primfaktorisierung
Lassen Sie uns nun überprüfen, ob diese Zerlegung bis auf die Reihenfolge der Faktoren eindeutig ist. Angenommen, n kann auf zwei Arten geschrieben werden:
n = p 1 .p 2 .p 3 … p r = q 1. q 2 .q 3 … ..q s (mit r ≤ s)
Natürlich sind auch q 1 , q 2 , q 3 … Primzahlen. Da sich p 1 teilt (q 1. q 2 .q 3 … ..q s ), ist p 1 gleich einem der „q“, es spielt keine Rolle, welches, also können wir sagen, dass p 1 = q 1 ist . Wir teilen n durch p 1 und erhalten:
p 2 .p 3 … p r = . q 2 .q 3 … ..q s
Wir wiederholen den Vorgang, bis wir alles durch p r teilen , dann erhalten wir:
1 = q r + 1 … q s
Es ist jedoch nicht möglich, zu q r + 1 … q s = 1 zu gelangen, wenn r <s ist, nur wenn r = s ist. Obwohl durch das Eingestehen, dass r = s ist, wird auch zugegeben, dass das "p" und das "q" gleich sind. Daher ist die Zersetzung einzigartig.
Anwendungen
Wie wir bereits gesagt haben, repräsentieren die Primzahlen, wenn Sie möchten, die Atome der Zahlen, ihre Grundkomponenten. Der Grundsatz der Arithmetik hat also zahlreiche Anwendungen, die offensichtlichste: Wir können leichter mit großen Zahlen arbeiten, wenn wir sie als Produkt kleinerer Zahlen ausdrücken.
Auf die gleiche Weise können wir das größte gemeinsame Vielfache (LCM) und den größten gemeinsamen Teiler (GCF) finden, ein Verfahren, mit dem wir Brüche leichter addieren, Wurzeln großer Zahlen finden oder mit Radikalen arbeiten, rationalisieren und lösen können Anwendungsprobleme sehr unterschiedlicher Art.
Darüber hinaus sind Primzahlen äußerst rätselhaft. Ein Muster ist in ihnen noch nicht erkannt und es ist nicht möglich zu wissen, welches das nächste sein wird. Die bisher größte wurde von Computern gefunden und hat 24.862.048 Ziffern, obwohl die neuen Primzahlen jedes Mal seltener erscheinen.
Primzahlen in der Natur
Die im Nordosten der Vereinigten Staaten lebenden Zikaden, Zikaden oder Zikaden entstehen in Zyklen von 13 oder 17 Jahren. Sie sind beide Primzahlen.
Auf diese Weise vermeiden die Zikaden, dass sie mit Raubtieren oder Konkurrenten zusammenfallen, die andere Geburtsperioden haben, und die verschiedenen Zikadensorten konkurrieren auch nicht miteinander, da sie nicht im selben Jahr zusammenfallen.
Abbildung 2. Die Magicicada-Zikade im Osten der USA tritt alle 13 bis 17 Jahre auf. Quelle: Pxfuel.
Primzahlen und Online-Shopping
In der Kryptographie werden Primzahlen verwendet, um Kreditkartendaten beim Einkauf über das Internet geheim zu halten. Auf diese Weise erreichen die Daten, dass der Käufer das Geschäft genau erreicht, ohne verloren zu gehen oder in die Hände skrupelloser Personen zu fallen.
Wie? Die Daten auf den Karten sind in einer Zahl N codiert, die als Produkt von Primzahlen ausgedrückt werden kann. Diese Primzahlen sind der Schlüssel, den die Daten enthüllen, aber sie sind der Öffentlichkeit unbekannt. Sie können nur in dem Web dekodiert werden, an das sie gerichtet sind.
Das Zerlegen einer Zahl in Faktoren ist eine einfache Aufgabe, wenn die Zahlen klein sind (siehe die gelösten Übungen). In diesem Fall werden jedoch Primzahlen mit 100 Ziffern als Schlüssel verwendet, die beim Multiplizieren viel größere Zahlen ergeben, deren detaillierte Zerlegung eine große Aufgabe beinhaltet .
Gelöste Übungen
- Übung 1
Teilen Sie 1029 in Primfaktoren auf.
Lösung
1029 ist durch 3 teilbar. Es ist bekannt, dass beim Addieren seiner Ziffern die Summe ein Vielfaches von 3: 1 + 0 + 2 + 9 = 12 ist. Da die Reihenfolge der Faktoren das Produkt nicht verändert, können wir dort beginnen:
1029 3
343
1029 = 3 × 343
Andererseits ist 343 = 7 3 , dann:
1029 = 3 × 7 3 = 3 × 7 × 7 × 7
Und da sowohl 3 als auch 7 Primzahlen sind, ist dies die Zerlegung von 1029.
- Übung 2
Faktor das Trinom x 2 + 42x + 432.
Lösung
Das Trinom wird in der Form (x + a) umgeschrieben. (x + b) und wir müssen die Werte von a und b finden, so dass:
a + b = 42; ab = 432
Die Zahl 432 wird in Primfaktoren zerlegt und von dort wird die geeignete Kombination durch Versuch und Irrtum ausgewählt, so dass die hinzugefügten Faktoren 42 ergeben.
432 = 2 4 × 3 3 = 2 × 3 3 × 2 3 = 2 4 × 3 2 × 3 =…
Von hier aus gibt es mehrere Möglichkeiten, 432 zu schreiben:
432 = 16 × 27 = 24 × 18 = 54 × 8 = 6 × 72….
Und alles kann durch Kombinieren von Produkten zwischen den Primfaktoren gefunden werden, aber um die vorgeschlagene Übung zu lösen, ist die einzig geeignete Kombination: 432 = 24 × 18, da 24 + 18 = 42, dann:
x 2 + 42x + 432 = (x + 24). (x +18)
Verweise
- Baldor, A. 1986. Theoretische praktische Arithmetik. Compañía Cultural Editora de Textos Americanos SA
- BBC World. Der verborgene Code der Natur. Wiederhergestellt von: bbc.com.
- De Leon, Manuel. Primzahlen: die Hüter des Internets. Wiederhergestellt von: blogs.20minutos.es.
- UNAM. Zahlentheorie I: Fundamentalsatz der Arithmetik. Wiederhergestellt von: teoriadenumeros.wikidot.com.
- Wikipedia. Der Grundsatz der Arithmetik. Wiederhergestellt von: es.wikipedia.org.