EXISTENZ- UND EINDEUTIGKEITSSATZ: BEWEISE, BEISPIELE UND ÜBUNGEN - MATHE - 2025

Der Existenz- und Eindeutigkeitssatz legt die notwendigen und ausreichenden Bedingungen fest, damit eine Differentialgleichung erster Ordnung mit einer gegebenen Anfangsbedingung eine Lösung hat und diese Lösung die einzige ist.

Der Satz gibt jedoch keine Technik oder Hinweise darauf, wie eine solche Lösung gefunden werden kann. Der Existenz- und Eindeutigkeitssatz wird auch auf Differentialgleichungen höherer Ordnung mit Anfangsbedingungen erweitert, was als Cauchy-Problem bekannt ist.

Abbildung 1. Eine Differentialgleichung mit Anfangsbedingung und ihrer Lösung wird gezeigt. Der Existenz- und Eindeutigkeitssatz garantiert, dass dies die einzig mögliche Lösung ist.

Die formale Aussage des Existenz- und Eindeutigkeitssatzes lautet wie folgt:

„Für eine Differentialgleichung y '(x) = f (x, y) mit der Anfangsbedingung y (a) = b existiert mindestens eine Lösung in einem rechteckigen Bereich der XY-Ebene, der den Punkt (a, b) enthält, wenn f (x, y) ist in diesem Bereich stetig. Und wenn die partielle Ableitung von f in Bezug auf y: g = ∂f / ∂y in demselben rechteckigen Bereich stetig ist, dann ist die Lösung in einer Nachbarschaft des Punktes (a, b) eindeutig, der im Bereich der Kontinuität von fy enthalten ist G. ""

Der Nutzen dieses Theorems liegt zunächst darin, zu wissen, in welchen Bereichen der XY-Ebene eine Lösung existieren kann, und auch zu wissen, ob die gefundene Lösung die einzig mögliche ist oder ob es andere gibt.

Beachten Sie, dass der Satz nicht vorhersagen kann, wie viele Lösungen das Cauchy-Problem insgesamt hat, falls die Eindeutigkeitsbedingung nicht erfüllt ist: Vielleicht ist es eine, zwei oder mehr.

Beweis des Existenz- und Einzigartigkeitssatzes

Abbildung 2. Charles Émile Picard (1856-1941) wird einer der ersten Beweise für den Existenz- und Einzigartigkeitssatz zugeschrieben. Quelle: Wikimedia Commons.

Für diesen Satz sind zwei mögliche Beweise bekannt, einer davon ist der Beweis von Charles Émile Picard (1856-1941) und der andere stammt von Giuseppe Peano (1858-1932), der auf den Werken von Augustin Louis Cauchy (1789-1857) basiert. .

Es ist bemerkenswert, dass die brillantesten mathematischen Köpfe des neunzehnten Jahrhunderts am Beweis dieses Theorems beteiligt waren, so dass man sich vorstellen kann, dass keiner von beiden einfach ist.

Um den Satz formal zu beweisen, ist es notwendig, zunächst eine Reihe fortgeschrittener mathematischer Konzepte wie Lipschitz-Funktionen, Banach-Räume, Carathéodorys Existenzsatz und einige andere zu etablieren, die über den Rahmen des Artikels hinausgehen.

Ein großer Teil der Differentialgleichungen, die in der Physik behandelt werden, befasst sich mit stetigen Funktionen in den interessierenden Regionen, daher beschränken wir uns darauf, zu zeigen, wie der Satz in einfachen Gleichungen angewendet wird.

Beispiele

- Beispiel 1

Betrachten wir die folgende Differentialgleichung mit einer Anfangsbedingung:

y '(x) = - y; mit y (1) = 3

Gibt es eine Lösung für dieses Problem? Ist es die einzig mögliche Lösung?

Antworten

Zunächst wird die Existenz der Lösung der Differentialgleichung bewertet und festgestellt, dass sie auch die Ausgangsbedingung erfüllt.

In diesem Beispiel ist f (x, y) = - und die Existenzbedingung erfordert das Wissen, ob f (x, y) in einem Bereich der XY-Ebene, der den Koordinatenpunkt x = 1, y = 3 enthält, stetig ist.

Aber f (x, y) = - y ist die affine Funktion, die im Bereich der reellen Zahlen stetig ist und im gesamten Bereich der reellen Zahlen existiert.

Daher wird geschlossen, dass f (x, y) in R ² stetig ist , so dass der Satz die Existenz mindestens einer Lösung garantiert.

In diesem Wissen muss bewertet werden, ob die Lösung eindeutig ist oder ob es im Gegenteil mehr als eine gibt. Hierzu ist es erforderlich, die partielle Ableitung von f in Bezug auf die Variable y zu berechnen:

Dann ist g (x, y) = -1, was eine konstante Funktion ist, die auch für alle R ^{2 definiert ist} und dort auch stetig ist. Daraus folgt, dass der Existenz- und Eindeutigkeitssatz garantiert, dass dieses Anfangswertproblem eine eindeutige Lösung hat, obwohl es uns nicht sagt, was es ist.

- Beispiel 2

Betrachten Sie die folgende gewöhnliche Differentialgleichung erster Ordnung mit Anfangsbedingung:

y '(x) = 2√y; und (0) = 0.

Gibt es eine Lösung y (x) für dieses Problem? Wenn ja, stellen Sie fest, ob es eine oder mehrere gibt.

Antworten

Wir betrachten die Funktion f (x, y) = 2√y. Die Funktion f ist nur für y≥0 definiert, da wir wissen, dass einer negativen Zahl eine reelle Wurzel fehlt. Weiterhin ist f (x, y) in der oberen Halbebene von R ² einschließlich der X-Achse stetig , so dass der Existenz- und Eindeutigkeitssatz mindestens eine Lösung in diesem Bereich garantiert.

Nun befindet sich die Anfangsbedingung x = 0, y = 0 am Rand des Lösungsbereichs. Dann nehmen wir die partielle Ableitung von f (x, y) in Bezug auf y:

∂f / ∂y = 1 / √y

In diesem Fall ist die Funktion nicht für y = 0 definiert, genau dort, wo die Anfangsbedingung ist.

Was sagt uns der Satz? Obwohl wir wissen, dass es in der oberen Halbebene der X-Achse einschließlich der X-Achse mindestens eine Lösung gibt, gibt es keine Garantie dafür, dass es eine eindeutige Lösung gibt, da die Eindeutigkeitsbedingung nicht erfüllt ist.

Dies bedeutet, dass es im Bereich der Kontinuität von f (x, y) eine oder mehrere Lösungen geben kann. Und wie immer sagt uns der Satz nicht, was sie sein könnten.

Gelöste Übungen

- Übung 1

Lösen Sie das Cauchy-Problem in Beispiel 1:

y '(x) = - y; mit y (1) = 3.

Finden Sie die Funktion y (x), die die Differentialgleichung und die Anfangsbedingung erfüllt.

Lösung

In Beispiel 1 wurde festgestellt, dass dieses Problem eine Lösung hat und auch einzigartig ist. Um die Lösung zu finden, ist zunächst zu beachten, dass es sich um eine Differentialgleichung ersten Grades trennbarer Variablen handelt, die wie folgt geschrieben ist:

Aufteilen zwischen und in beiden Mitgliedern, um die Variablen zu trennen, die wir haben:

Das unbestimmte Integral wird in beiden Elementen angewendet:

Lösen der unbestimmten Integrale, die wir haben:

wobei C eine Integrationskonstante ist, die durch die Anfangsbedingung bestimmt wird:

Das Ersetzen und Neuanordnen des Werts von C bleibt bestehen:

Anwenden der folgenden Eigenschaft von Logarithmen:

Der obige Ausdruck kann folgendermaßen umgeschrieben werden:

Die Exponentialfunktion mit der Basis e in beiden Elementen wird angewendet, um Folgendes zu erhalten:

y / 3 = e ^{(1 - x)}

Welches ist gleichbedeutend mit:

y = 3e e- ^x

Dies ist die eindeutige Lösung der Gleichung y '= -y mit y (1) = 3. Der Graph dieser Lösung ist in Abbildung 1 dargestellt.

- Übung 2

Finden Sie zwei Lösungen für das in Beispiel 2 gestellte Problem:

y '(x) = 2√ (y); und (0) = 0.

Lösung

Es ist auch eine Gleichung trennbarer Variablen, die in Differentialform so aussieht:

dy / √ (y) = 2 dx

Das unbestimmte Integral in beiden Mitgliedern zu nehmen, bleibt:

2 √ (y) = 2 x + C.

Da wir wissen, dass y ≥ 0 im Lösungsbereich ist, haben wir:

y = (x + C) ²

Da jedoch die Anfangsbedingung x = 0, y = 0 erfüllt sein muss, ist die Konstante C Null und die folgende Lösung bleibt bestehen:

y (x) = x ² .

Diese Lösung ist jedoch nicht eindeutig, die Funktion y (x) = 0 ist auch eine Lösung für das gestellte Problem. Der in Beispiel 2 auf dieses Problem angewandte Existenz- und Eindeutigkeitssatz hatte bereits vorausgesagt, dass es mehr als eine Lösung geben könnte.

Verweise

1. Coddington, Earl A.; Levinson, Norman (1955), Theorie der gewöhnlichen Differentialgleichungen, New York: McGraw-Hill.
2. Enzyklopädie der Mathematik. Cauchy-Lipschitz-Theorem. Wiederhergestellt von: encyclopediaofmath.org
3. Lindelöf, Sur l'application de la méthode des approximations sukzessive aux équations différentielles ordinaires du Premier ordre; Comptes rendus hebdomadaires des Séances de l'Académie des Sciences. Vol. 116, 1894, pp. 454–457. Wiederhergestellt von: gallica.bnf.fr.
4. Wikipedia. Picards sukzessive Approximationsmethode. Wiederhergestellt von: es.wikipedia.com
5. Wikipedia. Picard-Lindelöf-Theorem. Wiederhergestellt von: es.wikipedia.com.
6. Zill, D. 1986. Elementare Differentialgleichungen mit Anwendungen. Prentice Hall.