GRAVITATIONSENERGIE: FORMELN, EIGENSCHAFTEN, ANWENDUNGEN, ÜBUNGEN - KÖRPERLICH - 2025

Die Gravitationsenergie hat ein massives Objekt, wenn sie in das von einem anderen erzeugte Gravitationsfeld eingetaucht ist. Einige Beispiele für Objekte mit Gravitationsenergie sind: der Apfel auf dem Baum, der fallende Apfel, der Mond, der die Erde umkreist, und die Erde, die die Sonne umkreist.

Isaac Newton (1642-1727) erkannte als erster, dass die Schwerkraft ein universelles Phänomen ist und dass jedes Objekt mit Masse in seiner Umgebung ein Feld erzeugt, das eine Kraft auf ein anderes erzeugen kann.

Abbildung 1. Der Mond, der die Erde umkreist, hat Gravitationsenergie. Quelle: Pixabay

Formeln und Gleichungen

Die Kraft, auf die sich Newton bezog, ist als Gravitationskraft bekannt und versorgt das Objekt, auf das es wirkt, mit Energie. Newton formulierte das Gesetz der universellen Gravitation wie folgt:

"Es gebe zwei Punktobjekte der Massen m1 und m2, von denen jedes eine Anziehungskraft auf das andere ausübt, die proportional zum Produkt ihrer Massen und umgekehrt proportional zum Quadrat der Entfernung ist, die sie trennt."

Die mit der Gravitationskraft F verbundene Gravitationsenergie U ist:

Ein Objekt, das in ein Gravitationsfeld eingetaucht ist, hat die potentielle Gravitationsenergie U und die kinetische Energie K. Wenn es keine anderen Wechselwirkungen gibt oder sie von vernachlässigbarer Intensität sind, ist die Gesamtenergie E des Objekts die Summe seiner Gravitationsenergie plus seiner kinetischen Energie:

E = K + U.

Befindet sich ein Objekt in einem Gravitationsfeld und sind keine anderen Dissipationskräfte wie Reibung oder Luftwiderstand vorhanden, ist die Gesamtenergie E eine Größe, die während der Bewegung konstant bleibt.

Eigenschaften der Gravitationsenergie

- Ein Objekt hat potentielle Gravitationsenergie, wenn es sich nur in Gegenwart des von einem anderen erzeugten Gravitationsfeldes befindet.

- Die Gravitationsenergie zwischen zwei Objekten nimmt zu, wenn der Abstand zwischen ihnen größer ist.

- Die von der Gravitationskraft geleistete Arbeit entspricht und widerspricht der Variation der Gravitationsenergie der Endposition in Bezug auf die ihrer Ausgangsposition.

- Wenn ein Körper nur der Einwirkung der Schwerkraft ausgesetzt ist, ist die Variation seiner Gravitationsenergie gleich und entgegengesetzt zur Variation seiner kinetischen Energie.

- Die potentielle Energie eines Objekts der Masse m, das sich in Bezug auf die Erdoberfläche auf einer Höhe h befindet, ist mgh-mal größer als die potentielle Energie an der Oberfläche, wobei g die Erdbeschleunigung ist, für Höhen h, die viel kleiner als der Erdradius sind .

Gravitationsfeld und Potenzial

Das Gravitationsfeld g ist definiert als die Gravitationskraft F pro Masseneinheit. Sie wird bestimmt, indem an jedem Punkt im Raum ein Testpartikel m platziert und der Quotient zwischen der auf das Testpartikel wirkenden Kraft geteilt durch den Wert seiner Masse berechnet wird:

g = F / m

Das Gravitationspotential V eines Objekts der Masse m ist definiert als die Gravitationspotentialenergie dieses Objekts geteilt durch seine eigene Masse.

Der Vorteil dieser Definition besteht darin, dass das Gravitationspotential nur vom Gravitationsfeld abhängt, so dass, sobald das Potential V bekannt ist, die Gravitationsenergie U eines Objekts der Masse m beträgt:

U = mV

Figure 2. Gravitationsfeld (durchgezogene Linien) und Äquipotentiale (segmentierte Linie) für das Erd-Mond-System. Quelle: WT Scott, Am. J. Phys. 33 (1965).

Anwendungen

Gravitationspotentialenergie ist das, was Körper speichern, wenn sie sich in einem Gravitationsfeld befinden.

Zum Beispiel hat das in einem Tank enthaltene Wasser mehr Energie, wenn der Tank höher ist.

Je höher die Tankhöhe, desto schneller ist das Wasser, das den Wasserhahn verlässt. Dies liegt daran, dass die potentielle Energie des Wassers in der Höhe des Tanks am Auslass des Wasserhahns in kinetische Energie des Wassers umgewandelt wird.

Wenn Wasser hoch auf einem Berg aufgestaut wird, kann diese potenzielle Energie genutzt werden, um Turbinen zur Stromerzeugung anzutreiben.

Die Gravitationsenergie erklärt auch die Gezeiten. Da die Energie und die Gravitationskraft von der Entfernung abhängen, ist die Gravitationskraft des Mondes auf der dem Mond am nächsten gelegenen Erdoberfläche größer als auf der am weitesten und gegenüberliegenden Seite.

Dies erzeugt einen Unterschied in den Kräften, der die Meeresoberfläche verformt. Der Effekt ist bei einem Neumond am größten, wenn Sonne und Mond ausgerichtet sind.

Die Möglichkeit, Raumstationen und Satelliten zu bauen, die relativ nahe an unserem Planeten bleiben, beruht auf der von der Erde erzeugten Gravitationsenergie. Andernfalls würden Raumstationen und künstliche Satelliten durch den Weltraum streifen.

Gravitationspotential der Erde

Angenommen, die Erde hat die Masse M und ein Objekt, das sich in einem Abstand r von seinem Zentrum über der Erdoberfläche befindet, hat die Masse m.

In diesem Fall wird das Gravitationspotential aus der Gravitationsenergie bestimmt, die einfach durch die Masse des resultierenden Objekts dividiert wird:

Potenzielle Energie in der Nähe der Erdoberfläche

Angenommen, die Erde hat den Radius R _T und die Masse M.

Obwohl die Erde kein Punktobjekt ist, entspricht das Feld auf ihrer Oberfläche dem, das erhalten würde, wenn seine gesamte Masse M im Zentrum konzentriert wäre, so dass die Gravitationsenergie eines Objekts in der Höhe h über der Erdoberfläche ist

U (R _T + h) = -GM m (R _T + h) ^ - 1

Da jedoch h viel kleiner als _{RT ist} , kann der obige Ausdruck durch angenähert werden

U = Uo + mgh

Wobei g die Erdbeschleunigung ist, deren Durchschnittswert für die Erde 9,81 m / s ^ 2 beträgt.

Dann ist die potentielle Energie Ep eines Objekts der Masse m in Höhe h über der Erdoberfläche:

Ep (h) = U + Uo = mgh

Auf der Erdoberfläche ist h = 0, also hat ein Objekt auf der Oberfläche Ep = 0. Detaillierte Berechnungen sind in Abbildung 3 zu sehen.

Figure 3. Gravitationspotentialenergie in einer Höhe h über der Oberfläche. Quelle: erstellt von F. Zapata.

Übungen

Übung 1: Gravitationskollaps der Erde

Nehmen wir an, unser Planet erleidet aufgrund des Verlusts an Wärmeenergie in seinem Inneren einen Gravitationskollaps und sein Radius fällt auf die Hälfte seines aktuellen Wertes, aber die Masse des Planeten bleibt konstant.

Bestimmen Sie, wie hoch die Erdbeschleunigung in der Nähe der Oberfläche der Neuen Erde sein würde und wie viel ein Überlebender mit einem Gewicht von 50 kg-f vor dem Zusammenbruch wiegen würde. Erhöhen oder verringern Sie die Gravitationsenergie der Person und um welchen Faktor.

Lösung

Die Beschleunigung der Schwerkraft auf der Oberfläche eines Planeten hängt von seiner Masse und seinem Radius ab. Die Gravitationskonstante ist universell und funktioniert für Planeten und Exoplaneten gleichermaßen.

Im vorliegenden Fall wäre die Erdbeschleunigung der Neuen Erde viermal größer, wenn der Radius der Erde um die Hälfte verringert würde. Details sind auf der Tafel unten zu sehen.

Dies bedeutet, dass ein Übermensch und Überlebender, der auf dem alten Planeten 50 kg-f wog, auf dem neuen Planeten 200 kg-f wiegen wird.

Andererseits wird sich die Gravitationsenergie auf der Oberfläche des neuen Planeten halbiert haben.

Übung 2: Gravitationskollaps und Fluchtgeschwindigkeit

Was würde in Bezug auf die in Übung 1 dargestellte Situation mit der Fluchtgeschwindigkeit passieren: Sie nimmt zu, sie nimmt ab, um welchen Faktor?

Lösung 2

Die Fluchtgeschwindigkeit ist die Mindestgeschwindigkeit, die erforderlich ist, um der Anziehungskraft eines Planeten zu entkommen.

Um dies zu berechnen, wird angenommen, dass ein Projektil, das mit dieser Geschwindigkeit abgefeuert wird, mit einer Geschwindigkeit von Null unendlich ist. Darüber hinaus ist die Gravitationsenergie im Unendlichen Null. Daher hat ein mit Fluchtgeschwindigkeit abgefeuertes Projektil keine Gesamtenergie.

Das heißt, dass auf der Oberfläche des Planeten zum Zeitpunkt des Schusses die Summe der kinetischen Energie des Projektils + der Gravitationsenergie Null sein muss:

½ m Ve ^ 2 - (G Mm) / R _T = 0

Beachten Sie, dass die Fluchtgeschwindigkeit nicht von der Masse des Projektils abhängt und dessen quadratischer Wert ist

Ve ^ 2 = (2 G M) / R _T.

Wenn der Planet auf eine Radiushälfte des Originals zusammenbricht, verdoppelt sich das Quadrat der neuen Fluchtgeschwindigkeit.

Daher wächst die neue Fluchtgeschwindigkeit und wird 1,41-mal so groß wie die alte Fluchtgeschwindigkeit:

Go '= 1,41 Go

Übung 3: Gravitationsenergie des Apfels

Ein Junge auf dem Balkon eines Gebäudes 30 Meter über dem Boden lässt einen 250 g schweren Apfel fallen, der nach wenigen Sekunden den Boden erreicht.

Abbildung 4. Beim Fallen wird die potenzielle Energie des Apfels in kinetische Energie umgewandelt. Quelle: PIxabay.

a) Wie groß ist die Gravitationsenergiedifferenz des Apfels oben gegenüber dem Apfel in Bodennähe?

b) Wie schnell war der Apfel kurz vor dem Verschütten auf den Boden?

c) Was passiert mit der Energie, wenn der Apfel gegen den Boden abgeflacht ist?

Lösung

a) Die Gravitationsenergiedifferenz beträgt

mgh = 0,250 kg · 9,81 m / s · 2 · 30 m = 73,6 J.

b) Die potentielle Energie, die der Apfel hatte, als er 30 m hoch war, wird in kinetische Energie umgewandelt, wenn der Apfel den Boden erreicht.

½ mv ^ 2 = mgh

v ^ 2 = 2.gh.

Durch Ersetzen von Werten und Lösen folgt, dass der Apfel mit einer Geschwindigkeit von 24,3 m / s = 87,3 km / h den Boden erreicht.

c) Offensichtlich ist der Apfel verstreut und die gesamte zu Beginn angesammelte Gravitationsenergie geht in Form von Wärme verloren, da sich die Apfelstücke und die Aufprallzone erwärmen. Außerdem wird ein Teil der Energie auch in Form von Schallwellen abgeführt. " spritzen ".

Verweise

1. Alonso, M. (1970). Physics Vol. 1, Interamerikanischer Bildungsfonds.
2. Hewitt, Paul. 2012. Konzeptionelle Physik. 5 .. Ed. Pearson.
3. Knight, R. 2017. Physik für Wissenschaftler und Ingenieure: ein strategischer Ansatz. Pearson.
4. Sears, F. (2009). University Physics Vol. 1
5. Wikipedia. Gravitationsenergie. Wiederhergestellt von: es.wikipedia.com
6. Wikipedia. Gravitationsenergie. Wiederhergestellt von: en.wikipedia.com