ELASTISCHE SCHOCKS: IN EINER DIMENSION SONDERFÄLLE, ÜBUNGEN - KÖRPERLICH - 2025

Die elastischen Kollisionen oder elastischen Kollisionen sind kurze, aber intensive Wechselwirkungen zwischen Objekten, bei denen sowohl der Impuls als auch die kinetische Energie erhalten bleiben. Abstürze sind in der Natur sehr häufig: Von subatomaren Partikeln über Galaxien bis hin zu Billardkugeln und Autoscootern in Vergnügungsparks sind alles Objekte, die kollidieren können.

Während einer Kollision oder Kollision sind die Wechselwirkungskräfte zwischen Objekten sehr stark, viel stärker als diejenigen, die extern wirken können. Auf diese Weise kann festgestellt werden, dass die Partikel während der Kollision ein isoliertes System bilden.

Billardkugelkollisionen können als elastisch angesehen werden. Quelle: Pixabay.

In diesem Fall ist es wahr, dass:

Der Impuls P _o vor der Kollision ist der gleiche wie nach der Kollision. Dies gilt für jede Art von Kollision, sowohl elastisch als auch unelastisch.

Betrachten Sie nun Folgendes: Während einer Kollision erfahren Objekte eine gewisse Verformung. Wenn der Stoß elastisch ist, kehren Objekte schnell in ihre ursprüngliche Form zurück.

Erhaltung der kinetischen Energie

Normalerweise wird während eines Unfalls ein Teil der Energie von Objekten für Wärme, Verformung, Schall und manchmal sogar für die Erzeugung von Licht aufgewendet. Die kinetische Energie des Systems nach der Kollision ist also geringer als die ursprüngliche kinetische Energie.

Wenn die kinetische Energie K erhalten bleibt, dann:

Dies bedeutet, dass die während der Kollision wirkenden Kräfte konservativ sind. Während der Kollision wird die kinetische Energie kurz in potentielle Energie und dann zurück in kinetische Energie umgewandelt. Die jeweiligen kinetischen Energien variieren, aber die Summe bleibt konstant.

Perfekt elastische Kollisionen sind selten, obwohl Billardkugeln eine ziemlich gute Annäherung sind, ebenso wie Kollisionen, die zwischen idealen Gasmolekülen auftreten.

Elastische Stöße in einer Dimension

Untersuchen wir eine Kollision zweier Partikel in einer einzigen Dimension. Das heißt, die wechselwirkenden Teilchen bewegen sich beispielsweise entlang der x-Achse. Angenommen, sie haben Massen m ₁ und m ₂ . Die Anfangsgeschwindigkeiten von jedem sind u _{1 bzw.} u ₂ . Die Endgeschwindigkeiten sind v ₁ und v ₂ .

Wir können auf die Vektornotation verzichten, da die Bewegung entlang der x-Achse ausgeführt wird. Die Zeichen (-) und (+) geben jedoch die Bewegungsrichtung an. Links ist konventionell negativ und rechts positiv.

-Formel für elastische Kollisionen

Für die Menge an Bewegung

Für kinetische Energie

Solange die Massen und Anfangsgeschwindigkeiten bekannt sind, können die Gleichungen neu gruppiert werden, um die Endgeschwindigkeiten zu finden.

Das Problem ist, dass es im Prinzip notwendig ist, ein wenig langwierige Algebra durchzuführen, da die Gleichungen für die kinetische Energie die Quadrate der Geschwindigkeiten enthalten, was die Berechnung etwas umständlich macht. Das Ideal wäre, Ausdrücke zu finden, die sie nicht enthalten.

Die erste besteht darin, auf den Faktor ½ zu verzichten und beide Gleichungen so neu anzuordnen, dass ein negatives Vorzeichen erscheint und die Massen berücksichtigt werden können:

Auf diese Weise ausgedrückt werden:

Vereinfachung zur Beseitigung der Quadrate der Geschwindigkeiten

Jetzt müssen wir die bemerkenswerte Produktsumme durch ihre Differenz in der zweiten Gleichung nutzen, mit der wir einen Ausdruck erhalten, der die Quadrate nicht enthält, wie ursprünglich gewünscht:

Der nächste Schritt besteht darin, die erste Gleichung durch die zweite zu ersetzen:

Und da der Term m ₂ (v ₂ - u ₂ ) auf beiden Seiten der Gleichheit wiederholt wird , wird dieser Term annulliert und bleibt wie folgt:

Oder noch besser:

Endgeschwindigkeiten v

Jetzt haben Sie zwei lineare Gleichungen, mit denen Sie leichter arbeiten können. Wir werden sie wieder untereinander legen:

Das Multiplizieren der zweiten Gleichung mit m ₁ und das Hinzufügen von Term zu Term ist:

Und es ist bereits möglich, v ₂ zu löschen . Beispielsweise:

Sonderfälle bei elastischen Kollisionen

Nachdem nun Gleichungen für die Endgeschwindigkeiten beider Teilchen verfügbar sind, ist es an der Zeit, einige spezielle Situationen zu analysieren.

Zwei identische Massen

In diesem Fall ist m ₁ = m ₂ = my:

Die Partikel tauschen nach der Kollision einfach ihre Geschwindigkeiten aus.

Zwei identische Massen, von denen eine zunächst in Ruhe war

Wieder m ₁ = m ₂ = m und unter der Annahme von u ₁ = 0:

Nach der Kollision erreicht das Partikel, das sich in Ruhe befand, die gleiche Geschwindigkeit wie das Partikel, das sich bewegte, und dies stoppt wiederum.

Zwei verschiedene Massen, eine davon zunächst in Ruhe

In diesem Fall sei u ₁ = 0, aber die Massen sind unterschiedlich:

Was ist, wenn m ₁ viel größer als m _{2 ist} ?

Es kommt vor, dass m ₁ noch in Ruhe ist und m ₂ mit der gleichen Geschwindigkeit zurückgegeben wird, mit der es aufprallte.

Restitutionskoeffizient oder Huygens-Newton-Regel

Zuvor wurde die folgende Beziehung zwischen den Geschwindigkeiten für zwei Objekte in elastischer Kollision abgeleitet: u ₁ - u ₂ = v ₂ - v ₁ . Diese Unterschiede sind die relativen Geschwindigkeiten vor und nach der Kollision. Im Allgemeinen gilt für eine Kollision Folgendes:

Das Konzept der Relativgeschwindigkeit wird am besten geschätzt, wenn sich der Leser vorstellt, dass er sich auf einem der Partikel befindet, und von dieser Position aus die Geschwindigkeit beobachtet, mit der sich das andere Partikel bewegt. Die obige Gleichung wird folgendermaßen umgeschrieben:

Gelöste Übungen

- Gelöste Übung 1

Eine Billardkugel bewegt sich mit 30 cm / s nach links und kollidiert frontal mit einer anderen identischen Kugel, die sich mit 20 cm / s nach rechts bewegt. Die beiden Kugeln haben die gleiche Masse und die Kollision ist perfekt elastisch. Finden Sie die Geschwindigkeit jedes Balls nach dem Aufprall.

Lösung

u ₁ = -30 cm / s

u ₂ = +20 cm / s

Dies ist der Sonderfall, bei dem zwei identische Massen in einer Dimension elastisch kollidieren und daher die Geschwindigkeiten ausgetauscht werden.

v ₁ = +20 cm / s

v ₂ = -30 cm / s

- Gelöste Übung 2

Der Restitutionskoeffizient eines Balls, der vom Boden abprallt, beträgt 0,82. Wenn es aus der Ruhe fällt, welchen Bruchteil seiner ursprünglichen Höhe erreicht der Ball nach einmaligem Abprallen? Und nach 3 Rebounds?

Ein Ball springt von einer festen Oberfläche und verliert mit jedem Sprung an Höhe. Quelle: selbst gemacht.

Lösung

Der Boden kann Objekt 1 in der Gleichung für den Restitutionskoeffizienten sein. Und es bleibt immer in Ruhe, so dass:

Mit dieser Geschwindigkeit springt es:

Das + -Zeichen zeigt an, dass es sich um eine aufsteigende Geschwindigkeit handelt. Und demnach erreicht der Ball eine maximale Höhe von:

Jetzt kehrt es mit gleicher Geschwindigkeit, aber entgegengesetztem Vorzeichen wieder zum Boden zurück:

Dies erreicht eine maximale Höhe von:

Kommen Sie zurück auf den Boden mit:

Aufeinanderfolgende Sprünge

Jedes Mal, wenn der Ball springt und steigt, multiplizieren Sie die Geschwindigkeit erneut mit 0,82:

Zu diesem Zeitpunkt beträgt h ₃ etwa 30% von h _o . Was wäre die Höhe bis zum 6. Sprung ohne die Notwendigkeit, so detaillierte Berechnungen wie die vorherigen durchzuführen?

Es wäre h ₆ = 0,82 ¹² h _o = 0,092 h _o o nur 9% von h _o .

- Gelöste Übung 3

Ein 300-g-Block bewegt sich mit 50 cm / s nach Norden und kollidiert mit einem 200-g-Block mit 100 cm / s in Richtung Süden. Angenommen, der Stoßdämpfer ist perfekt elastisch. Finden Sie die Geschwindigkeiten nach dem Aufprall.

Daten

m ₁ = 300 g; u ₁ = + 50 cm / s

m ₂ = 200 g; u ₂ = -100 cm / s

- Gelöste Übung 4

Eine Masse von m ₁ = 4 kg wird von dem angegebenen Punkt auf der reibungsfreien Spur freigegeben, bis sie in Ruhe mit m ₂ = 10 kg kollidiert . Wie hoch steigt m ₁ nach der Kollision?

Lösung

Da es keine Reibung gibt, wird die mechanische Energie erhalten, um die Geschwindigkeit u ₁ zu finden, mit der m ₁ auf m ₂ trifft _. Anfangs ist die kinetische Energie 0, da m ₁ aus der Ruhe beginnt. Wenn es sich auf der horizontalen Fläche bewegt, hat es keine Höhe, daher ist die potentielle Energie 0.

Nun wird die Geschwindigkeit von m ₁ nach der Kollision berechnet :

Das negative Vorzeichen bedeutet, dass es zurückgegeben wurde. Mit dieser Geschwindigkeit steigt es an und die mechanische Energie wird wieder erhalten, um h 'zu finden, die Höhe, bis zu der es nach der Kollision aufsteigen kann:

Beachten Sie, dass es nicht zum Startpunkt in 8 m Höhe zurückkehrt. Es hat nicht genug Energie, weil die Masse m ₁ einen Teil ihrer kinetischen Energie abgegeben hat _.

Verweise

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