FREQUENZWAHRSCHEINLICHKEIT: KONZEPT, BERECHNUNGSWEISE UND BEISPIELE - MATHE - 2025

Die Frequenzwahrscheinlichkeit ist eine Unterdefinition innerhalb der Untersuchung der Wahrscheinlichkeit und ihrer Phänomene. Seine Untersuchungsmethode in Bezug auf Ereignisse und Attribute basiert auf einer großen Anzahl von Iterationen, wodurch der Trend jedes einzelnen auf lange Sicht oder sogar unendliche Wiederholungen beobachtet wird.

Zum Beispiel enthält ein Umschlag mit Gummis 5 Radiergummis jeder Farbe: blau, rot, grün und gelb. Wir wollen die Wahrscheinlichkeit bestimmen, dass jede Farbe nach einer zufälligen Auswahl herauskommen muss.

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Es ist mühsam, sich vorzustellen, wie man einen Gummi herausnimmt, registriert, zurückgibt, einen Gummi herausnimmt und dasselbe mehrere hundert oder mehrere tausend Mal wiederholt. Möglicherweise möchten Sie das Verhalten sogar nach mehreren Millionen Iterationen beobachten.

Im Gegenteil, es ist interessant festzustellen, dass nach einigen Wiederholungen die erwartete Wahrscheinlichkeit von 25% nicht vollständig erfüllt ist, zumindest nicht für alle Farben nach 100 Iterationen.

Unter dem Ansatz der Frequenzwahrscheinlichkeit erfolgt die Zuweisung der Werte nur durch das Studium vieler Iterationen. Auf diese Weise sollte der Prozess vorzugsweise computergestützt oder emuliert durchgeführt und registriert werden.

Mehrere Ströme lehnen die Frequenzwahrscheinlichkeit ab, was auf einen Mangel an Empirismus und Zuverlässigkeit bei den Zufälligkeitskriterien hinweist.

Wie berechnet sich die Frequenzwahrscheinlichkeit?

Durch Programmieren des Experiments in einer beliebigen Schnittstelle, die eine rein zufällige Iteration bieten kann, kann begonnen werden, die Frequenzwahrscheinlichkeit des Phänomens anhand einer Wertetabelle zu untersuchen.

Das vorige Beispiel ist aus dem Frequenzansatz ersichtlich:

Die numerischen Daten entsprechen dem Ausdruck:

N (a) = Anzahl der Vorkommen / Anzahl der Iterationen

Wobei N (a) die relative Häufigkeit des Ereignisses "a" darstellt

"A" gehört zu der Menge möglicher Ergebnisse oder des Probenraums Ω

Ω: {rot, grün, blau, gelb}

Eine beträchtliche Streuung wird in den ersten Iterationen beobachtet, wenn Frequenzen mit bis zu 30% Unterschieden zwischen ihnen beobachtet werden. Dies ist eine sehr hohe Zahl für ein Experiment, das theoretisch Ereignisse mit der gleichen Möglichkeit aufweist (gleich wahrscheinlich).

Mit zunehmenden Iterationen scheinen sich die Werte jedoch immer mehr an die Werte anzupassen, die durch den theoretischen und logischen Strom dargestellt werden.

Gesetz der großen Zahlen

Als unerwartete Übereinstimmung zwischen dem theoretischen und dem Frequenzansatz entsteht das Gesetz der großen Zahlen. Wo festgestellt wird, dass sich die Werte des Frequenzexperiments nach einer beträchtlichen Anzahl von Iterationen den theoretischen Werten nähern.

Im Beispiel können Sie sehen, wie sich die Werte 0,250 nähern, wenn die Iterationen zunehmen. Dieses Phänomen ist elementar in den Schlussfolgerungen vieler probabilistischer Arbeiten.

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Andere Ansätze zur Wahrscheinlichkeit

Neben der Frequenzwahrscheinlichkeit gibt es zwei weitere Theorien oder Ansätze zum Begriff der Wahrscheinlichkeit .

Logische Theorie

Sein Ansatz orientiert sich an der deduktiven Logik von Phänomenen. Im vorherigen Beispiel beträgt die Wahrscheinlichkeit, jede Farbe auf geschlossene Weise zu erhalten, 25%. Mit anderen Worten, ihre Definitionen und Axiome berücksichtigen keine Verzögerungen außerhalb ihres Bereichs probabilistischer Daten.

Subjektive Theorie

Es basiert auf dem Wissen und den früheren Überzeugungen, die jeder Einzelne über die Phänomene und Eigenschaften hat. Aussagen wie "Es regnet immer zu Ostern" sind auf ein Muster ähnlicher Ereignisse zurückzuführen, die zuvor aufgetreten sind.

Geschichte

Die Anfänge seiner Umsetzung stammen aus dem 19. Jahrhundert, als Venn sie in mehreren seiner Werke in Cambridge, England, zitierte. Aber erst im 20. Jahrhundert entwickelten und formten zwei statistische Mathematiker die Frequenzwahrscheinlichkeit.

Einer von ihnen war Hans Reichenbach, der seine Arbeiten in Publikationen wie "The Theory of Probability" aus dem Jahr 1949 entwickelt.

Der andere war Richard Von Mises, der seine Arbeit durch mehrere Veröffentlichungen weiterentwickelte und vorschlug, Wahrscheinlichkeit als mathematische Wissenschaft zu betrachten. Dieses Konzept war neu in der Mathematik und würde eine Ära des Wachstums bei der Untersuchung der Frequenzwahrscheinlichkeit einleiten .

Tatsächlich ist dieses Ereignis der einzige Unterschied zu den Beiträgen der Generation Venn, Cournot und Helm. Wo die Wahrscheinlichkeit zu Wissenschaften wie Geometrie und Mechanik homolog wird.

<Die Wahrscheinlichkeitstheorie befasst sich mit massiven Phänomenen und sich wiederholenden Ereignissen . Probleme, bei denen entweder dasselbe Ereignis immer wieder wiederholt wird oder eine große Anzahl einheitlicher Elemente gleichzeitig beteiligt sind> Richard Von Mises

Massenphänomene und sich wiederholende Ereignisse

Drei Typen können klassifiziert werden:

• Physisch: Sie gehorchen Naturmustern jenseits eines Zufallszustands. Zum Beispiel das Verhalten der Moleküle eines Elements in einer Probe.
• Zufall - Ihre Hauptüberlegung ist die Zufälligkeit, z. B. das wiederholte Werfen eines Würfels.
• Biologische Statistik: Auswahl der Testpersonen nach ihren Merkmalen und Eigenschaften.

Theoretisch spielt das Individuum, das misst, eine Rolle in den Wahrscheinlichkeitsdaten, weil es sein Wissen und seine Erfahrungen sind, die diesen Wert oder diese Vorhersage artikulieren.

In der Frequenzwahrscheinlichkeit werden die Ereignisse als zu behandelnde Sammlungen betrachtet, bei denen die Person bei der Schätzung keine Rolle spielt.

Attribute

In jedem Element tritt ein Attribut auf, das je nach Art variabel ist. Beispielsweise haben die Wassermoleküle bei der Art des physikalischen Phänomens unterschiedliche Geschwindigkeiten.

Beim Würfeln kennen wir den Probenraum Ω, der die Attribute des Experiments darstellt.

Ω: {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Es gibt andere Attribute wie gerade Ω _P oder ungerade Ω _I.

Ω _p : {2, 4, 6}

Ω _I : {1, 3, 5}

Was als nicht-elementare Attribute definiert werden kann.

Beispiel

• Wir wollen die Häufigkeit jeder möglichen Summe beim Werfen von zwei Würfeln berechnen.

Zu diesem Zweck wird ein Experiment programmiert, bei dem in jeder Iteration zwei Quellen für Zufallswerte hinzugefügt werden.

Die Daten werden in einer Tabelle aufgezeichnet und Trends in großer Anzahl untersucht.

Es wird beobachtet, dass die Ergebnisse zwischen den Iterationen erheblich variieren können. Das Gesetz der großen Zahlen zeigt sich jedoch in der offensichtlichen Konvergenz in den letzten beiden Spalten.

Verweise

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