- Das einfache Pendel und die einfache harmonische Vibrationsbewegung
- Einfaches Pendel
- Einfache harmonische Bewegung
- Pendelbewegungsdynamik
- Verschiebung, Geschwindigkeit und Beschleunigung
- Maximale Geschwindigkeit und Beschleunigung
- Fazit
- Verweise
Ein Pendel ist ein Objekt (idealerweise eine Punktmasse), das an einem Faden (idealerweise ohne Masse) an einem festen Punkt hängt und das dank der Schwerkraft schwingt, dieser mysteriösen unsichtbaren Kraft, die unter anderem das Universum festhält.
Die Pendelbewegung ist diejenige, die in einem Objekt von einer Seite zur anderen auftritt und an einer Faser, einem Kabel oder einem Faden hängt. Die Kräfte, die in diese Bewegung eingreifen, sind die Kombination der Schwerkraft (vertikal zum Erdmittelpunkt) und der Spannung des Fadens (Richtung des Fadens).
Pendel schwingt, zeigt Geschwindigkeit und Beschleunigung (wikipedia.org)
Dies ist, was Pendeluhren (daher der Name) oder Spielplatzschaukeln tun. In einem idealen Pendel würde die Schwingungsbewegung ständig fortgesetzt. In einem echten Pendel hingegen stoppt die Bewegung nach einiger Zeit aufgrund von Reibung mit der Luft.
Der Gedanke an ein Pendel macht es unvermeidlich, das Bild der Pendeluhr hervorzurufen, die Erinnerung an diese alte und imposante Uhr aus dem Landhaus der Großeltern. Oder vielleicht Edgar Allan Poes Horrorgeschichte The Well and the Pendulum, deren Erzählung von einer der vielen Foltermethoden der spanischen Inquisition inspiriert ist.
Die Wahrheit ist, dass die verschiedenen Arten von Pendeln über die Zeitmessung hinaus verschiedene Anwendungen haben, wie zum Beispiel die Bestimmung der Erdbeschleunigung an einem bestimmten Ort und sogar die Demonstration der Erdrotation, wie es der französische Physiker Jean Bernard Léon getan hat. Foucault.
Foucault-Pendel. Autor: Veit Froer (wikipedia.org).
Das einfache Pendel und die einfache harmonische Vibrationsbewegung
Einfaches Pendel
Das einfache Pendel ermöglicht, obwohl es ein ideales System ist, einen theoretischen Ansatz für die Bewegung eines Pendels.
Obwohl die Bewegungsgleichungen eines einfachen Pendels etwas komplex sein können, ist die Wahrheit, dass wenn die Amplitude (A) oder Verschiebung der Bewegung von der Gleichgewichtsposition klein ist, sie mit den Gleichungen einer harmonischen Bewegung angenähert werden kann einfach, die nicht allzu kompliziert sind.
Einfache harmonische Bewegung
Die einfache harmonische Bewegung ist eine periodische Bewegung, dh sie wird zeitlich wiederholt. Weiterhin ist es eine Schwingungsbewegung, deren Schwingung um einen Gleichgewichtspunkt herum auftritt, dh einen Punkt, an dem das Nettoergebnis der Summe der auf den Körper ausgeübten Kräfte Null ist.
Auf diese Weise ist ein grundlegendes Merkmal der Bewegung des Pendels seine Periode (T), die die Zeit bestimmt, die benötigt wird, um einen vollständigen Zyklus (oder eine vollständige Schwingung) durchzuführen. Die Periode eines Pendels wird durch den folgenden Ausdruck bestimmt:
wobei l = die Länge des Pendels ist; und g = der Wert der Beschleunigung aufgrund der Schwerkraft.
Eine auf die Periode bezogene Größe ist die Frequenz (f), die die Anzahl der Zyklen bestimmt, die das Pendel in einer Sekunde durchläuft. Auf diese Weise kann die Frequenz aus der Periode mit dem folgenden Ausdruck bestimmt werden:
Pendelbewegungsdynamik
Die Kräfte, die in die Bewegung eingreifen, sind das Gewicht oder was gleich ist, die Schwerkraft (P) und die Spannung des Fadens (T). Die Kombination dieser beiden Kräfte verursacht die Bewegung.
Während die Spannung immer in Richtung des Fadens oder Seils gerichtet ist, der die Masse mit dem festen Punkt verbindet, ist es daher nicht erforderlich, sie zu zersetzen. Das Gewicht ist immer vertikal auf den Massenmittelpunkt der Erde gerichtet, und daher ist es notwendig, es in seine tangentialen und normalen oder radialen Komponenten zu zerlegen.
Die Tangentialkomponente des Gewichts P t = mg sin & thgr;, während die Normalkomponente des Gewichts P N = mg cos & thgr; ist. Diese Sekunde wird durch die Spannung des Fadens ausgeglichen; Die tangentiale Komponente des Gewichts, die als Rückstellkraft wirkt, ist daher letztendlich für die Bewegung verantwortlich.
Verschiebung, Geschwindigkeit und Beschleunigung
Die Verschiebung einer einfachen harmonischen Bewegung und damit des Pendels wird durch die folgende Gleichung bestimmt:
x = A & ohgr; cos (& ohgr; t + & thgr; 0 )
wobei ω = die Winkelgeschwindigkeit der Drehung ist; t = ist die Zeit; und θ 0 = ist die Anfangsphase.
Auf diese Weise können wir mit dieser Gleichung jederzeit die Pendelposition bestimmen. In dieser Hinsicht ist es interessant, einige Beziehungen zwischen einigen der Größen der einfachen harmonischen Bewegung hervorzuheben.
ω = 2 ∏ / T = 2 ∏ / f
Andererseits wird die Formel, die die Geschwindigkeit des Pendels als Funktion der Zeit regelt, erhalten, indem die Verschiebung als Funktion der Zeit wie folgt abgeleitet wird:
v = dx / dt = -A & ohgr; sin (& ohgr ; t + & thgr; 0 )
Auf die gleiche Weise wird der Ausdruck der Beschleunigung in Bezug auf die Zeit erhalten:
a = dv / dt = - A & ohgr; 2 cos (& ohgr; t + & thgr; 0 )
Maximale Geschwindigkeit und Beschleunigung
Wenn man sowohl den Ausdruck der Geschwindigkeit als auch die Beschleunigung beobachtet, kann man einige interessante Aspekte der Pendelbewegung erkennen.
Die Geschwindigkeit nimmt ihren Maximalwert in der Gleichgewichtsposition an, zu welchem Zeitpunkt die Beschleunigung Null ist, da, wie zuvor angegeben, zu diesem Zeitpunkt die Nettokraft Null ist.
Im Gegenteil, an den Extremen der Verschiebung tritt das Gegenteil auf, dort nimmt die Beschleunigung den Maximalwert an und die Geschwindigkeit nimmt einen Nullwert an.
Aus den Gleichungen von Geschwindigkeit und Beschleunigung lässt sich leicht sowohl der Modul der Maximalgeschwindigkeit als auch der Modul der Maximalbeschleunigung ableiten. Es genügt , den maximal möglichen Wert für sowohl sin (ω t + θ nehmen 0 ) und cos (ω t + θ 0 ), die in beiden Fällen 1 ist.
Max v max │ = A ω
Max a max │ = A ω 2
Der Moment, in dem das Pendel seine maximale Geschwindigkeit erreicht, ist, wenn es den Gleichgewichtspunkt der Kräfte durchläuft, seitdem sin (ω t + θ 0 ) = 1 ist. Im Gegensatz dazu wird die maximale Beschleunigung an beiden Enden der Bewegung erreicht, da seitdem cos (ω t + θ 0 ) = 1 ist
Fazit
Ein Pendel ist ein leicht zu entwerfendes Objekt und anscheinend mit einer einfachen Bewegung, obwohl die Wahrheit ist, dass es tief im Inneren viel komplexer ist, als es scheint.
Wenn jedoch die anfängliche Amplitude klein ist, kann ihre Bewegung mit Gleichungen erklärt werden, die nicht übermäßig kompliziert sind, da sie mit den Gleichungen der einfachen harmonischen Schwingungsbewegung angenähert werden kann.
Die verschiedenen Arten von Pendeln, die existieren, haben unterschiedliche Anwendungen sowohl für das tägliche Leben als auch im wissenschaftlichen Bereich.
Verweise
- Van Baak, Tom (November 2013). "Eine neue und wunderbare Pendelperiodengleichung". Horological Science Newsletter. 2013 (5): 22–30.
- Pendel. (nd). In Wikipedia. Abgerufen am 7. März 2018 von en.wikipedia.org.
- Pendel (Mathematik). (nd). In Wikipedia. Abgerufen am 7. März 2018 von en.wikipedia.org.
- Llorente, Juan Antonio (1826). Die Geschichte der Inquisition von Spanien. Gekürzt und übersetzt von George B. Whittaker. Universität Oxford. pp. XX, Vorwort.
- Poe, Edgar Allan (1842). Die Grube und das Pendel. Booklassic. ISBN 9635271905.