YOUNG-MODUL: KALKÜL, ANWENDUNGEN, BEISPIELE, ÜBUNGEN - KÖRPERLICH - 2024

Der Elastizitätsmodul oder Elastizitätsmodul ist die Konstante, die die Zug- oder Druckfestigkeit mit der jeweiligen Zunahme oder Abnahme der Länge in Beziehung setzt, wobei das Objekt diesen Kräften ausgesetzt ist.

Auf Objekte ausgeübte externe Kräfte können nicht nur ihren Bewegungszustand ändern, sondern auch ihre Form ändern oder sie sogar brechen oder brechen.

Abbildung 1. Die Bewegungen der Katze sind voller Elastizität und Anmut. Quelle: Pixabay.

Der Elastizitätsmodul wird verwendet, um die Änderungen zu untersuchen, die in einem Material erzeugt werden, wenn eine Zug- oder Druckkraft von außen ausgeübt wird. Es ist sehr nützlich in Themen wie Ingenieurwesen oder Architektur.

Das Modell verdankt seinen Namen dem britischen Wissenschaftler Thomas Young (1773-1829), der Materialstudien durchgeführt hat, um ein Maß für die Steifigkeit verschiedener Materialien vorzuschlagen.

Was ist Youngs Modell?

Das Modell von Young ist ein Maß für die Steifheit. Bei Materialien mit geringer Steifigkeit (rot) kommt es unter einer Dehnungs- oder Druckbelastung zu einer stärkeren Verformung. Tigraan / CC BY-SA (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0)

Wie stark kann ein Objekt verformt werden? Dies möchten Ingenieure häufig wissen. Die Antwort hängt von den Eigenschaften des Materials und den Abmessungen ab.

Sie können beispielsweise zwei Stangen aus Aluminium mit unterschiedlichen Abmessungen vergleichen. Jedes hat eine andere Querschnittsfläche und Länge und beide sind der gleichen Zugkraft ausgesetzt.

Das erwartete Verhalten ist das folgende:

- Je größer die Dicke (Querschnitt) der Stange ist, desto geringer ist die Dehnung.

- Je länger die Anfangslänge ist, desto größer ist die Enddehnung.

Dies ist sinnvoll, da die Erfahrung zeigt, dass der Versuch, ein Gummiband zu verformen, nicht gleichbedeutend ist mit dem Versuch, es mit einer Stahlstange zu tun.

Ein Parameter, der als Elastizitätsmodul des Materials bezeichnet wird, ist ein Hinweis auf seine elastische Reaktion.

Wie wird es berechnet?

Als Arzt wollte Young wissen, welche Rolle die Elastizität der Arterien für die gute Durchblutung spielt. Aus seinen Erfahrungen schloss er folgende empirische Beziehung:

Es ist möglich, das Verhalten eines Materials unter Beanspruchung grafisch darzustellen, wie in der folgenden Abbildung dargestellt.

Abbildung 2. Diagramm der Spannung gegenüber der Dehnung für ein Material. Quelle: selbst gemacht.

Vom Ursprung zum Punkt A.

Im ersten Abschnitt, der vom Ursprung zum Punkt A führt, ist der Graph eine gerade Linie. Dort gilt das Hookesche Gesetz:

F = kx

Wobei F die Größe der Kraft ist, die das Material in seinen ursprünglichen Zustand zurückbringt, x die Verformung ist, die es erfährt, und k eine Konstante ist, die von dem Objekt abhängt, das der Spannung ausgesetzt ist.

Die hier betrachteten Verformungen sind gering und das Verhalten ist vollkommen elastisch.

Von A nach B

Von A nach B verhält sich das Material ebenfalls elastisch, aber das Verhältnis zwischen Spannung und Dehnung ist nicht mehr linear.

Von B nach C.

Zwischen den Punkten B und C wird das Material dauerhaft verformt und kann nicht in seinen ursprünglichen Zustand zurückkehren.

Von C.

Wenn sich das Material von Punkt C aus weiter dehnt, bricht es schließlich.

Mathematisch lassen sich Youngs Beobachtungen wie folgt zusammenfassen:

Stress ∝ Dehnung

Wo die Proportionalitätskonstante genau der Elastizitätsmodul des Materials ist:

Spannung = Elastizitätsmodul x Verformung

Es gibt viele Möglichkeiten, Materialien zu verformen. Die drei häufigsten Arten von Belastungen, denen ein Objekt ausgesetzt ist, sind:

- Spannung oder Dehnung.

- Kompression.

- Schneiden oder Scheren.

Eine Belastung, der Materialien üblicherweise ausgesetzt sind, beispielsweise im Zivilbau oder in Automobilteilen, ist die Traktion.

Formeln

Wenn ein Objekt der Länge L gedehnt oder gespannt wird, wird es einer Traktion ausgesetzt, die eine Variation seiner Länge verursacht. Ein Diagramm dieser Situation ist in Abbildung 3 dargestellt.

Dies erfordert, dass eine Flächenkraft F pro Flächeneinheit auf seine Enden ausgeübt wird, um eine Dehnung derart zu bewirken, dass ihre neue Länge L + DL wird.

Die Anstrengung, das Objekt zu verformen, ist genau diese Kraft pro Flächeneinheit, während die erlebte Dehnung ΔL / L beträgt.

Abbildung 3. Ein Objekt, das einer Traktion oder Dehnung ausgesetzt ist, erfährt eine Dehnung. Quelle: selbst gemacht.

Bezeichnet den Elastizitätsmodul als Y und gemäß den obigen Angaben:

Die Antwort liegt in der Tatsache, dass die Dehnung die relative Dehnung in Bezug auf die ursprüngliche Länge angibt. Es ist nicht dasselbe wie ein 1 m langer Balken, der sich um 1 cm dehnt oder schrumpft, da eine 100 m lange Struktur gleichermaßen um 1 cm verformt wird.

Für das ordnungsgemäße Funktionieren von Teilen und Strukturen besteht eine Toleranz hinsichtlich der zulässigen relativen Verformungen.

Gleichung zur Berechnung der Verformung

Wenn die obige Gleichung wie folgt analysiert wird:

- Je größer die Querschnittsfläche, desto geringer die Verformung.

- Je länger die Länge, desto größer die Verformung.

- Je höher der Elastizitätsmodul ist, desto geringer ist die Verformung.

Spannungseinheiten entsprechen Newton / Quadratmeter (N / m ² ). Sie sind auch die Druckeinheiten, die im internationalen System den Namen Pascal tragen. Die Dehnung & Dgr; L / L ist andererseits dimensionslos, weil sie der Quotient zwischen zwei Längen ist.

Die Einheiten des englischen Systems sind lb / in ² und werden auch sehr häufig verwendet. Der Umrechnungsfaktor, um von einem zum anderen zu gelangen, beträgt: 14,7 lb / in ² = 1,01325 x 10 ⁵ Pa

Dies führt dazu, dass der Elastizitätsmodul auch Druckeinheiten aufweist. Schließlich kann die obige Gleichung ausgedrückt werden, um nach Y zu lösen:

In der Materialwissenschaft ist die elastische Reaktion dieser auf verschiedene Anstrengungen wichtig, um die für jede Anwendung am besten geeignete auszuwählen, unabhängig davon, ob es sich um die Herstellung eines Flugzeugflügels oder eines Autolagers handelt. Die Eigenschaften des zu verwendenden Materials sind entscheidend für die erwartete Reaktion.

Um das beste Material auszuwählen, müssen die Belastungen bekannt sein, denen ein bestimmtes Stück ausgesetzt sein wird. und wählen Sie folglich das Material aus, dessen Eigenschaften am besten zum Design passen.

Zum Beispiel muss der Flügel eines Flugzeugs stark, leicht und biegbar sein. Die beim Bau von Gebäuden verwendeten Materialien müssen seismischen Bewegungen weitgehend standhalten, müssen aber auch eine gewisse Flexibilität aufweisen.

Ingenieure, die Flugzeugflügel konstruieren, und auch diejenigen, die Baumaterialien auswählen, müssen Spannungs-Dehnungs-Diagramme wie das in Abbildung 2 gezeigte verwenden.

Messungen zur Bestimmung der relevantesten elastischen Eigenschaften eines Materials können in spezialisierten Labors durchgeführt werden. Somit gibt es standardisierte Tests, denen die Proben unterzogen werden, denen verschiedene Spannungen ausgesetzt werden, und die resultierenden Verformungen werden dann gemessen.

Beispiele

Wie oben bereits erwähnt, hängt Y nicht von der Größe oder Form des Objekts ab, sondern von den Eigenschaften des Materials.

Ein weiterer sehr wichtiger Hinweis: Damit die oben angegebene Gleichung anwendbar ist, muss das Material isotrop sein, dh seine Eigenschaften müssen durchgehend unverändert bleiben.

Nicht alle Materialien sind isotrop: Es gibt solche, deren elastische Reaktion von bestimmten Richtungsparametern abhängt.

Die in den vorherigen Segmenten analysierte Verformung ist nur eine von vielen, denen ein Material ausgesetzt werden kann. In Bezug auf die Druckspannung ist dies beispielsweise das Gegenteil der Zugspannung.

Die angegebenen Gleichungen gelten für beide Fälle, und die Werte von Y sind fast immer gleich (isotrope Materialien).

Eine bemerkenswerte Ausnahme ist Beton oder Zement, der der Kompression besser widersteht als der Traktion. Daher muss es verstärkt werden, wenn eine Dehnungsbeständigkeit erforderlich ist. Stahl ist das dafür angegebene Material, da es sehr gut gegen Dehnung oder Traktion ist.

Beispiele für belastete Bauwerke sind Gebäudesäulen und Bögen, klassische Bauelemente in vielen alten und modernen Zivilisationen.

Abbildung 4. Der Pont Julien, ein römischer Bau aus dem Jahr 3 v. Chr. In Südfrankreich.

Gelöste Übungen

Übung 1

Ein 2,0 m langer Stahldraht in einem Musikinstrument hat einen Radius von 0,03 mm. Wenn das Kabel unter einer Spannung von 90 N steht: Wie stark ändert sich seine Länge? Daten: Der Elastizitätsmodul von Stahl beträgt 200 x 10 ⁹ N / m ²

Lösung

Es ist erforderlich, die Querschnittsfläche A = πR ² = π zu berechnen . (0,03 × 10 ^–3 m) ² = 2,83 × 10 ^–9 m ²

Stress ist Stress pro Flächeneinheit:

Da die Saite unter Spannung steht, bedeutet dies, dass sie sich verlängert.

Die neue Länge ist L = L _o + DL, wobei L _o die Anfangslänge ist:

L = 2,32 m

Übung 2

Eine Marmorsäule mit einer Querschnittsfläche von 2,0 m ^{2 trägt} eine Masse von 25.000 kg. Finden:

a) Die Anstrengung in der Wirbelsäule.

b) Dehnung.

c) Wie viel kürzer ist die Säule bei einer Höhe von 12 m?

Lösung

a) Der Aufwand in der Säule ist auf das Gewicht der 25000 kg zurückzuführen:

P = mg = 25000 kg × 9,8 m / s ² = 245.000 N.

Daher ist der Aufwand:

b) Dehnung ist ΔL / L:

c) ΔL ist die Variation der Länge, gegeben durch:

& Delta; L = 2,45 x 10 ^-6 x 12 m = 2,94 x10 ^-5 m = 0,0294 mm.

Es wird nicht erwartet, dass die Marmorsäule signifikant schrumpft. Beachten Sie, dass der Elastizitätsmodul von Young in Marmor niedriger ist als in Stahl und dass die Säule auch eine viel größere Kraft unterstützt, ihre Länge jedoch fast nicht variiert.

Andererseits ist im Seil des vorherigen Beispiels die Variation viel deutlicher, obwohl der Stahl einen viel höheren Elastizitätsmodul hat.

Seine große Querschnittsfläche greift in die Säule ein und ist daher viel weniger verformbar.

Über Thomas Young

1822 Porträt von Thomas Young. Thomas Lawrence / gemeinfrei

Der Elastizitätsmodul ist nach Thomas Young (1773-1829) benannt, einem vielseitigen britischen Wissenschaftler, der in vielen Bereichen große Beiträge zur Wissenschaft geleistet hat.

Als Physiker untersuchte Young nicht nur die Wellennatur des Lichts, die durch das berühmte Doppelspaltexperiment aufgedeckt wurde, sondern war auch Arzt und Linguist und half sogar dabei, einige der ägyptischen Hieroglyphen auf dem berühmten Rosetta-Stein zu entziffern.

Er war unter anderem Mitglied der Royal Society, der Royal Swedish Academy of Sciences, der American Academy of Arts and Sciences oder der French Academy of Sciences.

Es ist jedoch zu beachten, dass das Konzept des Modells zuvor von Leonhar Euler (1707-1873) entwickelt wurde und dass Wissenschaftler wie Giordano Riccati (1709-1790) bereits ein Experiment durchgeführt hatten, das das Modell von Young in die Praxis umgesetzt hätte. .

Verweise

1. Bauer, W. 2011. Physik für Ingenieurwissenschaften. Band 1. Mac Graw Hill. 422-527.
2. Giancoli, D. 2006. Physik: Prinzipien mit Anwendungen. Sechste Ausgabe. Prentice Hall. 238–249.