IRRATIONALE ZAHLEN: GESCHICHTE, EIGENSCHAFTEN, KLASSIFIKATION, BEISPIELE - MATHE - 2025

Die irrationalen Zahlen sind diejenigen, deren Ausdruck unendliche Dezimalzahlen ohne sich wiederholendes Muster aufweist und daher nicht aus dem Verhältnis zwischen zwei beliebigen ganzen Zahlen erhalten werden kann.

Zu den bekanntesten irrationalen Zahlen gehören:

Abbildung 1. Von oben nach unten die folgenden irrationalen Zahlen: pi, Eulers Zahl, goldener Schnitt und zwei Quadratwurzeln. Quelle: Pixabay.

Unter ihnen ist π (pi) zweifellos das bekannteste, aber es gibt noch viel mehr. Alle von ihnen gehören zur Menge der reellen Zahlen, der numerischen Menge, die rationale und irrationale Zahlen zusammenfasst.

Die Auslassungspunkte in Abbildung 1 zeigen an, dass die Dezimalstellen unbegrenzt fortgesetzt werden. In diesem Fall können auf dem Platz gewöhnlicher Taschenrechner nur wenige angezeigt werden.

Wenn wir genau hinschauen, erhalten wir immer dann, wenn wir den Quotienten zwischen zwei ganzen Zahlen bilden, eine Dezimalstelle mit begrenzten Zahlen oder, wenn nicht, mit unendlichen Zahlen, in denen eine oder mehrere wiederholt werden. Nun, das passiert nicht mit irrationalen Zahlen.

Geschichte irrationaler Zahlen

Der große antike Mathematiker Pythagoras, geboren 582 v. Chr. In Samos, Griechenland, gründete die pythagoreische Denkschule und entdeckte den berühmten Satz, der seinen Namen trägt. Wir haben es hier unten links (die Babylonier haben es vielleicht schon lange vorher gewusst).

Abbildung 2. Der Satz von Pythagoras, angewendet auf ein Dreieck mit Seiten gleich 1. Quelle: Pixabay / Wikimedia Commons.

Nun, als Pythagoras (oder wahrscheinlich ein Schüler von ihm) den Satz auf ein rechtwinkliges Dreieck mit Seiten gleich 1 anwendete, fand er die irrationale Zahl √2.

Er hat es so gemacht:

c = √1 ² + 1 ² = √1 + 1 = √2

Und er erkannte sofort, dass diese neue Zahl nicht aus dem Quotienten zwischen zwei anderen natürlichen Zahlen stammte, die zu dieser Zeit bekannt waren.

Er nannte es daher irrational, und die Entdeckung verursachte große Besorgnis und Verwirrung unter den Pythagoräern.

Eigenschaften irrationaler Zahlen

-Die Menge aller irrationalen Zahlen wird mit dem Buchstaben I und manchmal als Q * oder Q ^{C bezeichnet} . Die Vereinigung der irrationalen Zahlen I oder Q * und der rationalen Zahlen Q führt zur Menge der reellen Zahlen R.

- Mit irrationalen Zahlen können die bekannten arithmetischen Operationen ausgeführt werden: Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division, Empowerment und mehr.

-Die Division durch 0 ist auch nicht zwischen irrationalen Zahlen definiert.

-Die Summe und das Produkt zwischen irrationalen Zahlen ist nicht unbedingt eine andere irrationale Zahl. Beispielsweise:

√2 x √8 = √16 = 4

Und 4 ist keine irrationale Zahl.

- Die Summe einer rationalen Zahl plus einer irrationalen Zahl ergibt jedoch ein irrationales Ergebnis. Auf diese Weise:

1 + √2 = 2,41421356237…

-Das Produkt einer rationalen Zahl, die sich durch eine irrationale Zahl von 0 unterscheidet, ist ebenfalls irrational. Schauen wir uns dieses Beispiel an:

2 x √2 = 2,828427125…

-Die Umkehrung eines Irrationalen führt zu einer anderen irrationalen Zahl. Probieren wir einige aus:

1 / √2 = 0,707106781…

1 / √3 = 0,577350269…

Diese Zahlen sind interessant, weil sie auch die Werte einiger trigonometrischer Verhältnisse bekannter Winkel sind. Die meisten trigonometrischen Verhältnisse sind irrationale Zahlen, aber es gibt Ausnahmen wie sin 30º = 0,5 = ½, was rational ist.

-In der Summe sind die kommutativen und assoziativen Eigenschaften erfüllt. Wenn a und b zwei irrationale Zahlen sind, bedeutet dies:

a + b = b + a.

Und wenn c eine andere irrationale Zahl ist, dann:

(a + b) + c = a + (b + c).

-Die Verteilungseigenschaft der Multiplikation in Bezug auf die Addition ist eine weitere bekannte Eigenschaft, die auch für irrationale Zahlen gilt. In diesem Fall:

a. (b + c) = ab + ac

-Ein irrationales a hat sein Gegenteil: -a. Wenn sie addiert werden, ist das Ergebnis 0:

a + (- a) = 0

- Zwischen zwei verschiedenen Rationalen gibt es mindestens eine irrationale Zahl.

Position einer irrationalen Zahl auf der realen Linie

Die reelle Linie ist eine horizontale Linie, in der sich die reellen Zahlen befinden, von denen die irrationalen Zahlen ein wichtiger Teil sind.

Um eine irrationale Zahl in geometrischer Form auf der realen Linie zu finden, können wir den Satz von Pythagoras, ein Lineal und einen Kompass verwenden.

Als Beispiel werden wir √5 auf der realen Linie lokalisieren, für die wir ein rechtwinkliges Dreieck mit den Seiten x = 2 und y = 1 zeichnen, wie in der Abbildung gezeigt:

Abbildung 3. Methode zum Lokalisieren einer irrationalen Zahl auf der realen Linie. Quelle: F. Zapata.

Nach dem Satz von Pythagoras lautet die Hypotenuse eines solchen Dreiecks:

c = √2 ² + 1 ² = √4 + 1 = √5

Jetzt wird der Kompass mit dem Punkt 0 platziert, wo sich auch einer der Eckpunkte des rechtwinkligen Dreiecks befindet. Die Spitze des Kompassstifts sollte am Scheitelpunkt A liegen.

Es wird ein Umfangsbogen gezeichnet, der zur realen Linie schneidet. Da der Abstand zwischen dem Mittelpunkt des Umfangs und einem beliebigen Punkt darauf der Radius ist, der gleich √5 ist, ist der Schnittpunkt auch weit √5 vom Mittelpunkt entfernt.

Aus der Grafik ist ersichtlich, dass √5 zwischen 2 und 2,5 liegt. Ein Taschenrechner gibt uns den ungefähren Wert von:

√5 = 2,236068

Wenn Sie also ein Dreieck mit den entsprechenden Seiten erstellen, können andere irrationale Seiten lokalisiert werden, z. B. √7 und andere.

Klassifikation irrationaler Zahlen

Irrationale Zahlen werden in zwei Gruppen eingeteilt:

-Algebraisch

-Transzendentale oder transzendentale

Algebraische Zahlen

Algebraische Zahlen, die irrational sein können oder nicht, sind Lösungen von Polynomgleichungen, deren allgemeine Form lautet:

a _n x ⁿ + a _n-1 x ^n-1 + a _n-2 x ^n-2 +…. + a ₁ x + a _o = 0

Ein Beispiel für eine Polynomgleichung ist eine quadratische Gleichung wie diese:

x ³ - 2x = 0

Es ist leicht zu zeigen, dass die irrationale Zahl √2 eine der Lösungen dieser Gleichung ist.

Transzendente Zahlen

Andererseits entstehen die transzendenten Zahlen, obwohl sie irrational sind, niemals als Lösung für eine Polynomgleichung.

Die in der angewandten Mathematik am häufigsten vorkommenden transzendenten Zahlen sind π aufgrund ihrer Beziehung zum Umfang und der Zahl e oder der Euler-Zahl, die die Basis natürlicher Logarithmen bildet.

Übung

Ein graues Quadrat wird an der in der Abbildung angegebenen Position auf ein schwarzes Quadrat gesetzt. Die Fläche des schwarzen Quadrats beträgt bekanntermaßen 64 cm ² . Wie lang sind beide Quadrate?

Abbildung 4. Zwei Quadrate, von denen wir die Länge der Seiten ermitteln möchten. Quelle: F. Zapata.

Antworten

Die Fläche eines Quadrats mit Seite L ist:

A = L ²

Da das schwarze Quadrat eine Fläche von 64 cm ² hat, muss seine Seite 8 cm betragen.

Diese Messung entspricht der Diagonale des grauen Quadrats. Wenn wir den Satz von Pythagoras auf diese Diagonale anwenden und uns daran erinnern, dass die Seiten eines Quadrats dasselbe messen, haben wir:

8 ² = L _g ² + L _g ²

Wobei L _g die Seite des grauen Quadrats ist.

Deshalb: 2L _g ² = 8 ²

Anwenden der Quadratwurzel auf beide Seiten der Gleichheit:

L _g = (8 / √2) cm

Verweise

1. Carena, M. 2019. Voruniversitäres Mathematikhandbuch. Nationale Universität des Litoral.
2. Figuera, J. 2000. Mathematik 9 .. Grad. CO-BO-Ausgaben.
3. Jiménez, R. 2008. Algebra. Prentice Hall.
4. Bildungsportal. Irrationale Zahlen und ihre Eigenschaften. Wiederhergestellt von: portaleducativo.net.
5. Wikipedia. Irrationale Zahlen. Wiederhergestellt von: es.wikipedia.org.