GANZE ZAHLEN: EIGENSCHAFTEN, BEISPIELE, ÜBUNGEN - MATHE - 2025

Die ganzen Zahlen sind eine Reihe nützlicher Zahlen, um Objekte zu zählen, die vollständig sind und nicht. Auch um diejenigen zu zählen, die sich auf der einen Seite und auf der anderen Seite eines bestimmten Bezugspunkts befinden.

Auch mit ganzen Zahlen können Sie die Subtraktion oder Differenz zwischen einer Zahl und einer anderen größer als dieser durchführen, wobei das Ergebnis beispielsweise als Schuld beglichen wird. Die Unterscheidung zwischen Gewinn und Schulden erfolgt mit + bzw. - Zeichen.

Abbildung 1. Die Zahlenreihe für ganze Zahlen. Quelle: Wikimedia Commons. Leomg / CC BY-SA (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0).

Daher enthält der Satz ganzer Zahlen Folgendes:

-Positive Ganzzahlen, denen ein + -Zeichen oder einfach das Vorzeichen vorangestellt ist, da auch verstanden wird, dass sie positiv sind. Zum Beispiel: +1, +2, +3 … und so weiter.

-Die 0, bei der das Vorzeichen irrelevant ist, da es nicht wichtig ist, es zu addieren, um es von einer bestimmten Menge zu subtrahieren. Aber 0 ist sehr wichtig, da es die Referenz für die ganzen Zahlen ist: Auf der einen Seite sind die positiven und auf der anderen die negativen, wie wir in Abbildung 1 sehen.

-Negative Ganzzahlen, denen immer das Vorzeichen vorangestellt werden muss - da bei ihnen die Beträge wie Schulden und alle auf der anderen Seite der Referenz stehenden Beträge unterschieden werden. Beispiele für negative ganze Zahlen sind: -1, -2, -3… und danach.

Wie werden ganze Zahlen dargestellt?

Zu Beginn stellen wir die ganzen Zahlen mit der Mengenschreibweise dar: Z = {… -4, -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3, +4…}, dh Listen und organisiert. Eine sehr nützliche Darstellung ist jedoch die von der Zahlenreihe verwendete. Dies erfordert das Zeichnen einer Linie, die im Allgemeinen horizontal ist und auf der 0 markiert und in identische Abschnitte unterteilt ist:

Abbildung 2. Darstellung ganzer Zahlen in der Zahlenreihe. Von 0 nach rechts sind die positiven ganzen Zahlen und von 0 nach links die negativen. Quelle: F. Zapata.

Die Negative stehen links von 0 und die Positiven rechts. Die Pfeile auf der Zahlenlinie symbolisieren, dass die Zahlen bis unendlich reichen. Bei jeder Ganzzahl ist es immer möglich, eine größere oder eine kleinere zu finden.

Der absolute Wert einer Ganzzahl

Der absolute Wert einer ganzen Zahl ist der Abstand zwischen der Zahl und 0. Und Abstände sind immer positiv. Daher ist der absolute Wert der negativen Ganzzahl die Zahl ohne Minuszeichen.

Zum Beispiel ist der Absolutwert von -5 5. Der Absolutwert wird wie folgt durch Balken bezeichnet:

--5- = 5

Um es zu visualisieren, zählen Sie einfach die Leerzeichen auf der Zahlenlinie von -5 bis 0. Während der Absolutwert einer positiven Ganzzahl dieselbe Zahl ist, zum Beispiel - + 3- = 3, da ihr Abstand von 0 ist mit 3 Leerzeichen:

Abbildung 3. Der Absolutwert einer ganzen Zahl ist immer eine positive Größe. Quelle: F. Zapata.

Eigenschaften

-Die Menge von ganzen Zahlen wird als Z bezeichnet und enthält die Menge der natürlichen Zahlen N, wobei ihre Elemente unendlich sind.

- Eine ganze Zahl und die folgende (oder die vorhergehende) werden immer in Einheit unterschieden. Zum Beispiel kommt nach 5 6, wobei 1 der Unterschied zwischen ihnen ist.

-Jede ganze Zahl hat einen Vorgänger und einen Nachfolger.

-Jede positive ganze Zahl ist größer als 0.

-Eine negative Ganzzahl ist immer kleiner als 0 und jede positive Zahl. Nehmen Sie zum Beispiel die Zahl -100, dies ist weniger als 2, als 10 und als 50. Aber es ist auch weniger als -10, -20 und -99 und es ist größer als -200.

-Die 0 hat keine Vorzeichenüberlegungen, da sie weder negativ noch positiv ist.

- Mit ganzen Zahlen können Sie dieselben Operationen ausführen, die mit natürlichen Zahlen ausgeführt werden, nämlich Addition, Subtraktion, Multiplikation, Ermächtigung und mehr.

-Die ganze Zahl gegenüber einer bestimmten ganzen Zahl x ist –x und die Summe einer ganzen Zahl mit ihrem Gegenteil ist 0:

x + (-x) = 0.

Operationen mit ganzen Zahlen

- Summe

-Wenn die hinzuzufügenden Zahlen das gleiche Vorzeichen haben, werden ihre absoluten Werte addiert und das Ergebnis mit dem Vorzeichen der Addenden platziert. Hier sind einige Beispiele:

a) (+8) + (+9) = 8 + 9 = +17

b) (-12) + (- 10) = - (12 + 10) = -22

-Wenn die Zahlen ein anderes Vorzeichen haben, werden die absoluten Werte subtrahiert (der höchste vom niedrigsten) und das Ergebnis wird wie folgt mit dem Vorzeichen der Zahl mit dem höchsten absoluten Wert platziert:

a) (-8) + (21) = 21 - 8 = 13

b) (-9) + (+4) = - (9-4) = -5

Eigenschaften der Summe von ganzen Zahlen

-Die Summe ist kommutativ, daher ändert die Reihenfolge der Addenden nichts an der Summe. Sei a und b zwei ganze Zahlen, es ist wahr, dass a + b = b + a

-Die 0 ist das neutrale Element der Summe der ganzen Zahlen: a + 0 = a

- Jede zu ihrem Gegenteil hinzugefügte Ganzzahl ist 0. Das Gegenteil von + a ist –a, und umgekehrt ist das Gegenteil von –a + a. Deshalb: (+ a) + (-a) = 0.

Abbildung 2. Vorzeichenregel für die Addition ganzer Zahlen. Quelle: Wikimedia Commons.

- Subtraktion

Um ganze Zahlen zu subtrahieren, muss man sich an dieser Regel orientieren: Die Subtraktion entspricht der Addition einer Zahl mit dem Gegenteil. Sei a und b zwei Zahlen, dann:

a - b = a + (-b)

Angenommen, Sie müssen die folgende Operation ausführen: (-3) - (+7), dann:

(-3) - (+7) = (-3) + (-7) = - (3 + 7) = -10

- Multiplikation

Die Multiplikation ganzer Zahlen folgt bestimmten Regeln für Zeichen:

-Das Produkt zweier Zahlen mit demselben Vorzeichen ist immer positiv.

-Wenn zwei Zahlen mit unterschiedlichen Vorzeichen multipliziert werden, ist das Ergebnis immer negativ.

-Der Wert des Produkts entspricht der Multiplikation der jeweiligen Absolutwerte.

Sofort einige Beispiele, die das Obige verdeutlichen:

(-5) x (+8) = -5 x 8 = -40

(-10) x (-12) = 10 x 12 = 120

(+4) x (+32) = 4 x 32 = 128

Eigenschaften der Multiplikation von ganzen Zahlen

-Multiplikation ist kommutativ. A und b seien zwei ganze Zahlen, es ist wahr, dass: ab = ba, was auch ausgedrückt werden kann als:

-Das neutrale Element der Multiplikation ist 1. Sei a eine ganze Zahl, also a.1 = 1

-Jede ganze Zahl multipliziert mit 0 ist gleich 0: a.0 = 0

Die Verteilungseigenschaft

Die Multiplikation entspricht der Verteilungseigenschaft in Bezug auf die Addition. Wenn a, b und c ganze Zahlen sind, dann:

a. (b + c) = ab + ac

Hier ist ein Beispiel für die Anwendung dieser Eigenschaft:

(-3). = (-3). (- 4) + (- 3) .11 = 12 - 33 = 12 + (-33) = -21

Ermächtigung

-Wenn die Basis positiv ist, ist das Ergebnis der Operation immer positiv.

-Wenn die Basis negativ ist und der Exponent gerade ist, ist das Ergebnis positiv. und wenn der Exponent ungerade ist, ist das Ergebnis negativ.

- Aufteilung

Für die Division gelten die gleichen Vorzeichenregeln wie für die Multiplikation:

- Wenn zwei ganze Zahlen desselben Vorzeichens geteilt werden, ist das Ergebnis immer positiv.

-Wenn zwei ganze Zahlen mit unterschiedlichen Vorzeichen geteilt werden, ist der Quotient negativ.

Beispielsweise:

(-12) ÷ (-4) = 3

33 ÷ (-3) = -11

Wichtig : Division ist nicht kommutativ, mit anderen Worten a ÷ b ≠ b ÷ a und wie immer ist Division durch 0 nicht erlaubt.

- Ermächtigung

Sei a eine ganze Zahl und wir wollen sie auf einen Exponenten n erhöhen, dann müssen wir a n-mal mit sich selbst multiplizieren, wie unten gezeigt:

a ⁿ = aaaa… .. .a

Beachten Sie auch Folgendes, wobei zu berücksichtigen ist, dass n eine natürliche Zahl ist:

-Wenn a negativ und n gerade ist, ist das Ergebnis positiv.

-Wenn a negativ und n ungerade ist, ergibt sich eine negative Zahl.

-Wenn a positiv und n gerade oder ungerade ist, ergibt sich immer eine positive ganze Zahl.

-Jede auf 0 erhobene Ganzzahl ist gleich 1: a ⁰ = 1

-Jede auf 1 erhobene Zahl entspricht der Zahl: a ¹ = a

Nehmen wir zum Beispiel an, wir wollen (–3) ^{4 finden} , dazu multiplizieren wir (-3) viermal mit sich selbst: (–3). (- 3). (- 3). (- 3) = 81.

Ein weiteres Beispiel, auch mit einer negativen Ganzzahl, ist:

(-2) ³ = (-2). (-2). (-2) = -8

Produkt von Kräften gleicher Basis

Angenommen, zwei Potenzen gleicher Basis, wenn wir sie multiplizieren, erhalten wir eine weitere Potenz mit derselben Basis, deren Exponent die Summe der gegebenen Exponenten ist:

a ⁿ a ^m = a ^{n + m}

Quotient gleicher Basisleistungen

Wenn Kräfte gleicher Basis geteilt werden, ist das Ergebnis eine Potenz mit derselben Basis, deren Exponent die Subtraktion der gegebenen Exponenten ist:

a ⁿ ÷ a ^m = a ^{n - m}

Hier sind zwei Beispiele, die diese Punkte verdeutlichen:

(-2) ^3. (- 2) ⁵ = (-2) ^{3 + 5} = (-2) ⁸

5 ⁶ ÷ 5 ⁴ = 5 ^6-4 = 5 ²

Beispiele

Schauen wir uns einfache Beispiele an, um diese Regeln anzuwenden, und denken Sie daran, dass bei positiven ganzen Zahlen auf das Vorzeichen verzichtet werden kann:

a) (+6) + (+14) = 6 + 14 = 20

b) (-8) + (- 10) = - (8 + 10) = -18

c) (-16) + (+7) = -16 + 7 = -9

d) (+4) + (-8) + (-25) = + (-25) = -25 = -4 -25 = -29

e) (-8) - (+15) = (-8) + (-15) = -8-15 = -23

f) (+3) x (+9) = 3 x 9 = 27

g) (- 4) x (-11) = 4 x 11 = 44

h) (+5) x (-12) = -5 x 12 = -60

i) (-2) ³ = (-2) x (-2) x (-2) = -8

Gelöste Übungen

- Übung 1

Eine Ameise bewegt sich entlang der Zahlenlinie in Abbildung 1. Ab dem Punkt x = +3 macht sie die folgenden Bewegungen:

- Verschiebt 7 Einheiten nach rechts

- Jetzt geben Sie 5 Einheiten nach links zurück

- Gehen Sie 3 weitere Einheiten nach links.

-Er geht zurück und bewegt 4 Einheiten nach rechts.

Wann ist die Ameise am Ende der Tour?

Lösung

Nennen wir die Verschiebungen D. Wenn sie rechts sind, erhalten sie ein positives Vorzeichen und wenn sie links sind, ein negatives Vorzeichen. Auf diese Weise und ab x = +3 haben wir:

-Erstes D: x ₁ = +3 + 7 = +10

- Zweite D: x ₂ = +10 + (-5) = +5

- Drittes D: x ₃ = +5 + (-3) = +2

-Raum D: x ₄ = +2 + 4 = +6

Wenn die Ameise ihren Spaziergang beendet hat, befindet sie sich in der Position x = +6. Das heißt, es sind 6 Einheiten rechts von 0 in der Zahlenreihe.

- Übung 2

Lösen Sie die folgende Operation:

{36 +}. {- + 2 (-8 + 6)]}

Lösung

Diese Operation enthält Gruppierungszeichen, bei denen es sich um Klammern, eckige Klammern und geschweifte Klammern handelt. Beim Lösen müssen Sie zuerst auf die Klammern, dann auf die Klammern und zuletzt auf die Klammern achten. Mit anderen Worten, Sie müssen von innen nach außen arbeiten.

In dieser Übung stellt der Punkt eine Multiplikation dar. Wenn jedoch kein Punkt zwischen einer Zahl und einer Klammer oder einem anderen Symbol steht, wird dies auch als Produkt verstanden.

Unterhalb der Auflösung dienen die Farben Schritt für Schritt als Leitfaden, um das Ergebnis der Reduzierung der Klammern zu verfolgen, die die innersten Gruppierungssymbole darstellen:

{36 +}. {- + 2 (-8 + 6)]} =

= {36 +}. {- + 2 (-2)]} =

= {36 +}. {- 4]} =

= {52}. {1- 4]} = {52}. {- 3} = -156

- Übung 3

Löse die Gleichung ersten Grades:

12 + x = 30 + 3x

Lösung

Die Begriffe werden mit dem Unbekannten links von der Gleichheit und den numerischen Begriffen rechts gruppiert:

x - 3x = 30 - 12

- 2x = 18

x = 18 / (-2)

x = - 9

Verweise

1. Carena, M. 2019. Voruniversitäres Mathematikhandbuch. Nationale Universität des Litoral.
2. Figuera, J. 2000. 7. Klasse Mathematik. CO-BO-Ausgaben.
3. Hoffmann, J. 2005. Auswahl mathematischer Themen. Monfort Veröffentlichungen.
4. Jiménez, R. 2008. Algebra. Prentice Hall.
5. Die ganzen Zahlen. Wiederhergestellt von: Cimanet.uoc.edu.