BOOLESCHE ALGEBRA: GESCHICHTE, THEOREME UND POSTULATE, BEISPIELE - MATHE - 2025

Die Boolesche Algebra oder Boolesche Algebra ist eine algebraische Notation, die zur Behandlung von binären Variablen verwendet wird. Es umfasst die Studien aller Variablen, die nur zwei mögliche Ergebnisse haben, die sich ergänzen und gegenseitig ausschließen. Beispielsweise bilden Variablen, deren einzige Möglichkeit wahr oder falsch, richtig oder falsch, ein oder aus ist, die Grundlage für das Studium der Booleschen Algebra.

Die Boolesche Algebra bildet die Grundlage der digitalen Elektronik und ist heute sehr präsent. Es wird durch das Konzept der Logikgatter geregelt, bei denen bekannte Operationen in der traditionellen Algebra besonders betroffen sind.

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Geschichte

Die Boolesche Algebra wurde 1854 vom englischen Mathematiker George Boole (1815 - 1864) eingeführt, der damals Autodidakt war. Seine Besorgnis ergab sich aus einem bestehenden Streit zwischen Augustus De Morgan und William Hamilton über die Parameter, die dieses logische System definieren.

George Boole argumentierte, dass die Definition der numerischen Werte 0 und 1 im Bereich der Logik der Interpretation Nothing bzw. Universe entspricht.

George Booles Absicht war es, durch die Eigenschaften der Algebra die Ausdrücke der Aussagenlogik zu definieren, die notwendig sind, um mit Variablen vom binären Typ umzugehen.

1854 wurden die wichtigsten Abschnitte der Booleschen Algebra in dem Buch "Eine Untersuchung der Denkgesetze, auf denen die mathematischen Theorien von Logik und Wahrscheinlichkeit basieren" veröffentlicht.

Dieser merkwürdige Titel wird später als "Die Gesetze des Denkens" ("Die Gesetze des Denkens") zusammengefasst. Der Titel wurde berühmt durch die unmittelbare Aufmerksamkeit, die er von der damaligen mathematischen Gemeinschaft erhielt.

1948 wandte Claude Shannon es auf den Entwurf bistabiler elektrischer Schaltkreise an. Dies diente als Einführung in die Anwendung der Booleschen Algebra innerhalb des gesamten elektronisch-digitalen Schemas.

Struktur

Die Elementarwerte in dieser Art von Algebra sind 0 und 1, was FALSE bzw. TRUE entspricht. Die grundlegenden Operationen in der Booleschen Algebra sind 3:

- UND-Betrieb oder Konjunktion. Vertreten durch einen Punkt (.). Synonym des Produkts.

- ODER Operation oder Disjunktion. Dargestellt durch ein Kreuz (+). Synonym der Summe.

- NICHT Betrieb oder Verneinung. Dargestellt durch das Präfix NOT (NOT A). Es ist auch als Ergänzung bekannt.

Wenn in einer Menge A 2 Gesetze der inneren Zusammensetzung definiert sind, die als Produkt und Summe (. +) Bezeichnet sind, wird gesagt, dass das Tripel (A. +) genau dann eine Boolesche Algebra ist, wenn das Tripel die Bedingung erfüllt, ein Gitter zu sein verteilend.

Um ein Verteilungsgitter zu definieren, müssen die Verteilungsbedingungen zwischen den angegebenen Operationen erfüllt sein:

. ist in Bezug auf die Summe + a verteilend . (b + c) = (a. b) + (a. c)

+ ist in Bezug auf das Produkt verteilend. a + (b. c) = (a + b). (a + c)

Die Elemente, aus denen Satz A besteht, müssen binär sein und daher Universums- oder Leerwerte haben.

Anwendungen

Das Hauptanwendungsszenario ist der digitale Zweig, in dem die Schaltkreise strukturiert werden, aus denen die beteiligten logischen Operationen bestehen. Die Kunst der Einfachheit der Schaltung zugunsten der Optimierung von Prozessen ist das Ergebnis der korrekten Anwendung und Praxis der Booleschen Algebra.

Von der Ausarbeitung von Schalttafeln über die Datenübertragung bis hin zur Programmierung in verschiedenen Sprachen finden wir häufig Boolesche Algebra in allen Arten von digitalen Anwendungen.

Boolesche Variablen sind in der Programmierstruktur sehr verbreitet. Abhängig von der verwendeten Programmiersprache enthält der Code strukturelle Operationen, die diese Variablen verwenden. Die Bedingungen und Argumente jeder Sprache lassen boolesche Variablen zu, um die Prozesse zu definieren.

Postulate

Es gibt Theoreme, die die strukturellen logischen Gesetze der Booleschen Algebra regeln. Auf die gleiche Weise gibt es Postulate, um die möglichen Ergebnisse in verschiedenen Kombinationen von Binärvariablen zu kennen, abhängig von der ausgeführten Operation.

Summe (+)

Der ODER- Operator, dessen logisches Element die Vereinigung (U) ist, wird für binäre Variablen wie folgt definiert:

0 + 0 = 0

0 + 1 = 1

1 + 0 = 1

1 + 1 = 1

Produkt (.)

Der AND- Operator, dessen logisches Element der Schnittpunkt (∩) ist, wird für binäre Variablen wie folgt definiert:

0. 0 = 0

0. 1 = 0

einer . 0 = 0

einer . 1 = 1

Gegenüber (NICHT)

Der NOT- Operator, dessen logisches Element das Komplement (X) 'ist, wird für binäre Variablen wie folgt definiert:

NICHT 0 = 1

NICHT 1 = 0

Viele der Postulate unterscheiden sich von ihren Gegenstücken in der konventionellen Algebra. Dies liegt an der Domäne der Variablen. Zum Beispiel kann das Hinzufügen von Universumselementen in der Booleschen Algebra (1 + 1) nicht das konventionelle Ergebnis von 2 ergeben, da es nicht zu den Elementen der Binärmenge gehört.

Theoreme

Regel von Null und Einheit

Jede einfache Operation, die ein Element mit den binären Variablen umfasst, ist definiert:

0 + A = A.

1 + A = 1

0. A = 0

einer . A = A.

Gleiche Kräfte oder Idempotenz

Operationen zwischen gleichen Variablen sind definiert als:

A + A = A.

TO. A = A.

Ergänzung

Jede Operation zwischen einer Variablen und ihrem Komplement ist definiert als:

A + NICHT A = 1

TO. NICHT A = 0

Involution oder doppelte Negation

Jede doppelte Negation wird als natürliche Variable betrachtet.

NICHT (NICHT A) = A.

Kommutativ

A + B = B + A; Kommutativität der Summe.

TO. B = B. TO; Kommutativität des Produkts.

Assoziativ

A + (B + C) = (A + B) + C = A + B + C; Assoziativität der Summe.

TO. (B. C) = (A. B). C = A. B. B. C; Produktassoziativität.

Verteilend

A + (B. C) = (A + B). (A + C); Verteilbarkeit der Summe in Bezug auf das Produkt.

TO. (B + C) = (A. B) + (A + C); Verteilbarkeit des Produkts in Bezug auf die Summe.

Absorptionsgesetze

Es gibt viele Absorptionsgesetze unter mehreren Referenzen, einige der bekanntesten sind:

TO. (A + B) = A.

TO. (NICHT A + B) = A. B.

NICHT A (A + B) = NICHT A. B.

(A + B). (A + NICHT B) = A.

A + A. B = A.

A + NICHT A. B = A + B.

NICHT A + A. B = NICHT A + B.

TO. B + A. NICHT B = A.

Morgans Satz

Es handelt sich um Transformationsgesetze, die Variablenpaare behandeln, die zwischen den definierten Operationen der Booleschen Algebra (+.) Interagieren.

NICHT (A. B) = NICHT A + NICHT B.

NICHT (A + B) = NICHT A. NICHT B

A + B = NICHT (NICHT A + NICHT B)

TO. B = NICHT (NICHT A. NICHT B)

Dualität

Alle Postulate und Theoreme besitzen die Fähigkeit der Dualität. Dies impliziert, dass durch den Austausch der Variablen und Operationen der resultierende Satz verifiziert wird. Das heißt, wenn 0 gegen 1 und UND gegen ODER ausgetauscht wird oder umgekehrt; Es wird ein Ausdruck erstellt, der ebenfalls vollständig gültig ist.

Zum Beispiel, wenn das Postulat genommen wird

einer . 0 = 0

Und Dualität wird angewendet

0 + 1 = 1

Ein weiteres vollkommen gültiges Postulat wird erhalten.

Karnaugh Karte

Die Karnaugh-Karte ist ein Diagramm, das in der Booleschen Algebra verwendet wird, um logische Funktionen zu vereinfachen. Es besteht aus einer zweidimensionalen Anordnung ähnlich den Wahrheitstabellen der Aussagenlogik. Die Daten aus den Wahrheitstabellen können direkt auf der Karnaugh-Karte erfasst werden.

Die Karnaugh-Karte kann Prozesse mit bis zu 6 Variablen aufnehmen. Für Funktionen mit einer höheren Anzahl von Variablen wird die Verwendung von Software empfohlen, um den Prozess zu vereinfachen.

1953 von Maurice Karnaugh vorgeschlagen, wurde es als festes Werkzeug auf dem Gebiet der Booleschen Algebra etabliert, da seine Implementierung das menschliche Potenzial mit der Notwendigkeit synchronisiert, Boolesche Ausdrücke zu vereinfachen, ein Schlüsselaspekt für die Fluidität digitaler Prozesse.

Beispiele

Die Boolesche Algebra wird verwendet, um Logikgatter in einer Schaltung zu reduzieren, wobei die Priorität darin besteht, die Komplexität oder den Pegel der Schaltung auf den niedrigstmöglichen Ausdruck zu bringen. Dies ist auf die Rechenverzögerung zurückzuführen, die jedes Gate annimmt.

Im folgenden Beispiel werden wir die Vereinfachung eines logischen Ausdrucks auf seinen minimalen Ausdruck unter Verwendung der Theoreme und Postulate der Booleschen Algebra beobachten.

NICHT (AB + A + B). NICHT (A + NICHT B)

NICHT. NICHT (A + NICHT B); Faktorisierung von A mit einem gemeinsamen Faktor.

NICHT. NICHT (A + NICHT B); Nach Satz A + 1 = 1.

NICHT (A + B). NICHT (A + NICHT B); nach Satz A. 1 = A.

(NICHT A. NICHT B). ;;

Nach Morgans Theorem NICHT (A + B) = NICHT A. NICHT B

(NICHT A. NICHT B). (NICHT A. B); Durch den Satz der doppelten Negation ist NOT (NOT A) = A.

KEIN. NICHT B. KEIN. B; Algebraische Gruppierung.

KEIN. KEIN. NICHT B. B; Kommutativität von Produkt A. B = B. ZU

KEIN. NICHT B. B; Nach Satz A. A = A.

KEIN. 0; Nach Satz A. NICHT A = 0

0; Nach Satz A. 0 = 0

TO. B. B. C + NICHT A + A. NICHT B. C.

TO. C. (B + NICHT B) + NICHT A; Faktorisierung (A. C) mit einem gemeinsamen Faktor.

TO. C. (1) + NICHT A; Nach Satz A + NICHT A = 1

TO. C + NICHT A; Nach der Regel des Nullsatzes und der Einheit 1. A = A.

NICHT A + C ; Nach dem Gesetz von Morgan A + NOT A. B = A + B.

Für diese Lösung muss Morgans Gesetz erweitert werden, um Folgendes zu definieren:

NICHT (NICHT A). C + NICHT A = NICHT A + C.

Weil NICHT (NICHT A) = A durch Involution.

Vereinfachen Sie die Logikfunktion

KEIN. NICHT B. NICHT C + NICHT A. NICHT B. C + NICHT A. NICHT C bis zum minimalen Ausdruck

KEIN. NICHT B. (NICHT C + C) + NICHT A. NICHT C; Faktorisierung (NICHT A. NICHT B) mit gemeinsamem Faktor

KEIN. NICHT B. (1) + NICHT A. NICHT C; Nach Satz A + NICHT A = 1

(NICHT A. NICHT B) + (NICHT A. NICHT C); Nach der Regel des Nullsatzes und der Einheit 1. A = A.

NICHT A (NICHT B + NICHT C); Faktorisierung NICHT A mit einem gemeinsamen Faktor

KEIN. NICHT (B. C); Nach Morgan-Gesetzen NICHT (A. B) = NICHT A + NICHT B.

NICHT Nach Morgans Gesetzen NICHT (A. B) = NICHT A + NICHT B.

Jede der 4 fett gedruckten Optionen stellt eine mögliche Lösung dar, um den Pegel der Schaltung zu verringern

Vereinfachen Sie die logische Funktion in ihrer einfachsten Form

(A. NICHT B. C + A. NICHT B. B. D + NICHT A. NICHT B). C.

(A. NICHT B. C + A. 0. D + NICHT A. NICHT B). C; Nach Satz A. NICHT A = 0

(A. NICHT B. C + 0 + NICHT A. NICHT B). C; Nach Satz A. 0 = 0

(A. NICHT B. C + NICHT A. NICHT B). C; Nach Satz A + 0 = A.

TO. NICHT B. C. C + NICHT A. NICHT B. C; Durch die Verteilung des Produkts in Bezug auf die Summe

TO. NICHT B. C + NICHT A. NICHT B. C; Nach Satz A. A = A.

NICHT B. C (A + NICHT A) ; Faktorisierung (NICHT B. C) mit gemeinsamem Faktor

NICHT B. C (1); Nach Satz A + NICHT A = 1

NICHT B. C; Nach der Regel des Nullsatzes und der Einheit 1. A = A.

Verweise

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2. Mathematik und Ingenieurwissenschaften in der Informatik. Christopher J. Van Wyk. Institut für Informatik und Technologie. National Bureau of Standards. Washington, DC 20234
3. Mathematik für die Informatik. Eric Lehman. Google Inc.
   F Thomson Leighton Fakultät für Mathematik und das Labor für Informatik und KI, Massachussetts Institute of Technology; Akamai Technologies.
4. Elemente der abstrakten Analyse. Mícheál O'Searcoid PhD. Abteilung für Mathematik. Universität Dublin, Beldfield, Dublind.
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