Die lineare Interpolation ist eine Methode, die eine allgemeine Newton-Interpolation und -Näherung erstellt, um einen unbekannten Wert zu bestimmen, der zwischen zwei gegebenen Zahlen liegt. Das heißt, es wird ein Zwischenwert gefunden. Es wird auch auf Näherungsfunktionen angewendet, bei denen die Werte f (a) und f (b) bekannt sind und wir das Zwischenprodukt von f (x) kennen wollen .
Es gibt verschiedene Arten der Interpolation, wie lineare, quadratische, kubische und höhere Grade, wobei die lineare Approximation die einfachste ist. Der Preis, der mit linearer Interpolation gezahlt werden muss, ist, dass das Ergebnis nicht so genau ist wie bei Approximationen mit Funktionen höheren Grades.
Definition
Die lineare Interpolation ist ein Prozess, mit dem Sie einen Wert zwischen zwei genau definierten Werten ableiten können, die sich in einer Tabelle oder in einem Liniendiagramm befinden können.
Wenn Sie beispielsweise wissen, dass 3 Liter Milch 4 USD und 5 Liter 7 USD wert sind, Sie aber wissen möchten, wie hoch der Wert von 4 Litern Milch ist, interpolieren Sie, um diesen Zwischenwert zu bestimmen.
Methode
Um einen Zwischenwert einer Funktion abzuschätzen, wird die Funktion f (x) mittels einer Linie r (x) approximiert , was bedeutet, dass die Funktion für einen Abschnitt «x = a» und «x = linear mit« x »variiert b "; Das heißt, für einen Wert "x" in den Intervallen (x 0 , x 1 ) und (y 0 , y 1 ) wird der Wert von "y" durch die Linie zwischen den Punkten angegeben und durch die folgende Beziehung ausgedrückt:
(y - y 0 ) ÷ (x - x 0 ) = (y 1 - y 0 ) ÷ (x 1 - x 0 )
Damit eine Interpolation linear ist, muss das Interpolationspolynom den Grad eins (n = 1) haben, damit es den Werten von x 0 und x 1 entspricht.
Die lineare Interpolation basiert auf der Ähnlichkeit von Dreiecken, so dass aus dem vorherigen Ausdruck geometrisch der Wert von "y" abgeleitet werden kann, der den unbekannten Wert für "x" darstellt.
Auf diese Weise müssen Sie:
a = tan Ɵ = (gegenüberliegendes Bein 1 ÷ benachbartes Bein 1 ) = (gegenüberliegendes Bein 2 ÷ benachbartes Bein 2 )
Anders ausgedrückt ist es:
(y - y 0 ) ÷ (x - x 0 ) = (y 1 - y 0 ) ÷ (x 1 - x 0 )
Wenn wir nach «und» aus den Ausdrücken auflösen, haben wir:
(y - y 0 ) * (x 1 - x 0 ) = (x - x 0 ) * (y 1 - y 0 )
(y - y 0 ) = (y 1 - y 0 ) *
Somit wird die allgemeine Gleichung für die lineare Interpolation erhalten:
y = y 0 + (y 1 - y 0 ) *
Im Allgemeinen ergibt die lineare Interpolation einen kleinen Fehler beim tatsächlichen Wert der wahren Funktion, obwohl der Fehler im Vergleich zu einer intuitiven Auswahl einer Zahl nahe der gewünschten Zahl minimal ist.
Dieser Fehler tritt auf, wenn versucht wird, den Wert einer Kurve mit einer geraden Linie zu approximieren. In diesen Fällen muss die Größe des Intervalls reduziert werden, um die Annäherung genauer zu machen.
Für bessere Ergebnisse hinsichtlich der Approximation ist es ratsam, Funktionen der Grade 2, 3 oder sogar höherer Grade zu verwenden, um die Interpolation durchzuführen. Für diese Fälle ist der Taylor-Satz ein sehr nützliches Werkzeug.
Gelöste Übungen
Übung 1
Die Anzahl der Bakterien pro Volumeneinheit, die bei einer Inkubation nach x Stunden vorhanden sind, ist in der folgenden Tabelle angegeben. Sie möchten wissen, wie groß das Bakterienvolumen für die Zeit von 3,5 Stunden ist.
Lösung
Die Referenztabelle legt keinen Wert fest, der die Bakterienmenge für eine Zeit von 3,5 Stunden angibt, aber es gibt obere und untere Werte, die einer Zeit von 3 bzw. 4 Stunden entsprechen. Dieser Weg:
x 0 = 3 und 0 = 91
x = 3,5 y =?
x 1 = 4 und 1 = 135
Nun wird die mathematische Gleichung angewendet, um den interpolierten Wert zu finden, der der folgende ist:
y = y 0 + (y 1 - y 0 ) * .
Dann werden die entsprechenden Werte ersetzt:
y = 91 + (135 - 91) *
y = 91 + (44) *
y = 91 + 44 * 0,5
y = 113.
Somit wird erhalten, dass für eine Zeit von 3,5 Stunden die Anzahl der Bakterien 113 beträgt, was ein Zwischenniveau zwischen dem Volumen der Bakterien darstellt, die in den Zeiten von 3 und 4 Stunden vorhanden sind.
Übung 2
Luis hat eine Eisfabrik und möchte eine Studie durchführen, um das Einkommen, das er im August hatte, anhand der getätigten Ausgaben zu ermitteln. Der Administrator des Unternehmens erstellt ein Diagramm, das diese Beziehung ausdrückt, aber Luis möchte wissen:
Was ist das Einkommen für August, wenn ein Aufwand von 55.000 USD angefallen ist?
Lösung
Es wird eine Grafik mit den Werten der Einnahmen und Ausgaben angegeben. Luis möchte wissen, wie hoch die Einnahmen für August sind, wenn die Fabrik Ausgaben in Höhe von 55.000 US-Dollar hatte. Dieser Wert wird nicht direkt im Diagramm wiedergegeben, aber die Werte sind höher und niedriger.
Zuerst wird eine Tabelle erstellt, in der die Werte leicht in Beziehung gesetzt werden können:
Nun wird die Interpolationsformel verwendet, um somit den Wert von y zu bestimmen
y = y 0 + (y 1 - y 0 ) *
Dann werden die entsprechenden Werte ersetzt:
y = 56.000 + (78.000 - 56.000) *
y = 56.000 + (22.000) *
y = 56.000 + (22.000) * (0,588)
y = 56.000 + 12.936
y = 68.936 USD.
Wenn im August eine Ausgabe von 55.000 USD getätigt wurde, betrug das Einkommen 68.936 USD.
Verweise
- Arthur Goodman, LH (1996). Algebra und Trigonometrie mit analytischer Geometrie. Pearson Ausbildung.
- Harpe, P. d. (2000). Themen der geometrischen Gruppentheorie. University of Chicago Press.
- Hazewinkel, M. (2001). Lineare Interpolation ", Encyclopedia of Mathematics.
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- numerisch, I. a. (2006). Xavier Tomàs, Jordi Cuadros und Lucinio González.