HEPTADECAGON: EIGENSCHAFTEN, DIAGONALEN, UMFANG, FLÄCHE - MATHE - 2025

Das Siebeneck ist ein regelmäßiges Polygon mit 17 Seiten und 17 Eckpunkten. Seine Konstruktion kann im euklidischen Stil erfolgen, dh nur mit dem Lineal und dem Kompass. Es war das große mathematische Genie Carl Friedrich Gauss (1777-1855), kaum 18 Jahre alt, das 1796 das Verfahren für seinen Bau fand.

Anscheinend neigte Gauß immer sehr zu dieser geometrischen Figur, so dass er sich von dem Tag an, an dem er ihre Konstruktion entdeckte, entschied, Mathematiker zu werden. Es wird auch gesagt, dass er wollte, dass das Siebeneck auf seinem Grabstein eingraviert wird.

Abbildung 1. Das Heptadecagon ist ein reguläres Polygon mit 17 Seiten und 17 Eckpunkten. Quelle: F. Zapata.

Gauß fand auch die Formel, um zu bestimmen, welche regulären Polygone die Möglichkeit haben, mit Lineal und Kompass konstruiert zu werden, da einige keine exakte euklidische Konstruktion haben.

Eigenschaften des Heptadecagons

Wie bei jedem Polygon ist auch bei seinen Eigenschaften die Summe seiner Innenwinkel wichtig. In einem regulären Polygon mit n Seiten ist die Summe gegeben durch:

Diese Summe, ausgedrückt im Bogenmaß, sieht folgendermaßen aus:

Aus den obigen Formeln kann leicht abgeleitet werden, dass jeder Innenwinkel eines Heptadecagons ein genaues Maß α hat, das gegeben ist durch:

Daraus folgt, dass der Innenwinkel ungefähr ist:

Diagonalen und Umfang

Diagonalen und Umfang sind weitere wichtige Aspekte. In jedem Polygon beträgt die Anzahl der Diagonalen:

D = n (n - 3) / 2 und im Fall des Heptadecagons als n = 17 haben wir D = 119 Diagonalen.

Wenn andererseits die Länge jeder Seite des Heptadecagons bekannt ist, wird der Umfang des regulären Heptadecagels einfach durch Hinzufügen des 17-fachen dieser Länge oder was dem 17-fachen der Länge d jeder Seite entspricht, ermittelt:

P = 17 d

Umfang des Siebenecks

Manchmal ist nur der Radius r des Heptadecagons bekannt, daher ist es notwendig, eine Formel für diesen Fall zu entwickeln.

Zu diesem Zweck wird das Konzept des Apothems eingeführt. Das Apothem ist das Segment, das von der Mitte des regulären Polygons zum Mittelpunkt einer Seite verläuft. Das Apothem relativ zu einer Seite ist senkrecht zu dieser Seite (siehe Abbildung 2).

Abbildung 2. Die Teile eines regulären Polygons mit dem Radius r und seinem Apothem sind dargestellt. (Eigene Ausarbeitung)

Darüber hinaus ist das Apothem eine Winkelhalbierende mit einem zentralen Scheitelpunkt und Seiten an zwei aufeinanderfolgenden Scheitelpunkten des Polygons. Dadurch können wir eine Beziehung zwischen dem Radius r und der Seite d finden.

Wenn der zentrale Winkel DOE als β bezeichnet wird und berücksichtigt wird, dass das Apothem OJ eine Winkelhalbierende ist, haben wir EJ = d / 2 = r Sen (β / 2), aus dem wir eine Beziehung haben, um die Länge d der Seite eines Polygons zu finden bekannt sein Radius r und sein zentraler Winkel β:

d = 2 r Sen (β / 2)

Im Fall des Heptadecagons β = 360º / 17 haben wir:

d = 2 r Sen (180º / 17) ≤ 0,3675 r

Schließlich wird die Formel für den Umfang des Heptadecagons erhalten, dessen Radius bekannt ist:

P = 34 r Sen (180º / 17) ≤ 6,2475 r

Der Umfang eines Heptadecagons liegt nahe am Umfang des ihn umgebenden Umfangs, sein Wert ist jedoch kleiner, dh der Umfang des umschriebenen Kreises beträgt Pcir = 2π r ≈ 6,2832 r.

Bereich

Um die Fläche des Heptadecagons zu bestimmen, wird auf Abbildung 2 verwiesen, in der die Seiten und das Apothem eines regelmäßigen Polygons mit n Seiten dargestellt sind. In dieser Figur hat das Dreieck EOD eine Fläche, die gleich der Basis d (Seite des Polygons) mal der Höhe a (Apothem des Polygons) geteilt durch 2 ist:

EOD-Fläche = (dxa) / 2

Wenn man also das Apothem a des Heptadecagon und die Seite d desselben kennt, ist seine Fläche:

Heptadecagon-Bereich = (17/2) (dxa)

Fläche gegeben die Seite

Um eine Formel für die Fläche des Siebenecks zu erhalten, die die Länge seiner siebzehn Seiten kennt, ist es notwendig, eine Beziehung zwischen der Länge des Apothems a und der Seite d zu erhalten.

Unter Bezugnahme auf 2 wird die folgende trigonometrische Beziehung erhalten:

Tan (β / 2) = EJ / OJ = (d / 2) / a, wobei β der zentrale Winkel DOE ist. Das Apothem a kann also berechnet werden, wenn die Länge d der Seite des Polygons und der zentrale Winkel β bekannt sind:

a = (d / 2) Cotan (β / 2)

Wenn dieser Ausdruck jetzt das Apothem ersetzt, haben wir in der Formel für die Fläche des Heptadecagons, die im vorherigen Abschnitt erhalten wurde, Folgendes:

Heptadecagon-Fläche = (17/4) (d ² ) Cotan (β / 2)

Da β = 360º / 17 für das Heptadecagon ist, haben wir endlich die gewünschte Formel:

Heptadecagon-Fläche = (17/4) (d ² ) Cotan (180º / 17)

Fläche unter Angabe des Radius

In den vorhergehenden Abschnitten wurde eine Beziehung zwischen der Seite d eines regulären Polygons und seinem Radius r gefunden, wobei diese Beziehung die folgende ist:

d = 2 r Sen (β / 2)

Dieser Ausdruck für d wird in den Ausdruck eingefügt, der im vorherigen Abschnitt für den Bereich erhalten wurde. Wenn die entsprechenden Substitutionen und Vereinfachungen vorgenommen werden, wird die Formel erhalten, mit der die Fläche des Heptadecagons berechnet werden kann:

Heptadecagon-Fläche = (17/2) (r ² ) Sen (β) = (17/2) (r ² ) Sen (360º / 17)

Ein ungefährer Ausdruck für das Gebiet ist:

Heptadecagon-Fläche = 3,0706 (r ² )

Wie erwartet, ist dieser Bereich etwas geringer ist als die Fläche des Kreises , der das Siebzehneck A _circ = π r ² ≈ 3,1416 r ² . Um genau zu sein, ist es 2% weniger als das seines umschriebenen Kreises.

Beispiele

Beispiel 1

Um die Frage zu beantworten, muss die Beziehung zwischen der Seite und dem Radius eines regulären n-seitigen Polygons berücksichtigt werden:

d = 2 r Sen (180º / n)

Für das Heptadecagon ist n = 17, so dass d = 0,3675 r ist, dh der Radius des Heptadecagons beträgt r = 2 cm / 0,3675 = 5,4423 cm oder

10,8844 cm Durchmesser.

Der Umfang eines 2-cm-Seiten-Heptadecagons beträgt P = 17 × 2 cm = 34 cm.

Beispiel 2

Wir müssen uns auf die im vorherigen Abschnitt gezeigte Formel beziehen, die es uns ermöglicht, die Fläche eines Heptadecagons zu finden, wenn es die Länge d seiner Seite hat:

Heptadecagon-Fläche = (17/4) (d ² ) / Tan (180º / 17)

Durch Einsetzen von d = 2 cm in die vorherige Formel erhalten wir:

Fläche = 90,94 cm

Verweise

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