EUKLIDISCHE GEOMETRIE: GESCHICHTE, GRUNDKONZEPTE UND BEISPIELE - MATHE - 2025

Die euklidische Geometrie entspricht der Untersuchung der Eigenschaften geometrischer Räume, in denen die Axiome von Euklid erfüllt sind. Obwohl dieser Begriff manchmal verwendet wird, um Geometrien mit höheren Abmessungen und ähnlichen Eigenschaften abzudecken, ist er im Allgemeinen gleichbedeutend mit klassischer Geometrie oder ebener Geometrie.

Im III Jahrhundert a. C. Euklides und seine Schüler schrieben die Elemente, ein Werk, das das mathematische Wissen der Zeit umfasste, das mit einer logisch-deduktiven Struktur ausgestattet war. Seitdem wurde Geometrie eine Wissenschaft, zunächst um klassische Probleme zu lösen, und entwickelte sich zu einer prägenden Wissenschaft, die der Vernunft hilft.

Geschichte

Um über die Geschichte der euklidischen Geometrie zu sprechen, ist es wichtig, mit Euklid von Alexandria und den Elementen zu beginnen.

Als Ägypten nach dem Tod von Alexander dem Großen in den Händen von Ptolemaios I. blieb, begann er sein Projekt in einer Schule in Alexandria.

Unter den Weisen, die an der Schule unterrichteten, war Euklid. Es wird spekuliert, dass seine Geburt um 325 v. Chr. Stammt. C. und sein Tod von 265 a. C. Wir können mit Sicherheit wissen, dass er in Platons Schule gegangen ist.

Mehr als dreißig Jahre lang unterrichtete Euklid in Alexandria und baute seine berühmten Elemente auf: Er begann, eine umfassende Beschreibung der Mathematik seiner Zeit zu schreiben. Euklids Lehren brachten hervorragende Schüler hervor, wie Archimedes und Apollonius von Perga.

Euklid war verantwortlich für die Strukturierung der unterschiedlichen Entdeckungen der alten Griechen in den Elementen, aber im Gegensatz zu seinen Vorgängern beschränkt er sich nicht darauf, zu bestätigen, dass ein Satz wahr ist; Euklid bietet eine Demonstration.

The Elements ist ein Kompendium aus dreizehn Büchern. Nach der Bibel ist es das am meisten veröffentlichte Buch mit mehr als tausend Ausgaben.

Euklids Elemente

Die Elemente sind Euklids Meisterwerk auf dem Gebiet der Geometrie und bieten eine endgültige Behandlung der zweidimensionalen (Ebene) und dreidimensionalen (Raum) Geometrie. Dies ist der Ursprung dessen, was wir heute als euklidische Geometrie kennen. .

Grundlegendes Konzept

Die Elemente bestehen aus Definitionen, allgemeinen Begriffen und Postulaten (oder Axiomen), gefolgt von Theoremen, Konstruktionen und Beweisen.

- Ein Punkt ist der, der keine Teile hat.

- Eine Linie ist eine Länge ohne Breite.

- Eine gerade Linie liegt gleichermaßen in Bezug auf die darin enthaltenen Punkte.

- Wenn zwei Linien so geschnitten werden, dass die benachbarten Winkel gleich sind, werden die Winkel als gerade Linien und die Linien als senkrecht bezeichnet.

- Parallele Linien sind solche, die sich in derselben Ebene niemals schneiden.

Nach diesen und anderen Definitionen präsentiert uns Euklid eine Liste mit fünf Postulaten und fünf Begriffen.

Gemeinsame Vorstellungen

- Zwei Dinge, die einem Drittel entsprechen, sind einander gleich.

- Wenn dieselben Dinge zu denselben Dingen hinzugefügt werden, sind die Ergebnisse dieselben.

- Wenn gleiche Dinge von gleichen Dingen abgezogen werden, sind die Ergebnisse gleich.

- Dinge, die zueinander passen, sind einander gleich.

- Die Summe ist größer als ein Teil.

Postulate oder Axiome

- Eine und nur eine Linie verläuft durch zwei verschiedene Punkte.

- Gerade Linien können unbegrenzt verlängert werden.

- Sie können einen Kreis mit einem beliebigen Mittelpunkt und einem beliebigen Radius zeichnen.

- Alle rechten Winkel sind gleich.

- Wenn eine gerade Linie zwei gerade Linien kreuzt, so dass die Innenwinkel derselben Seite weniger als zwei rechte Winkel ergeben, kreuzen sich die beiden Linien auf dieser Seite.

Dieses letzte Postulat ist als paralleles Postulat bekannt und wurde folgendermaßen umformuliert: "Für einen Punkt außerhalb einer Linie kann eine einzelne Parallele zur angegebenen Linie gezeichnet werden."

Beispiele

Als nächstes werden einige Sätze der Elemente dazu dienen, Eigenschaften geometrischer Räume aufzuzeigen, in denen die fünf Postulate von Euklid erfüllt sind; Darüber hinaus veranschaulichen sie die logisch-deduktive Argumentation dieses Mathematikers.

Erstes Beispiel

Satz 1.4. (LAL)

Wenn zwei Dreiecke zwei Seiten haben und der Winkel zwischen ihnen gleich ist, sind die anderen Seiten und die anderen Winkel gleich.

Demonstration

ABC und A'B'C 'seien zwei Dreiecke mit AB = A'B', AC = A'C 'und gleichen Winkeln BAC und B'A'C'. Bewegen wir das Dreieck A'B'C 'so, dass A'B' mit AB und der Winkel B'A'C 'mit dem Winkel BAC übereinstimmt.

Die Linie A'C 'fällt also mit der Linie AC zusammen, also fällt C' mit C zusammen. Dann muss nach Postulat 1 die Linie BC mit der Linie B'C 'zusammenfallen. Daher fallen die beiden Dreiecke zusammen und folglich sind ihre Winkel und ihre Seiten gleich.

Zweites Beispiel

Satz 1.5. (

Angenommen, das Dreieck ABC hat die gleichen Seiten AB und AC.

Die Dreiecke ABD und ACD haben also zwei gleiche Seiten und die Winkel zwischen ihnen sind gleich. Somit sind nach Satz 1.4 die Winkel ABD und ACD gleich.

Drittes Beispiel

Satz 1.31

Sie können eine Linie parallel zu einer Linie erstellen, die durch einen bestimmten Punkt gegeben ist.

Gebäude

Bei einer gegebenen Linie L und einem Punkt P wird eine Linie M durch P gezogen und schneidet L. Dann wird eine Linie N durch P gezogen, die L schneidet. Nun wird eine Linie N durch P gezogen, die M schneidet. Bilden eines Winkels gleich dem, den L mit M bildet.

Bejahung

N ist parallel zu L.

Demonstration

Angenommen, L und N sind nicht parallel und schneiden sich an einem Punkt A. Sei B ein Punkt in L jenseits von A. Betrachten wir die Linie O, die durch B und P verläuft. Dann schneidet O M in Winkeln, die sich zu weniger als addieren zwei gerade.

Dann muss die Linie O um 1,5 die Linie L auf der anderen Seite von M schneiden, so dass sich L und O an zwei Punkten schneiden, was dem Postulat 1 widerspricht. Daher müssen L und N parallel sein.

Verweise

1. Euklid. Elemente der Geometrie. Nationale Autonome Universität von Mexiko
2. Euklid. Die ersten sechs Bücher und das elfte und zwölfte von Euklids Elementen
3. Eugenio Filloy Yague. Didaktik und Geschichte der euklidischen Geometrie, Grupo Editorial Iberoamericano
4. K. Ribnikov. Geschichte der Mathematik. Mir Editorial
5. N. Viloria & J. Leal (2005) Plane Analytical Geometry. Editorial Venezolana CA.