Eine surjektive Funktion ist eine Beziehung, bei der jedes zur Codomäne gehörende Element ein Bild von mindestens einem Element der Domäne ist. Sie werden auch als Hüllkurvenfunktion bezeichnet und sind Teil der Klassifizierung von Funktionen in Bezug auf die Art und Weise, wie ihre Elemente zusammenhängen.

Zum Beispiel eine Funktion F: A → B definiert durch F (x) = 2x

Was gelesen wird " F , das von A nach B geht , definiert durch F (x) = 2x"

Sie müssen die Start- und Zielsätze A und B definieren.

A: {1, 2, 3, 4, 5} Nun sind die Werte oder Bilder, die jedes dieser Elemente ergibt, wenn es in F ausgewertet wird, die Elemente der Codomäne.

F (1) = 2

F (2) = 4

F (3) = 6

F (4) = 8

F (5) = 10

So entsteht die Menge B: {2, 4, 6, 8, 10}

Daraus kann geschlossen werden, dass:

F: {1, 2, 3, 4, 5} → {2, 4, 6, 8, 10} definiert durch F (x) = 2x Es ist eine surjektive Funktion

Jedes Element der Codomäne muss aus mindestens einer Operation der unabhängigen Variablen durch die betreffende Funktion resultieren. Es gibt keine Einschränkung von Bildern, ein Element der Codomäne kann ein Bild von mehr als einem Element der Domäne sein und dennoch eine surjektive Funktion versuchen .

In der Abbildung sind 2 Beispiele mit surjektiven Funktionen dargestellt .

Quelle: Autor

Im ersten Fall wird beobachtet, dass die Bilder auf dasselbe Element bezogen werden können, ohne die Surjektivität der Funktion zu beeinträchtigen .

Im zweiten sehen wir eine gerechte Verteilung zwischen Domain und Bildern. Daraus ergibt sich die bijektive Funktion , bei der die Kriterien der injizierenden Funktion und der surjektiven Funktion erfüllt sein müssen .

Eine andere Methode zur Identifizierung surjektiver Funktionen besteht darin, zu überprüfen, ob die Codomäne dem Rang der Funktion entspricht. Dies bedeutet, dass die Funktion surjektiv ist , wenn der Ankunftssatz den von der Funktion bei der Auswertung der unabhängigen Variablen bereitgestellten Bildern entspricht .

Eigenschaften

Zu prüfen , eine Funktion surjektiv , muss Folgendes erfüllt sein:

Sei F: D _f → C _f

∀ b ℮ C _f E a ℮ D _f / F (a) = b

Dies ist die algebraische Methode, um festzustellen, dass es für jedes zu C _f gehörende „b“ ein zu D _f gehörendes „a“ gibt, so dass die in „a“ bewertete Funktion F gleich „b“ ist.

Surjektivität ist eine Besonderheit von Funktionen, bei denen die Codomäne und der Bereich ähnlich sind. Somit bilden die in der Funktion ausgewerteten Elemente den Ankunftssatz.

Funktionskonditionierung

Manchmal kann eine nicht surjektive Funktion bestimmten Bedingungen ausgesetzt werden. Diese neuen Bedingungen können es zu einer surjektiven Funktion machen.

Alle Arten von Änderungen an der Domäne und der Codomäne der Funktion sind gültig, wobei das Ziel darin besteht, die Surjektivitätseigenschaften in der entsprechenden Beziehung zu erfüllen.

Beispiele: gelöste Übungen

Um die Bedingungen der Surjektivität zu erfüllen, müssen verschiedene Konditionierungstechniken angewendet werden, um sicherzustellen, dass sich jedes Element der Codomäne innerhalb des Satzes von Bildern der Funktion befindet.

Übung 1

• Die Funktion F: R → R sei durch die Linie F (x) = 8 - x definiert

EIN:

Quelle: Autor

In diesem Fall beschreibt die Funktion eine durchgehende Linie, die alle reellen Zahlen sowohl in ihrer Domäne als auch in ihrem Bereich enthält. Da der Bereich der Funktion R _f gleich der Codomäne R ist , kann geschlossen werden, dass:

F: R → R definiert durch die Linie F (x) = 8 - x ist eine surjektive Funktion.

Dies gilt für alle linearen Funktionen (Funktionen, deren höchster Grad der Variablen eins ist).

Übung 2

• Untersuchen Sie die Funktion F: R → R, definiert durch F (x) = x ² : Definieren Sie, ob es sich um eine surjektive Funktion handelt . Wenn nicht, zeigen Sie die Bedingungen auf, die erforderlich sind, um es surjektiv zu machen.

Quelle: Autor

Das erste, was berücksichtigt werden muss, ist die Codomäne von F , die sich aus den reellen Zahlen R zusammensetzt. Es gibt keine Möglichkeit für die Funktion, negative Werte zu erhalten, wodurch negative reelle Werte von den möglichen Bildern ausgeschlossen werden.

Konditionierung der Codomäne auf das Intervall. Es wird vermieden, Elemente der Codomäne durch F nicht in Beziehung zu setzen .

Die Bilder werden für Elementpaare der unabhängigen Variablen wie x = 1 und x = -1 wiederholt. Dies wirkt sich jedoch nur auf die Injektivität der Funktion aus und ist für diese Studie kein Problem.

Auf diese Weise kann geschlossen werden, dass:

F: R → . Dieses Intervall muss die Codomäne konditionieren, um die Surjektivität der Funktion zu erreichen.

F: R → definiert durch F (x) = Sen (x) Es ist eine surjektive Funktion

F: R → definiert durch F (x) = Cos (x) Es ist eine surjektive Funktion

Übung 4

• Studiere die Funktion

F :) .push ({});

Quelle: Autor

Die Funktion F (x) = ± √x hat die Besonderheit, dass sie bei jedem Wert von "x" 2 abhängige Variablen definiert. Das heißt, der Bereich erhält 2 Elemente für jedes Element, das in der Domäne erstellt wird. Für jeden Wert von "x" muss ein positiver und ein negativer Wert überprüft werden.

Bei der Beobachtung des Startsatzes wird angemerkt, dass die Domäne bereits eingeschränkt wurde, um die Unbestimmtheiten zu vermeiden, die bei der Bewertung einer negativen Zahl innerhalb einer geraden Wurzel entstehen.

Bei der Überprüfung des Funktionsbereichs wird darauf hingewiesen, dass jeder Wert der Codomäne zum Bereich gehört.

Auf diese Weise kann geschlossen werden, dass:

F: [0, ∞ ) → R definiert durch F (x) = ± √x Es ist eine surjektive Funktion

Übung 4

• Studiere die Funktion F (x) = Ln x bezeichne, ob es sich um eine surjektive Funktion handelt . Konditionieren Sie die Ankunfts- und Abfahrtssätze so, dass die Funktion den Surjektivitätskriterien entspricht.

Quelle: Autor

Wie in der Grafik gezeigt, ist die Funktion F (x) = Ln x für Werte von "x" größer als Null definiert. Während die Werte von "und" oder die Bilder einen beliebigen realen Wert annehmen können.

Auf diese Weise können wir die Domäne von F (x) = auf das Intervall (0, ∞ ) beschränken.

Solange der Funktionsbereich als Menge reeller Zahlen R beibehalten werden kann .

In Anbetracht dessen kann geschlossen werden, dass:

F: [0, ∞ ) → R definiert durch F (x) = Ln x Es ist eine surjektive Funktion

Übung 5

• Untersuchen Sie die Absolutwertfunktion F (x) = - x - und bestimmen Sie die Ankunfts- und Abflugmengen, die die Surjektivitätskriterien erfüllen.

Quelle: Autor

Die Domäne der Funktion ist für alle reellen Zahlen R erfüllt . Auf diese Weise muss die einzige Konditionierung in der Codomäne durchgeführt werden, wobei zu berücksichtigen ist, dass die Absolutwertfunktion nur positive Werte akzeptiert.

Wir fahren fort, die Codomäne der Funktion zu bestimmen, die dem Rang derselben entspricht

[0, ∞ )

Nun kann geschlossen werden, dass:

F: [0, ∞ ) → R definiert durch F (x) = - x - Es ist eine surjektive Funktion

Vorgeschlagene Übungen

1. Überprüfen Sie, ob die folgenden Funktionen surjektiv sind:

• F: (0, ∞ ) → R definiert durch F (x) = Log (x + 1)
• F: R → R definiert durch F (x) = x ³
• F: R → [1, ∞ ) definiert durch F (x) = x ² + 1
• [0, ∞ ) → R definiert durch F (x) = Log (2x + 3)
• F: R → R definiert durch F (x) = Sec x
• F: R - {0} → R definiert durch F (x) = 1 / x

Verweise

1. Einführung in Logik und kritisches Denken. Merrilee H. Salmon. Universität von Pittsburgh
2. Probleme in der mathematischen Analyse. Piotr Biler, Alfred Witkowski. Universität Wroclaw. Polen.
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5. Prinzipien der mathematischen Analyse. Enrique Linés Escardó. Editorial Reverté S. A 1991. Barcelona Spanien.