KONSTANTE FUNKTION: EIGENSCHAFTEN, BEISPIELE, ÜBUNGEN - MATHE - 2025

Die konstante Funktion ist eine, bei der der Wert von y konstant gehalten wird. Mit anderen Worten: Eine konstante Funktion hat immer die Form f (x) = k, wobei k eine reelle Zahl ist.

Bei der grafischen Darstellung der Konstantenfunktion im xy-Koordinatensystem ergibt sich immer eine gerade Linie parallel zur horizontalen oder x-Achse.

Abbildung 1. Diagramm mehrerer konstanter Funktionen auf der kartesischen Ebene. Quelle: Wikimedia Commons. Benutzer: HiTe

Diese Funktion ist ein besonderer Fall der affinen Funktion, deren Graph ebenfalls eine gerade Linie ist, jedoch eine Steigung aufweist. Die konstante Funktion hat eine Steigung von Null, dh es handelt sich um eine horizontale Linie, wie in Abbildung 1 zu sehen ist.

Dort wird der Graph von drei konstanten Funktionen gezeigt:

Alle sind Linien parallel zur horizontalen Achse, die erste befindet sich unterhalb der Achse, während der Rest oberhalb der Achse liegt.

Konstante Funktionseigenschaften

Wir können die Hauptmerkmale der konstanten Funktion wie folgt zusammenfassen:

-Ihr Diagramm ist eine horizontale gerade Linie.

-Es hat einen eindeutigen Schnittpunkt mit der y-Achse, der k wert ist.

-Es ist kontinuierlich.

-Der Domäne der konstanten Funktion (der Satz von Werten , die x haben können) ist die Menge der reellen Zahlen R .

-Der Pfad, Bereich oder die Gegendomäne (die Menge von Werten, die die Variable y annimmt) ist einfach die Konstante k.

Beispiele

Funktionen sind notwendig, um Verknüpfungen zwischen Größen herzustellen, die in irgendeiner Weise voneinander abhängen. Die Beziehung zwischen ihnen kann mathematisch modelliert werden, um herauszufinden, wie sich einer von ihnen verhält, wenn der andere variiert.

Dies hilft, Modelle für viele Situationen zu erstellen und Vorhersagen über deren Verhalten und Entwicklung zu treffen.

Trotz ihrer scheinbaren Einfachheit hat die konstante Funktion viele Anwendungen. Zum Beispiel, wenn es darum geht, Mengen zu untersuchen, die über die Zeit oder zumindest für eine nennenswerte Zeit konstant bleiben.

Auf diese Weise verhalten sich Größen in Situationen wie den folgenden:

-Die Reisegeschwindigkeit eines Autos, das sich auf einer langen geraden Autobahn bewegt. Solange Sie nicht bremsen oder beschleunigen, hat das Auto eine gleichmäßige geradlinige Bewegung.

Abbildung 2. Wenn das Auto nicht bremst oder beschleunigt, hat es eine gleichmäßige geradlinige Bewegung. Quelle: Pixabay.

- Ein vollständig geladener Kondensator, der von einem Stromkreis getrennt ist, ist über die Zeit konstant geladen.

-Finally, ein Flatrate-Parkplatz hält einen konstanten Preis, egal wie lange ein Auto dort geparkt ist.

Eine andere Möglichkeit, eine konstante Funktion darzustellen

Die konstante Funktion kann alternativ wie folgt dargestellt werden:

Da jeder auf 0 erhobene Wert von x als Ergebnis 1 ergibt, reduziert sich der vorherige Ausdruck auf den bereits bekannten:

Das passiert natürlich, solange sich der Wert von k von 0 unterscheidet.

Deshalb wird die Konstantenfunktion auch als Polynomfunktion vom Grad 0 klassifiziert, da der Exponent der Variablen x 0 ist.

Gelöste Übungen

- Übung 1

Beantworten Sie folgende Fragen:

a) Kann festgestellt werden, dass die durch x = 4 gegebene Linie eine konstante Funktion ist? Begründe deine Antwort.

b) Kann eine konstante Funktion einen x-Achsenabschnitt haben?

c) Ist die Funktion f (x) = w ² konstant ?

Antwort auf

Hier ist der Graph der Linie x = 4:

Abbildung 3. Diagramm der Linie x = 4. Quelle: F. Zapata.

Die Linie x = 4 ist keine Funktion; per definitionem ist eine Funktion eine Beziehung, so dass jeder Wert der Variablen x einem einzelnen Wert von y entspricht. Und in diesem Fall ist dies nicht wahr, da der Wert x = 4 mit unendlichen Werten von y verbunden ist. Daher lautet die Antwort nein.

Antwort b

Im Allgemeinen hat eine konstante Funktion keinen x-Achsenabschnitt, es sei denn, es ist y = 0, in diesem Fall ist es die x-Achse selbst.

Antwort c

Ja, da w konstant ist, ist auch sein Quadrat konstant. Entscheidend ist, dass w nicht von der Eingangsvariablen x abhängt.

- Übung 2

Finden Sie den Schnittpunkt zwischen den Funktionen f (x) = 5 und g (x) = 5x - 2

Lösung

Um den Schnittpunkt zwischen diesen beiden Funktionen zu finden, können sie jeweils wie folgt umgeschrieben werden:

Sie werden ausgeglichen und erhalten:

Was ist eine lineare Gleichung ersten Grades, deren Lösung lautet:

Der Schnittpunkt ist (7 / 5,5).

- Übung 3

Zeigen Sie, dass die Ableitung einer konstanten Funktion 0 ist.

Lösung

Aus der Definition der Ableitung haben wir:

Einsetzen in die Definition:

Wenn wir uns die Ableitung als Änderungsrate dy / dx vorstellen, ändert sich die konstante Funktion nicht, daher ist ihre Ableitung Null.

- Übung 4

Finden Sie das unbestimmte Integral von f (x) = k.

Lösung

Abbildung 4. Diagramm der Funktion v (t) für das Übungsmobil 6. Quelle: F. Zapata.

Es fragt:

a) Schreiben Sie einen Ausdruck für die Geschwindigkeitsfunktion als Funktion der Zeit v (t).

b) Ermitteln Sie die vom Mobiltelefon zurückgelegte Entfernung im Zeitintervall zwischen 0 und 9 Sekunden.

Lösung für

Die gezeigte Grafik zeigt Folgendes:

- v = 2 m / s im Zeitintervall zwischen 0 und 3 Sekunden

-Das Handy wird zwischen 3 und 5 Sekunden angehalten, da in diesem Intervall die Geschwindigkeit 0 ist.

- v = - 3 m / s zwischen 5 und 9 Sekunden.

Es ist ein Beispiel für eine stückweise Funktion oder stückweise Funktion, die wiederum aus konstanten Funktionen besteht, die nur für die angegebenen Zeitintervalle gültig sind. Es wird geschlossen, dass die gewünschte Funktion ist:

Lösung b

Aus dem v (t) -Diagramm kann die vom Mobiltelefon zurückgelegte Entfernung berechnet werden, die numerisch der Fläche unter / auf der Kurve entspricht. Auf diese Weise:

-Distanz zwischen 0 und 3 Sekunden = 2 m / s. 3 s = 6 m

- Zwischen 3 und 5 Sekunden wurde er festgenommen, deshalb legte er keine Strecke zurück.

-Distanz zwischen 5 und 9 Sekunden = 3 m / s. 4 s = 12 m

Insgesamt legte das Handy 18 m zurück. Beachten Sie, dass die zurückgelegte Strecke positiv ist, obwohl die Geschwindigkeit im Intervall zwischen 5 und 9 Sekunden negativ ist. Was passiert ist, dass während dieses Zeitintervalls das Handy das Gefühl seiner Geschwindigkeit geändert hat.

Verweise

1. Geogebra. Konstante Funktionen. Wiederhergestellt von: geogebra.org.
2. Maplesoft. Die konstante Funktion. Wiederhergestellt von: maplesoft.com.
3. Wikibooks. Berechnung in einer Variablen / Funktionen / Konstantenfunktion. Wiederhergestellt von: es.wikibooks.org.
4. Wikipedia. Konstante Funktion. Wiederhergestellt von: en.wikipedia.org
5. Wikipedia. Konstante Funktion. Wiederhergestellt von: es.wikipedia.org.