ERGÄNZENDE EREIGNISSE: WORAUS SIE BESTEHEN UND BEISPIELE - MATHE - 2025

Die zusätzlichen Ereignisse sind definiert als jede Gruppe sich gegenseitig ausschließender Ereignisse, bei deren Vereinigung der Probenraum oder mögliche Experimentierfälle vollständig abgedeckt werden können (erschöpfend).

Ihr Schnittpunkt ergibt die leere Menge (∅). Die Summe der Wahrscheinlichkeiten zweier komplementärer Ereignisse ist gleich 1. Mit anderen Worten, 2 Ereignisse mit dieser Eigenschaft decken die Möglichkeit von Ereignissen eines Experiments vollständig ab.

Quelle: pexels.com

Was sind die ergänzenden Veranstaltungen?

Ein sehr nützlicher allgemeiner Fall, um diese Art von Ereignis zu verstehen, ist das Würfeln:

Bei der Definition des Probenraums werden alle möglichen Fälle benannt, die das Experiment bietet. Dieses Set ist als Universum bekannt.

Probenraum (S):

S: {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Die nicht im Probenraum festgelegten Optionen sind nicht Teil der Möglichkeiten des Experiments. Zum Beispiel {die Nummer sieben kommt hoch} Es hat eine Wahrscheinlichkeit von Null.

Entsprechend dem Ziel des Experiments werden gegebenenfalls Mengen und Teilmengen definiert. Die zu verwendende Satznotation wird auch gemäß dem zu untersuchenden Ziel oder Parameter bestimmt:

A: {Eine gerade Zahl ausgeben} = {2, 4, 6}

B: {Erhalte eine ungerade Zahl} = {1, 3, 5}

In diesem Fall A und B sind ergänzende Veranstaltungen. Da sich beide Sätze gegenseitig ausschließen (eine gerade Zahl, die wiederum ungerade ist, kann nicht herauskommen) und die Vereinigung dieser Sätze den gesamten Probenraum abdeckt.

Andere mögliche Teilmengen im obigen Beispiel sind:

C : {Eine Primzahl ausgeben} = {2, 3, 5}

D: {x / x ≤ N ≤ x ≤ 3} = {4, 5, 6}

Die Sätze A, B und C werden in beschreibender bzw. analytischer Notation geschrieben . Für die Menge D wurde die algebraische Notation verwendet, und die möglichen Ergebnisse, die dem Experiment entsprechen, wurden in der analytischen Notation beschrieben .

Im ersten Beispiel wird beobachtet, dass A und B komplementäre Ereignisse sind

A: {Eine gerade Zahl ausgeben} = {2, 4, 6}

B: {Erhalte eine ungerade Zahl} = {1, 3, 5}

Die folgenden Axiome gelten:

1. AUB = S ; Die Vereinigung zweier komplementärer Ereignisse entspricht dem Probenraum
2. A ∩B = ∅ ; Der Schnittpunkt zweier komplementärer Ereignisse entspricht der leeren Menge
3. A '= B ᴧ B' = A; Jede Teilmenge entspricht dem Komplement ihres Homologen
4. A '∩ A = B' ∩ B = ∅; Schneiden Sie eine Menge mit ihrem Komplement gleich leer
5. A 'UA = B' UB = S; Das Verbinden eines Sets mit seinem Komplement entspricht dem Probenraum

In Statistiken und probabilistischen Studien sind komplementäre Ereignisse Teil der gesamten Theorie und kommen bei den in diesem Bereich durchgeführten Operationen sehr häufig vor.

Um mehr über komplementäre Ereignisse zu erfahren, müssen bestimmte Begriffe verstanden werden, die sie konzeptionell definieren.

Was sind die Ereignisse?

Sie sind Möglichkeiten und Ereignisse, die aus Experimenten resultieren und in jeder ihrer Iterationen Ergebnisse liefern können. Die Ereignisse erzeugen die Daten, die als Elemente von Mengen und Teilmengen aufgezeichnet werden sollen. Die Trends in diesen Daten sind Grund für eine Untersuchung der Wahrscheinlichkeit.

Beispiele für Ereignisse sind:

• Die Münze zeigte auf die Köpfe
• Das Match führte zu einem Unentschieden
• Die Chemikalie reagierte in 1,73 Sekunden
• Die Geschwindigkeit am Maximalpunkt betrug 30 m / s
• Der Würfel markierte die Nummer 4

Was ist ein Plugin?

In Bezug auf die Mengenlehre. Ein Komplement bezieht sich auf den Teil des Probenraums, der zu einer Menge hinzugefügt werden muss, damit er sein Universum umfasst. Es ist alles, was nicht Teil des Ganzen ist.

Ein bekannter Weg, Komplement in der Mengenlehre zu bezeichnen, ist:

A 'Ergänzung von A.

Venn-Diagramm

Quelle: pixabay.com

Es handelt sich um ein grafisch-inhaltliches Analyseschema, das häufig in mathematischen Operationen mit Mengen, Teilmengen und Elementen verwendet wird. Jeder Satz wird durch einen Großbuchstaben und eine ovale Figur dargestellt (dieses Merkmal ist bei seiner Verwendung nicht obligatorisch), die jedes einzelne seiner Elemente enthält.

Die zusätzlichen Ereignisse werden direkt in Venn-Diagrammen als grafische Methode zur Identifizierung der entsprechenden Addierer für jeden Satz angezeigt.

Durch einfaches vollständiges Visualisieren der Umgebung einer Menge, wobei ihre Grenzen und ihre interne Struktur weggelassen werden, kann das Komplement der untersuchten Menge definiert werden.

Beispiele für ergänzende Ereignisse

Beispiele für komplementäre Ereignisse sind Erfolg und Niederlage in einem Ereignis, in dem Gleichheit nicht existieren kann (ein Baseballspiel).

Boolesche Variablen sind komplementäre Ereignisse: Richtig oder falsch, ebenfalls richtig oder falsch, geschlossen oder offen, ein oder aus.

Ergänzende Eventübungen

Übung 1

Sei S die Universumsmenge, die durch alle natürlichen Zahlen kleiner oder gleich zehn definiert ist.

S: {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}

Die folgenden Teilmengen von S sind definiert

H: {Natürliche Zahlen kleiner als vier} = {0, 1, 2, 3}

J: {Vielfaches von drei} = {3, 6, 9}

K: {Vielfache von fünf} = {5}

L: {0, 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 10}

M: {0, 1, 2, 4, 5, 7, 8, 10}

N: {Natürliche Zahlen größer oder gleich vier} = {4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}

Entscheiden:

Wie viele komplementäre Ereignisse können gebildet werden, indem Paare von Teilmengen von S in Beziehung gesetzt werden ?

Gemäß der Definition von komplementären Ereignissen werden die Paare identifiziert, die die Anforderungen erfüllen (sich gegenseitig ausschließen und den Probenraum beim Verbinden abdecken). Die folgenden Teilmengenpaare sind komplementäre Ereignisse :

• H und N.
• J und M.
• L und K.

Übung 2

Zeigen Sie, dass: (M ∩ K) '= L.

{0, 1, 2, 4, 5, 7, 8, 10} ∩ {5} = {5}; Der Schnittpunkt zwischen Mengen ergibt die gemeinsamen Elemente zwischen beiden Operantenmengen. Auf diese Weise ist 5 das einzige gemeinsame Element zwischen M und K.

{5} '= {0, 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 10} = L; Da L und K komplementär sind, ist das oben beschriebene dritte Axiom erfüllt (jede Teilmenge ist gleich dem Komplement ihres Homologen).

Übung 3

Definieren Sie: '

J ∩ H = {3} ; Auf homologe Weise zum ersten Schritt der vorherigen Übung.

(J * H) UN = {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}; Diese Operationen werden als kombiniert bezeichnet und normalerweise mit einem Venn-Diagramm behandelt.

' = {0, 1, 2}; Das Komplement der kombinierten Operation ist definiert.

Übung 4

Beweisen Sie, dass: { ∩ ∩} '= ∅

Die in den geschweiften Klammern beschriebene zusammengesetzte Operation bezieht sich auf die Schnittpunkte zwischen den Vereinigungen der komplementären Ereignisse. Auf diese Weise verifizieren wir das erste Axiom (Die Vereinigung zweier komplementärer Ereignisse ist gleich dem Probenraum).

∩ ∩ = S ∩ S ∩ S = S; Die Vereinigung und Schnittmenge einer Menge mit sich selbst erzeugt dieselbe Menge.

Dann; S '= ∅ Per Definition von Mengen.

Übung 5

Definieren Sie 4 Schnittpunkte zwischen Teilmengen, deren Ergebnisse sich von der leeren Menge (∅) unterscheiden.

• M ∩ N.

{0, 1, 2, 4, 5, 7, 8, 10} ∩ {4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} = {4, 5, 7, 8, 10}

• L ∩ H.

{0, 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 10} ∩ {0, 1, 2, 3} = {0, 1, 2, 3}

• J ∩ N.

{3, 6, 9} ∩ {4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} = {6, 9}

Verweise

1. DIE ROLLE STATISTISCHER METHODEN IN DER COMPUTERWISSENSCHAFT UND BIOINFORMATIK. Irina Arhipova. Lettische Universität für Landwirtschaft, Lettland.
2. Statistik und Evidenzbewertung für Forensiker. Zweite Ausgabe. Colin GG Aitken. Schule für Mathematik. Die Universität von Edinburgh, UK
3. GRUNDLEGENDE MÖGLICHKEITSTHEORIE, Robert B. Ash. Abteilung für Mathematik. Universität von Illinois
4. Elementare STATISTIKEN. Zehnte Ausgabe. Mario F. Triola. Boston St.
5. Mathematik und Ingenieurwissenschaften in der Informatik. Christopher J. Van Wyk. Institut für Informatik und Technologie. National Bureau of Standards. Washington, DC 20234
6. Mathematik für die Informatik. Eric Lehman. Google Inc.
   F Thomson Leighton Fakultät für Mathematik und das Labor für Informatik und KI, Massachussetts Institute of Technology; Akamai Technologies