- Multiplikation einer reellen Zahl α durch einen Vektor v : α v anderen Vektor zu geben und Zugehörigkeit zu V .

Künstlerische Vision eines Vektorraums. Quelle: Pixabay

Um einen Vektor zu bezeichnen, verwenden wir Fett ( v ist ein Vektor) und für Skalare oder Zahlen griechische Buchstaben (α ist eine Zahl).

Axiome und Eigenschaften

Damit ein Vektorraum angegeben werden kann, müssen die folgenden acht Axiome gelten:

1-Kommutierbarkeit: u + v = v + u

2-Transitivität: ( u + v ) + w = u + ( v + w )

3-Existenz des Nullvektors 0, so dass 0 + v = v

4-Existenz des Gegenteils: Das Gegenteil von v ist (- v ), da v + (- v ) = 0 ist

5-Verteilbarkeit des Produkts in Bezug auf die Vektorsumme: α ( u + v ) = α u + α v

6-Verteilbarkeit des Produkts in Bezug auf die Skalarsumme: (α + β) v = α v + β v

7-Assoziativität des Skalarprodukts: α (β v ) = (α β) v

8-Die Zahl 1 ist das neutrale Element, da: 1 v = v

Beispiele für Vektorräume

Beispiel 1

Vektoren in der (R²) -Ebene sind ein Beispiel für einen Vektorraum. Ein Vektor in der Ebene ist ein geometrisches Objekt mit Größe und Richtung. Es wird durch ein orientiertes Segment dargestellt, das zu dieser Ebene gehört und dessen Größe proportional zu seiner Größe ist.

Die Summe zweier Vektoren in der Ebene kann als geometrische Translationsoperation des zweiten Vektors nach dem ersten definiert werden. Das Ergebnis der Summe ist das orientierte Segment, das vom Ursprung des ersten beginnt und die Spitze des zweiten erreicht.

In der Figur ist zu sehen, dass die Summe in R² kommutativ ist.

Abbildung 2. Vektoren in der Ebene bilden den Vektorraum. Quelle: selbst gemacht.

Das Produkt einer Zahl α und eines Vektors ist ebenfalls definiert. Wenn die Zahl positiv ist, wird die Richtung des ursprünglichen Vektors beibehalten und die Größe ist das α-fache des ursprünglichen Vektors. Wenn die Zahl negativ ist, ist die Richtung umgekehrt und die Größe des resultierenden Vektors ist der absolute Wert der Zahl.

Der Vektor gegenüber jedem Vektor v ist - v = (- 1) v .

Der Nullvektor ist ein Punkt in der R²-Ebene, und die Zahl Null mal ein Vektor ergibt den Nullvektor.

Alles, was gesagt wurde, ist in Abbildung 2 dargestellt.

Beispiel 2

Die Menge P aller Polynome mit einem Grad kleiner oder gleich zwei, einschließlich des Grades Null, bildet eine Menge, die alle Axiome eines Vektorraums erfüllt.

Das Polynom P (x) = a x² + bx + cy Q (x) = d x² + ex + f

Die Summe zweier Polynome ist definiert: P (x) + Q (x) = (a + d) x² + (b + e) ​​x + (c + f)

Die Summe der zur Menge P gehörenden Polynome ist kommutativ und transitiv.

Das zur Menge P gehörende Nullpolynom ist eines, bei dem alle Koeffizienten gleich Null sind:

0 (x) = 0 x² + 0 x + 0

Die Summe eines Skalars α durch ein Polynom ist definiert als: α P (x) = α ∙ a x² + α ∙ bx + α ∙ c

Das entgegengesetzte Polynom von P (x) ist -P (x) = (-1) P (x).

Aus alledem folgt, dass die Menge P aller Polynome mit einem Grad kleiner oder gleich zwei ein Vektorraum ist.

Beispiel 3

Die Menge M aller Matrizen von m Zeilen xn Spalten, deren Elemente reelle Zahlen sind, bilden einen reellen Vektorraum in Bezug auf die Operationen der Addition von Matrizen und des Produkts einer Zahl durch eine Matrix.

Beispiel 4

Die Menge F der stetigen Funktionen der reellen Variablen bildet einen Vektorraum, da es möglich ist, die Summe zweier Funktionen zu definieren, die Multiplikation eines Skalars mit einer Funktion, die Nullfunktion und die symmetrische Funktion. Sie erfüllen auch die Axiome, die einen Vektorraum charakterisieren.

Basis und Dimension eines Vektorraums

Base

Die Basis eines Vektorraums ist definiert als ein Satz linear unabhängiger Vektoren, so dass aus einer linearen Kombination von ihnen jeder Vektor dieses Vektorraums erzeugt werden kann.

Das lineare Kombinieren von zwei oder mehr Vektoren besteht darin, die Vektoren mit einem Skalar zu multiplizieren und sie dann vektoriell zu addieren.

Beispielsweise wird im Vektorraum von Vektoren in drei Dimensionen, die durch R³ gebildet werden, die kanonische Basis verwendet, die durch die Einheitsvektoren (der Größe 1) i , j , k definiert ist .

Wobei i = (1, 0, 0); j = (0, 1, 0); k = (0, 0, 1). Dies sind die kartesischen oder kanonischen Vektoren.

Jeder zu R³ gehörende Vektor V wird geschrieben als V = a i + b j + c k , was eine lineare Kombination der Basisvektoren i , j , k ist . Ein Skalar oder Zahlen a, b, c sind als kartesische Komponenten von V bekannt .

Es wird auch gesagt, dass die Basisvektoren eines Vektorraums einen Generatorsatz des Vektorraums bilden.

Abmessungen

Die Dimension eines Vektorraums ist die Kardinalzahl einer Vektorbasis für diesen Raum; das heißt, die Anzahl der Vektoren, aus denen die Basis besteht.

Dieser Kardinal ist die maximale Anzahl linear unabhängiger Vektoren dieses Vektorraums und gleichzeitig die minimale Anzahl Vektoren, die einen Generatorsatz dieses Raums bilden.

Die Basen eines Vektorraums sind nicht eindeutig, aber alle Basen desselben Vektorraums haben dieselbe Dimension.

Vektor-Unterraum

Ein Vektorunterraum S eines Vektorraums V ist eine Teilmenge von V, in der die gleichen Operationen wie in V definiert sind und alle Vektorraumaxiome erfüllen. Daher wird der Unterraum S auch ein Vektorraum sein.

Beispiel für einen Vektorunterraum sind die Vektoren, die zur XY-Ebene gehören. Dieser Unterraum ist eine Teilmenge eines Vektorraums der Dimensionalität, der größer ist als die Menge der Vektoren, die zum dreidimensionalen Raum XYZ gehören.

Ein weiteres Beispiel eines Vektorunterraums S1 des Vektorraums S, der von allen 2 × 2-Matrizen mit reellen Elementen gebildet wird, ist nachstehend definiert:

Andererseits bildet das unten definierte S2, obwohl es eine Teilmenge von S ist, keinen Vektorunterraum:

Gelöste Übungen

-Übung 1

Die Vektoren V1 = (1, 1, 0); V2 = (0, 2, 1) und V3 = (0, 0, 3) in R³.

a) Zeigen Sie, dass sie linear unabhängig sind.

b) Zeigen Sie, dass sie in R³ eine Basis bilden, da jedes Tripel (x, y, z) als lineare Kombination von V1, V2, V3 geschrieben werden kann.

c) Finden Sie die Komponenten des Tripels V = (-3,5,4) in der Basis V1 , V2 , V3 .

Lösung

Das Kriterium zum Nachweis der linearen Unabhängigkeit besteht darin, den folgenden Satz von Gleichungen in α, β und γ aufzustellen

α (1, 1, 0) + β (0, 2, 1) + γ (0, 0, 3) = (0, 0, 0)

Wenn die einzige Lösung für dieses System α = β = γ = 0 ist, sind die Vektoren linear unabhängig, andernfalls nicht.

Um die Werte von α, β und γ zu erhalten, schlagen wir das folgende Gleichungssystem vor:

α ≤ 1 + β ≤ 0 + γ ≤ 0 = 0

α ≤ 1 + β ≤ 2 + γ ≤ 0 = 0

α ≤ 0 + β ≤ 1 + γ ≤ 3 = 0

Das erste führt zu α = 0, das zweite zu α = -2 ∙ β, aber da α = 0 ist, ist β = 0. Die dritte Gleichung impliziert, dass γ = (- 1/3) β ist, aber da β = 0 ist, ist γ = 0.

Antwort auf

Es wird geschlossen, dass es sich um eine Menge linear unabhängiger Vektoren in R³ handelt.

Antwort b

Schreiben wir nun das Tripel (x, y, z) als lineare Kombination von V1, V2, V3.

(x, y, z) = α V1 + β V2 + γ V3 = α (1, 1, 0) + β (0, 2, 1) + γ (0, 0, 3)

α ≤ 1 + β ≤ 0 + γ ≤ 0 = x

α ≤ 1 + β ≤ 2 + γ ≤ 0 = y

α ≤ 0 + β ≤ 1 + γ ≤ 3 = z

Wo hast du:

α = x

α + 2 β = y

β + 3 γ = z

Das erste zeigt α = x, das zweite β = (yx) / 2 und das dritte γ = (z-y / 2 + x / 2) / 3 an. Auf diese Weise haben wir die Generatoren von α, β und γ eines beliebigen Tripletts von R³ gefunden

Antwort c

Lassen Sie uns fortfahren , um die Komponenten des Tripels V = (-3,5,4) in der Basis V1 , V2 , V3 zu finden .

Wir ersetzen die Generatoren durch die entsprechenden Werte in den oben angegebenen Ausdrücken.

In diesem Fall haben wir: α = -3; β = (5 - (- 3)) / 2 = 4; γ = (4-5/2 + (- 3) / 2) / 3 = 0

Das ist:

(-3,5,4) = -3 (1, 1, 0) + 4 (0, 2, 1) + 0 (0, 0, 3)

Bis zum letzten:

V = -3 V1 + 4 V2 + 0 V3

Wir schließen daraus, dass V1, V2, V3 eine Basis im Vektorraum R³ der Dimension 3 bilden.

-Übung 2

Drücken Sie das Polynom P (t) = t² + 4t -3 als lineare Kombination von P1 (t) = t² -2t + 5, P2 (t) = 2t² -3t und P3 (t) = t + 3 aus.

Lösung

P (t) = x P1 (t) + y P2 (t) + z P3 (t)

wobei die Zahlen x, y, z zu bestimmen sind.

Durch Multiplizieren und Gruppieren von Begriffen mit dem gleichen Grad in t erhalten wir:

t² + 4 t -3 = (x + 2y) t² + (-2x -3y + z) t + (5x + 3z)

Was uns zu folgendem Gleichungssystem führt:

x + 2y = 1

-2x -3y + z = 4

5x + 3z = -3

Die Lösungen dieses Gleichungssystems sind:

x = -3, y = 2, z = 4.

Das ist:

P (t) = -3 P1 (t) + 2 P2 (t) + 4 P3 (t)

-Übung 3

Man beweise, dass die Vektoren v1 = (1, 0, -1, 2) sind; v2 = (1, 1, 0, 1) und v3 = (2, 1, -1, 1) von R⁴ sind linear unabhängig.

Lösung

Wir kombinieren die drei Vektoren v1 , v2 , v3 linear und fordern, dass die Kombination das Nullelement von R⁴ hinzufügt

a v1 + b v2 + c v3 = 0

Das heißt,

a (1, 0, -1, 2) + b (1, 1, 0, 1) + c (2, 1, -1, 1) = (0, 0, 0, 0)

Dies führt uns zu folgendem Gleichungssystem:

a + b + 2 c = 0

b + c = 0

-a - c = 0

2 a + b + c = 0

Wenn wir den ersten und vierten subtrahieren, haben wir: -a + c = 0, was a = c impliziert.

Aber wenn wir uns die dritte Gleichung ansehen, haben wir a = -c. Die einzige Möglichkeit, wie a = c = (- c) gilt, besteht darin, dass c 0 ist und daher auch a 0 ist.

a = c = 0

Wenn wir dieses Ergebnis in die erste Gleichung einfügen, schließen wir, dass b = 0 ist.

Schließlich ist a = b = c = 0, so dass geschlossen werden kann, dass die Vektoren v1, v2 und v3 linear unabhängig sind.

Verweise

1. Lipschutz, S. 1993. Lineare Algebra. Zweite Ausgabe. McGraw-Hill. 167-198.