ENEAGON: EIGENSCHAFTEN, WIE MAN EIN ENEAGON ERSTELLT, BEISPIELE - MATHE

Ein Enegon ist ein Polygon mit neun Seiten und neun Eckpunkten, die regelmäßig sein können oder nicht. Der Name eneágono stammt aus dem Griechischen und setzt sich aus den griechischen Wörtern ennea (neun) und gonon (Winkel) zusammen.

Ein alternativer Name für das neunseitige Polygon ist nonagon, das vom lateinischen Wort nonus (neun) und gonon (Scheitelpunkt) stammt. Wenn andererseits die Seiten oder Winkel des Eneagons ungleich sind, haben Sie ein unregelmäßiges Eneagon. Wenn andererseits alle neun Seiten und neun Winkel des Eneagons gleich sind, handelt es sich um ein reguläres Eneagon.

Abbildung 1. Regelmäßiges Eneagon und unregelmäßiges Eneagon. (Eigene Ausarbeitung)

Eigenschaften des Eneagons

Für ein Polygon mit n Seiten ist die Summe seiner Innenwinkel:

(n - 2) * 180º

Im Enegon wäre es n = 9, also ist die Summe seiner Innenwinkel:

Sa = (9 - 2) * 180º = 7 * 180º = 1260º

In jedem Polygon beträgt die Anzahl der Diagonalen:

D = n (n - 3) / 2 und im Fall des Enegons haben wir dann D = 27, da n = 9 ist.

Regelmäßiger Enegon

Im regulären Eneagon oder Nonagon gibt es neun (9) Innenwinkel mit gleichem Maß, daher misst jeder Winkel ein Neuntel der Gesamtsumme der Innenwinkel.

Das Maß der Innenwinkel eines Enegons beträgt dann 1260º / 9 = 140º.

Abbildung 2. Apothem, Radius, Seiten, Winkel und Eckpunkte eines regulären Eneagons. (Eigene Ausarbeitung)

Um die Formel für die Fläche eines regulären Enegons mit Seite d abzuleiten, ist es zweckmäßig, einige Hilfskonstruktionen vorzunehmen, wie die in Abbildung 2 gezeigten.

Das Zentrum O wird durch Verfolgen der Winkelhalbierenden zweier benachbarter Seiten gefunden. Das Zentrum O ist gleich weit von den Eckpunkten entfernt.

Ein Radius der Länge r ist das Segment vom Zentrum O zu einem Scheitelpunkt des Enegons. Fig. 2 zeigt die Radien OD und OE der Länge r.

Das Apothem ist das Segment, das von der Mitte zum Mittelpunkt einer Seite des Enegons verläuft. Zum Beispiel ist OJ ein Apothem, dessen Länge a ist.

Bereich eines Enegons bekannt die Seite und das Apothem

Wir betrachten das Dreieck ODE in Abbildung 2. Die Fläche dieses Dreiecks ist das Produkt seiner Basis DE und der Höhe OJ geteilt durch 2:

ODE-Bereich = (DE * ABl.) / 2 = (d * a) / 2

Da es im Enegon 9 Dreiecke gleicher Fläche gibt, wird der Schluss gezogen, dass die Fläche desselben ist:

Enegon-Bereich = (9/2) (d * a)

Bereich eines bekannten Enegons die Seite

Wenn nur die Länge d der Seiten des Enegons bekannt ist, muss die Länge des Apothems ermittelt werden, um die Formel im vorherigen Abschnitt anzuwenden.

Wir betrachten das rechtwinklige Dreieck OJE in J (siehe Abbildung 2). Wenn das tangentiale trigonometrische Tangentenverhältnis angewendet wird, erhalten wir:

tan (∡ OEJ) = OJ / EJ.

Der Winkel ∡OEJ = 140º / 2 = 70º, da EO die Winkelhalbierende des Innenwinkels des Enegons ist.

Auf der anderen Seite ist OJ das Apothem der Länge a.

Da dann J der Mittelpunkt von ED ist, folgt, dass EJ = d / 2 ist.

Einsetzen der vorherigen Werte in die Tangentenbeziehung, die wir haben:

tan (70º) = a / (d / 2).

Jetzt klären wir die Länge des Apothems:

a = (d / 2) tan (70º).

Das vorherige Ergebnis wird in die Flächenformel eingesetzt, um Folgendes zu erhalten:

Fläche des Enegons = (9/2) (d * a) = (9/2) (d * (d / 2) tan (70º))

Schließlich finden wir die Formel, die es ermöglicht, die Fläche des regulären Enegons zu erhalten, wenn nur die Länge d seiner Seiten bekannt ist:

Fläche des Enegons = (9/4) d ² tan (70º) = 6,1818 d ²

Umfang des regulären Enegon bekannt seine Seite

Der Umfang eines Polygons ist die Summe seiner Seiten. Im Fall des Enegons ist, da jede einzelne Seite eine Länge d misst, sein Umfang die Summe von neun mal d, dh:

Umfang = 9 d

Umfang des Enegons bekannt sein Radius

Unter Berücksichtigung des rechtwinkligen Dreiecks OJE in J (siehe Abbildung 2) wird das trigonometrische Kosinusverhältnis angewendet:

cos (∡ OEJ) = EJ / OE = (d / 2) / r

Woher kommt es:

d = 2r cos (70º)

Wenn wir dieses Ergebnis einsetzen, erhalten wir die Formel für den Umfang als Funktion des Radius des Enegons:

Umfang = 9 d = 18 r cos (70º) = 6,1564 r

Wie man einen regulären Enegon macht

1- Um ein reguläres Eneagon mit einem Lineal und einem Kompass zu erstellen, beginnen Sie am Umfang c, der das Eneagon umschreibt. (siehe Abbildung 3)

2- Zwei senkrechte Linien werden durch die Mitte O des Umfangs gezogen. Dann werden die Schnittpunkte A und B einer der Linien mit dem Umfang markiert.

3- Mit dem Kompass, der am Schnittpunkt B und der Öffnung gleich dem Radius BO zentriert ist, wird ein Bogen gezeichnet, der den ursprünglichen Umfang an einem Punkt C abfängt.

Abbildung 3. Schritte zum Erstellen eines regulären Enegons. (Eigene Ausarbeitung)

4- Der vorherige Schritt wird wiederholt, wobei jedoch ein Mittelpunkt bei A und der Radius AO gebildet werden. Es wird ein Bogen gezeichnet, der den Umfang c am Punkt E schneidet.

5- Mit der Öffnung AC und der Mitte in A wird ein Umfangsbogen gezeichnet. Ähnlich wird mit der Öffnung BE und der Mitte B ein weiterer Bogen gezeichnet. Der Schnittpunkt dieser beiden Bögen ist als Punkt G markiert.

6- Zentriert bei G und Öffnen von GA wird ein Bogen gezeichnet, der die Sekundärachse (in diesem Fall horizontal) am Punkt H schneidet. Der Schnittpunkt der Sekundärachse mit dem ursprünglichen Umfang c ist mit I markiert.

7- Die Länge des Segments IH ist gleich der Länge d der Seite des Enegons.

8- Mit der Kompassöffnung IH = d werden die Bögen des Radius AJ in der Mitte A, des Radius in der Mitte J, des Radius in der Mitte K, des Radius in der Mitte K und des Radius in der Mitte L nacheinander gezeichnet.

9- In ähnlicher Weise werden ausgehend von A und von der rechten Seite Bögen mit dem Radius IH = d gezeichnet, die die Punkte M, N, C und Q auf dem ursprünglichen Umfang c markieren.

10- Schließlich werden die Segmente AJ, JK, KL, LP, AM, MN, NC, CQ und schließlich PB gezeichnet.

Es ist zu beachten, dass die Bauweise nicht ganz genau ist, da nachgewiesen werden kann, dass die letzte Seite PB 0,7% länger ist als die anderen Seiten. Bisher ist keine Konstruktionsmethode mit einem 100% genauen Lineal und Kompass bekannt.

Beispiele

Hier sind einige Beispiele.

Beispiel 1

Wir wollen einen regulären Enegon bauen, dessen Seiten 2 cm messen. Welcher Radius muss den Umfang haben, der ihn umschreibt, damit durch Anwendung der zuvor beschriebenen Konstruktion das gewünschte Ergebnis erzielt wird?

In einem früheren Abschnitt wurde die Formel abgeleitet, die den Radius r des umschriebenen Kreises mit der Seite d eines regulären Enegons in Beziehung setzt:

d = 2r cos (70º)

Das Auflösen nach r aus dem vorherigen Ausdruck haben wir:

r = d / (2 cos (70º)) = 1,4619 * d

Einsetzen des Wertes d = 2 cm in die vorherige Formel ergibt einen Radius r von 2,92 cm.

Beispiel 2

Was ist die Fläche eines regulären Enegons mit einer Seite von 2 cm?

Um diese Frage zu beantworten, müssen wir uns auf die zuvor gezeigte Formel beziehen, die es uns ermöglicht, die Fläche eines bekannten Enegons anhand der Länge d seiner Seite zu finden: