EUKLIDISCHER ABSTAND: KONZEPT, FORMEL, BERECHNUNG, BEISPIEL - MATHE - 2025

Der euklidische Abstand ist eine positive Zahl, die die Trennung zwischen zwei Punkten in einem Raum angibt, in dem die Axiome und Theoreme der euklidischen Geometrie erfüllt sind.

Der Abstand zwischen zwei Punkten A und B in einem euklidischen Raum ist die Länge des Vektors AB , der zu der einzigen Linie gehört, die durch diese Punkte verläuft.

Abbildung 1 . Eindimensionaler euklidischer Raum, der durch die Linie (OX) gebildet wird. Auf diesem Raum werden mehrere Punkte, ihre Koordinaten und Abstände angezeigt. (Vorbereitet von Ricardo Pérez).

Der Raum, den Menschen wahrnehmen und in dem wir uns bewegen, ist ein dreidimensionaler (3-D) Raum, in dem die Axiome und Theoreme der Euklidschen Geometrie erfüllt sind. In diesem Raum sind zweidimensionale Teilräume (Ebenen) und eindimensionale Teilräume (Linien) enthalten.

Euklidische Räume können eindimensional (1-D), zweidimensional (2-D), dreidimensional (3-D) oder n-dimensional (nD) sein.

Punkte im eindimensionalen Raum X sind solche, die zur orientierten Linie (OX) gehören, die Richtung von O nach X ist die positive Richtung. Um die Punkte auf dieser Linie zu lokalisieren, wird das kartesische System verwendet, bei dem jedem Punkt der Linie eine Nummer zugewiesen wird.

Formel

Der euklidische Abstand d (A, B) zwischen den Punkten A und B auf einer Linie ist definiert als die Quadratwurzel des Quadrats der Differenzen in ihren X-Koordinaten:

d (A, B) = √ ((XB - XA) ^ 2)

Diese Definition garantiert Folgendes: Der Abstand zwischen zwei Punkten ist immer eine positive Größe. Und dass der Abstand zwischen A und B gleich dem Abstand zwischen B und A ist.

1 zeigt den eindimensionalen euklidischen Raum, der durch die Linie (OX) und mehrere Punkte auf dieser Linie gebildet wird. Jeder Punkt hat eine Koordinate:

Punkt A hat die Koordinate XA = 2,5, die Punkt B-Koordinate XB = 4 und die Punkt C-Koordinate XC = -2,5

d (A, B) = √ ((4 - 2,5) 2) = 1,5

d (B, A) = √ ((2,5 - 4) 2) = 1,5

d (A, C) = √ ((- 2,5 - 2,5) 2) = 5,0

Euklidischer Abstand in zwei Dimensionen

Der zweidimensionale euklidische Raum ist eine Ebene. Die Punkte einer euklidischen Ebene erfüllen die Axiome der euklidischen Geometrie, zum Beispiel:

- Eine einzelne Linie verläuft durch zwei Punkte.

- Drei Punkte in der Ebene bilden ein Dreieck, dessen Innenwinkel sich immer zu 180 ° addieren.

- In einem rechtwinkligen Dreieck entspricht das Quadrat der Hypotenuse der Summe der Quadrate ihrer Beine.

In zwei Dimensionen hat ein Punkt X- und Y-Koordinaten.

Zum Beispiel hat ein Punkt P Koordinaten (XP, YP) ​​und ein Punkt Q Koordinaten (XQ, YQ).

Der euklidische Abstand zwischen Punkt P und Q wird mit folgender Formel definiert:

d (P, Q) = √ ((XQ - XP) ^ 2 + (YQ - YP) ^ 2)

Es ist zu beachten, dass diese Formel dem Satz von Pythagoras entspricht, wie in Abbildung 2 dargestellt.

Abbildung 2. Der Abstand zwischen zwei Punkten P und Q in der Ebene erfüllt den Satz von Pythagoras. (Vorbereitet von Ricardo Pérez).

Nichteuklidische Oberflächen

Nicht alle zweidimensionalen Räume entsprechen der euklidischen Geometrie. Die Oberfläche einer Kugel ist ein zweidimensionaler Raum.

Die Winkel eines Dreiecks auf einer sphärischen Oberfläche addieren sich nicht zu 180º, und damit ist der Satz von Pythagoras nicht erfüllt, daher erfüllt eine sphärische Oberfläche nicht die Axiome von Euklid.

Euklidischer Abstand in n Dimensionen

Das Konzept der Koordinaten kann auf größere Dimensionen erweitert werden:

- In 2D hat Punkt P Koordinaten (XP, YP)

- In 3D hat ein Punkt Q Koordinaten (XQ, YQ, ZQ)

- In 4-D hat der Punkt R Koordinaten (XR, YR, ZR, WR)

- In nD hat ein Punkt P Koordinaten (P1, P2, P3,… .., Pn)

Der Abstand zwischen zwei Punkten P und Q eines n-dimensionalen euklidischen Raums wird mit der folgenden Formel berechnet:

d (P, Q) = √ ((Q1 - P1) ^ 2 + (Q2 - P2) ^ 2 + …… .. + (Qn - Pn) ^ 2)

Der Ort aller Punkte Q in einem n-dimensionalen euklidischen Raum, der gleich weit von einem anderen festen Punkt P (dem Zentrum) entfernt ist, bildet eine n-dimensionale Hypersphäre.

Wie berechnet man die euklidische Entfernung?

Das Folgende zeigt, wie der Abstand zwischen zwei Punkten im euklidischen dreidimensionalen Raum berechnet wird.

Angenommen, Punkt A der kartesischen Koordinaten x, y, z gegeben durch A :( 2, 3, 1) und Punkt B der Koordinaten B :( -3, 2, 2).

Wir wollen den Abstand zwischen diesen Punkten bestimmen, für den die allgemeine Beziehung verwendet wird:

d (A, B) = √ ((-3 - 2) 2 + (2 - 3) 2 + (2 - 1) 2) = √ ((-5) 2 + (-1) 2 + (1) 2 )

d (A, B) = √ (25 + 1 + 1) = √ (27) = √ (9 * 3) = 3 √ (3) = 5.196

Beispiel

Es gibt zwei Punkte P und Q. Der Punkt P der kartesischen Koordinaten x, y, z, gegeben durch P: (2, 3, 1) und der Punkt Q der Koordinaten Q: (-3, 2, 1).

Es wird gebeten, die Koordinaten des Mittelpunkts M des Segments zu finden, das die beiden Punkte verbindet.

Es wird angenommen, dass der unbekannte Punkt M Koordinaten (X, Y, Z) hat.

Da M der Mittelpunkt von ist, muss es wahr sein, dass d (P, M) = d (Q, M), also muss d (P, M) ^ 2 = d (Q, M) ^ 2 auch wahr sein:

(X - 2) ^ 2 + (Y - 3) ^ 2 + (Z - 1) ^ 2 = (X - (-3)) ^ 2 + (Y - 2) ^ 2 + (Z - 1) ^ 2

Da in diesem Fall der dritte Term in beiden Mitgliedern gleich ist, vereinfacht sich der vorherige Ausdruck zu:

(X - 2) ^ 2 + (Y - 3) ^ 2 = (X + 3) ^ 2 + (Y - 2) ^ 2

Wir haben dann eine Gleichung mit zwei Unbekannten X und Y. Eine andere Gleichung ist erforderlich, um das Problem zu lösen.

Punkt M gehört zu der Linie, die durch die Punkte P und Q verläuft, die wir wie folgt berechnen können:

Zuerst finden wir den Direktorvektor PQ der Linie: PQ = <-3-2, 2-3, 1-1> = <-5, -1, 0>.

Dann ist PM = OP + a PQ , wobei OP der Positionsvektor des Punktes P ist und ein Parameter ist, der zu den reellen Zahlen gehört.

Die obige Gleichung ist als Vektorgleichung der Linie bekannt, die in kartesischen Koordinaten die folgende Form annimmt:

<X-2, Y-3, Z-1> = <2, 3, 1> + a <-5, -1, 0> = <2 - 5a, 3 - a, 0>

Gleichsetzen der entsprechenden Komponenten haben wir:

X - 2 = 2-5 a; Y - 3 = 3 - a; Z - 1 = 0

Das heißt, X = 4 - 5a, Y = 6 - a, schließlich Z = 1.

Es wird in dem quadratischen Ausdruck eingesetzt, der X mit Y in Beziehung setzt:

(4 - 5a - 2) ^ 2 + (6 - a - 3) ^ 2 = (4 - 5a + 3) ^ 2 + (6 - a - 2) ^ 2

Es ist vereinfacht:

(2 - 5a) ^ 2 + (3 - a) ^ 2 = (7 - 5a) ^ 2 + (4 - a) ^ 2

Jetzt entfaltet sich:

4 + 25 a ^ 2 - 20a + 9 + a ^ 2 - 6a = 49 + 25 a ^ 2 - 70a + 16 + a ^ 2 - 8a

Es ist vereinfacht und löscht in beiden Mitgliedern ähnliche Begriffe:

4 - 20a + 9 - 6a = 49 - 70a + 16 - 8a

Der Parameter a wird gelöscht:

52 a = 49 + 16 - 4 - 9 = 52, was zu a = 1 führt.

Das heißt, X = 4 - 5, Y = 6 - 1, schließlich Z = 1.

Schließlich erhalten wir die kartesischen Koordinaten des Mittelpunkts M des Segments:

M: (-1, 5, 1).

Verweise

1. Lehmann C. (1972) Analytical Geometry. UTEHA.
2. Superprof. Abstand zwischen zwei Punkten. Wiederhergestellt von: superprof.es
3. UNAM. Abstand zwischen affinen sublinearen Mannigfaltigkeiten. Wiederhergestellt von: prometeo.matem.unam.mx/
4. Wikipedia. Euklidische Entfernung. Wiederhergestellt von: es.wikipedia.com
5. Wikipedia. Euklidischer Raum. Wiederhergestellt von: es.wikipedia.com