WIE VIELE LÖSUNGEN HAT EINE QUADRATISCHE GLEICHUNG? - MATHE - 2025

Eine quadratische Gleichung oder quadratische Gleichung kann abhängig von den in dieser Gleichung auftretenden Koeffizienten null, eine oder zwei reelle Lösungen haben.

Wenn Sie an komplexen Zahlen arbeiten, können Sie sagen, dass jede quadratische Gleichung zwei Lösungen hat.

Eine quadratische Gleichung ist zunächst eine Gleichung der Form ax² + bx + c = 0, wobei a, b und c reelle Zahlen sind und x eine Variable ist.

Es wird gesagt, dass x1 eine Lösung der vorherigen quadratischen Gleichung ist, wenn das Ersetzen von x durch x1 die Gleichung erfüllt, dh wenn a (x1) ² + b (x1) + c = 0 ist.

Wenn wir zum Beispiel die Gleichung x²-4x + 4 = 0 haben, dann ist x1 = 2 eine Lösung, da (2) ²-4 (2) + 4 = 4-8 + 4 = 0.

Im Gegenteil, wenn wir x2 = 0 einsetzen, erhalten wir (0) ²-4 (0) + 4 = 4 und da 4 ≠ 0 ist, ist x2 = 0 keine Lösung der quadratischen Gleichung.

Lösungen einer quadratischen Gleichung

Die Anzahl der Lösungen einer quadratischen Gleichung kann in zwei Fälle unterteilt werden:

einer.-

Bei der Arbeit mit reellen Zahlen können quadratische Gleichungen Folgendes haben:

-Zero-Lösungen: Das heißt, es gibt keine reelle Zahl, die die quadratische Gleichung erfüllt. Zum Beispiel gibt es in der Gleichung mit der Gleichung x² + 1 = 0 keine solche reelle Zahl, die diese Gleichung erfüllt, da beide x² größer oder gleich Null sind und 1 streng größer als Null ist, so dass ihre Summe größer ist streng als Null.

-Eine wiederholte Lösung: Es gibt einen einzelnen reellen Wert, der die quadratische Gleichung erfüllt. Zum Beispiel ist die einzige Lösung für die Gleichung x²-4x + 4 = 0 x1 = 2.

-Zwei verschiedene Lösungen: Es gibt zwei Werte, die die quadratische Gleichung erfüllen. Zum Beispiel hat x² + x-2 = 0 zwei verschiedene Lösungen, nämlich x1 = 1 und x2 = -2.

2.- In komplexen Zahlen

Bei der Arbeit mit komplexen Zahlen haben quadratische Gleichungen immer zwei Lösungen: z1 und z2, wobei z2 das Konjugat von z1 ist. Sie können auch klassifiziert werden in:

-Komplexe: Die Lösungen haben die Form z = p ± qi, wobei p und q reelle Zahlen sind. Dieser Fall entspricht dem ersten Fall in der vorherigen Liste.

- Reine Komplexe: Wenn der Realteil der Lösung gleich Null ist, hat die Lösung die Form z = ± qi, wobei q eine reelle Zahl ist. Dieser Fall entspricht dem ersten Fall in der vorherigen Liste.

-Komplexe mit einem Imaginärteil gleich Null: Wenn der komplexe Teil der Lösung gleich Null ist, ist die Lösung eine reelle Zahl. Dieser Fall entspricht den letzten beiden Fällen in der vorherigen Liste.

Wie werden die Lösungen einer quadratischen Gleichung gefunden?

Um die Lösungen einer quadratischen Gleichung zu berechnen, wird eine Formel verwendet, die als "das Lösungsmittel" bekannt ist und besagt, dass die Lösungen einer Gleichung ax² + bx + c = 0 durch den Ausdruck im folgenden Bild gegeben sind:

Die Größe, die innerhalb der Quadratwurzel erscheint, wird als Diskriminante der quadratischen Gleichung bezeichnet und mit dem Buchstaben "d" bezeichnet.

Die quadratische Gleichung hat:

- Zwei echte Lösungen, wenn und nur wenn d> 0 ist.

- Eine echte Lösung wird nur dann wiederholt, wenn d = 0 ist.

-Zero reale Lösungen (oder zwei komplexe Lösungen) genau dann, wenn d <0 ist.

Beispiele:

-Die Lösungen der Gleichung x² + x-2 = 0 sind gegeben durch:

-Die Gleichung x²-4x + 4 = 0 hat eine wiederholte Lösung, die gegeben ist durch:

-Die Lösungen der Gleichung x² + 1 = 0 sind gegeben durch:

Wie in diesem letzten Beispiel zu sehen ist, ist x2 das Konjugat von x1.

Verweise

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