NICHT KOPLANARE VEKTOREN: DEFINITION, BEDINGUNGEN, ÜBUNGEN - KÖRPERLICH - 2025

Die nicht koplanaren Vektoren sind diejenigen, die nicht dieselbe Ebene teilen. Zwei freie Vektoren und ein Punkt definieren eine einzelne Ebene. Ein dritter Vektor kann diese Ebene teilen oder nicht, und wenn dies nicht der Fall ist, handelt es sich um nicht koplanare Vektoren.

Nicht koplanare Vektoren können nicht in zweidimensionalen Räumen wie einer Tafel oder einem Blatt Papier dargestellt werden, da einige von ihnen in der dritten Dimension enthalten sind. Um sie richtig darzustellen, müssen Sie die Perspektive verwenden.

Abbildung 1. Koplanare und nicht koplanare Vektoren. (Eigene Ausarbeitung)

Wenn wir uns Abbildung 1 ansehen, befinden sich alle gezeigten Objekte ausschließlich in der Ebene des Bildschirms. Dank der Perspektive kann sich unser Gehirn jedoch eine Ebene (P) vorstellen, die daraus hervorgeht.

Auf dieser Ebene (P) befinden sich die Vektoren r , s , u , während sich die Vektoren v und w nicht in dieser Ebene befinden.

Daher sind die Vektoren r , s , u koplanar oder koplanar zueinander, da sie dieselbe Ebene (P) teilen. Die Vektoren v und w teilen sich keine Ebene mit einem der anderen gezeigten Vektoren, daher sind sie nicht koplanar.

Koplanare Vektoren und Gleichung der Ebene

Eine Ebene ist eindeutig definiert, wenn sich im dreidimensionalen Raum drei Punkte befinden.

Angenommen, diese drei Punkte sind Punkt A, Punkt B und Punkt C, die die Ebene (P) definieren. Mit diesen Punkten ist es möglich, zwei Vektoren AB = u und AC = v zu konstruieren, die konstruktionsbedingt koplanar mit der Ebene (P) sind.

Das Vektorprodukt (oder Kreuzprodukt) dieser beiden Vektoren führt zu einem dritten Vektor senkrecht (oder normal) zu beiden und daher senkrecht zur Ebene (P):

n = u X v => n ⊥ u und n ⊥ v => n ⊥ (P)

Jeder andere Punkt, der zur Ebene (P) gehört, muss erfüllen, dass der Vektor AQ senkrecht zum Vektor n ist ; Dies entspricht der Aussage, dass das Punktprodukt (oder Punktprodukt) von n mit AQ Null sein muss:

n • AQ = 0 (*)

Die vorherige Bedingung entspricht der Aussage:

AQ • ( u X v ) = 0

Diese Gleichung stellt sicher, dass der Punkt Q zur Ebene (P) gehört.

Kartesische Gleichung der Ebene

Die obige Gleichung kann in kartesischer Form geschrieben werden. Dazu schreiben wir die Koordinaten der Punkte A, Q und der Komponenten des Normalenvektors n :

Die Komponenten von AQ sind also:

Die Bedingung, dass der Vektor AQ in der Ebene (P) enthalten ist, ist die Bedingung (*), die jetzt wie folgt geschrieben wird:

Die Berechnung des Punktprodukts bleibt:

Wenn es entwickelt und neu angeordnet wird, bleibt es:

Der vorherige Ausdruck ist die kartesische Gleichung einer Ebene (P) als Funktion der Komponenten eines Vektors senkrecht zu (P) und der Koordinaten eines Punktes A, der zu (P) gehört.

Bedingungen für drei Vektoren, die nicht koplanar sind

Wie im vorherigen Abschnitt zu sehen ist, garantiert die Bedingung AQ • ( u X v ) = 0, dass der Vektor AQ koplanar zu u und v ist .

Wenn wir den Vektor AQ w nennen , können wir Folgendes bestätigen:

w , u und v sind genau dann koplanar, wenn w • ( u X v ) = 0 ist.

Nicht-Koplanaritätsbedingung

Wenn sich das Dreifachprodukt (oder Mischprodukt) von drei Vektoren von Null unterscheidet, sind diese drei Vektoren nicht koplanar.

Wenn w • ( u X v ) ≠ 0 ist, sind die Vektoren u, v und w nicht koplanar.

Wenn die kartesischen Komponenten der Vektoren u, v und w eingeführt werden, kann die Bedingung der Nichtkoplanarität wie folgt geschrieben werden:

Das Dreifachprodukt hat eine geometrische Interpretation und repräsentiert das Volumen des Parallelepipeds, das von den drei nicht koplanaren Vektoren erzeugt wird.

Abbildung 2. Drei nicht koplanare Vektoren definieren ein Parallelepiped, dessen Volumen das Modul des Dreifachprodukts ist. (Eigene Ausarbeitung)

Der Grund ist wie folgt; Wenn zwei der nicht koplanaren Vektoren vektoriell multipliziert werden, wird ein Vektor erhalten, dessen Größe die Fläche des von ihnen erzeugten Parallelogramms ist.

Wenn dieser Vektor dann skalar mit dem dritten nicht-koplanaren Vektor multipliziert wird, haben wir die Projektion auf einen Vektor senkrecht zur Ebene, die die ersten beiden bestimmen, multipliziert mit der Fläche, die sie bestimmen.

Mit anderen Worten, wir haben die Fläche des Parallelogramms, die durch die ersten beiden erzeugt wird, multipliziert mit der Höhe des dritten Vektors.

Alternative Bedingung der Nichtkoplanarität

Wenn Sie drei Vektoren haben und einer von ihnen nicht als lineare Kombination der beiden anderen Vektoren geschrieben werden kann, sind die drei Vektoren nicht koplanar. Das heißt, drei Vektoren u , v und w sind nicht koplanar, wenn die Bedingung:

α u + β v + γ w = 0

Es ist nur erfüllt, wenn α = 0, β = 0 und γ = 0 ist.

Gelöste Übungen

-Übung 1

Es gibt drei Vektoren

u = (-3, -6, 2); v = (4, 1, 0) und w = (-1, 2, z)

Es ist zu beachten, dass die z-Komponente des Vektors w unbekannt ist.

Finden Sie den Wertebereich, den z annehmen kann, so dass die drei Vektoren garantiert nicht dieselbe Ebene teilen.

Lösung

w • ( u X v ) = -3 (z - 0) + 6 (4 z - 0) + 2 (8 + 1) = -3z + 24z + 18 = 21z + 18

Wir setzen diesen Ausdruck gleich dem Wert Null

21 z + 18 = 0

und wir lösen für z

z = -18 / 21 = -6/7

Wenn die Variable z den Wert -6/7 annehmen würde, wären die drei Vektoren koplanar.

Die Werte von z, die garantieren, dass die Vektoren nicht koplanar sind, liegen also im folgenden Intervall:

z ∈ (-∞, -6 / 7) U (-6/7, ∞)

-Übung 2

Finden Sie das Volumen des Parallelepipeds in der folgenden Abbildung:

Lösung

Um das in der Abbildung gezeigte Volumen des Parallelepipeds zu ermitteln, werden die kartesischen Komponenten von drei gleichzeitigen nicht-koplanaren Vektoren am Ursprung des Koordinatensystems bestimmt. Der erste ist der Vektor u von 4 m und parallel zur X-Achse:

u = (4, 0, 0) m

Der zweite ist der Vektor v in der XY-Ebene der Größe 3 m, der mit der X-Achse 60 ° bildet:

v = (3 · cos 60º, 3 · sin 60º, 0) = (1,5, 2,6, 0,0) m

Und der dritte ist der Vektor w von 5 m, dessen Projektion in der XY-Ebene 60 ° mit der X-Achse und w 30 ° mit der Z-Achse bildet.

w = (5 * sin 30º * cos 60º, 5 * sin 30º * sin 60º, 5 * sin 30º)

Sobald die Berechnungen durchgeführt wurden, haben wir: w = (1,25, 2,17, 2,5) m.

Verweise

1. Figueroa, D. Reihe: Physik für Naturwissenschaften und Technik. Band 1. Kinematik. 31-68.
2. Körperlich. Modul 8: Vektoren. Wiederhergestellt von: frtl.utn.edu.ar
3. Hibbeler, R. 2006. Mechanik für Ingenieure. Statisch 6. Auflage. Continental Publishing Company. 28-66.
4. McLean, W. Schaum Series. Mechanik für Ingenieure: Statik und Dynamik. 3. Auflage. McGraw Hill. 1-15.
5. Wikipedia. Vektor. Wiederhergestellt von: es.wikipedia.org