ZYLINDERKOORDINATEN: SYSTEM, VERÄNDERUNG UND ÜBUNGEN - MATHE - 2025

Die Zylinderkoordinaten werden verwendet, um Punkte im dreidimensionalen Raum zu lokalisieren und bestehen aus einer Radialkoordinate ρ, einer Azimutalkoordinate φ und einer Höhenkoordinate z.

Ein im Raum befindlicher Punkt P wird orthogonal auf die XY-Ebene projiziert, wodurch der Punkt P 'in dieser Ebene entsteht. Der Abstand vom Ursprung zum Punkt P 'definiert die Koordinate ρ, während der Winkel zwischen der X-Achse und dem Strahl OP' die Koordinate φ definiert. Schließlich ist die z-Koordinate die orthogonale Projektion des Punktes P auf die Z-Achse. (siehe Abbildung 1).

Figure 1. Punkt P der Zylinderkoordinaten (ρ, φ, z). (Eigene Ausarbeitung)

Die Radialkoordinate ρ ist immer positiv, die Azimutkoordinate φ variiert von null Radian bis zwei pi Radiant, während die z-Koordinate einen beliebigen realen Wert annehmen kann:

0 ≤ ρ <∞

0 ≤ φ <2π

- ∞ <z <+ ∞

Änderung der Koordinaten

Es ist relativ einfach, die kartesischen Koordinaten (x, y, z) eines Punktes P aus seinen Zylinderkoordinaten (ρ, φ, z) zu erhalten:

x = ρ cos (φ)

y = ρ sin (φ)

z = z

Es ist aber auch möglich, die Polarkoordinaten (ρ, φ, z) ausgehend von der Kenntnis der kartesischen Koordinaten (x, y, z) eines Punktes P zu erhalten:

ρ = √ (x ² + y ² )

φ = Arctan (y / x)

z = z

Vektorbasis in Zylinderkoordinaten

Die Basis der zylindrischen Einheitsvektoren Uρ , Uφ , Uz ist definiert .

Der Vektor Uρ tangiert die Linie φ = ctte und z = ctte (radial nach außen zeigend), der Vektor Uφ tangiert die Linie ρ = ctte und z = ctte und schließlich hat Uz die gleiche Richtung der Z-Achse.

Abbildung 2. Zylinderkoordinatenbasis. (Wikimedia Commons)

In der zylindrischen Einheitsbasis wird der Positionsvektor r eines Punktes P wie folgt vektoriell geschrieben:

r = ρ Uρ + 0 Uφ + z Uz

Andererseits wird eine infinitesimale Verschiebung d r vom Punkt P wie folgt ausgedrückt:

d r = d ρ Uρ + ρ dφ Uφ + dz Uz

In ähnlicher Weise ist ein infinitesimales Element des Volumens dV in Zylinderkoordinaten:

dV = ρ dρ dφ dz

Beispiele

Es gibt unzählige Beispiele für die Verwendung und Anwendung von Zylinderkoordinaten. In der Kartographie wird beispielsweise die zylindrische Projektion verwendet, die genau auf diesen Koordinaten basiert. Es gibt weitere Beispiele:

Beispiel 1

Zylinderkoordinaten finden Anwendung in der Technologie. Als Beispiel haben wir das CHS-System (Cylinder-Head-Sector) zum Auffinden von Daten auf einer Festplatte, die tatsächlich aus mehreren Festplatten besteht:

- Der Zylinder oder die Spur entspricht der Koordinate ρ.

- Der Sektor entspricht der Position φ der Scheibe, die sich mit hoher Winkelgeschwindigkeit dreht.

- Der Kopf entspricht der z-Position des Lesekopfes auf der entsprechenden Platte.

Jedes Informationsbyte hat eine genaue Adresse in Zylinderkoordinaten (C, S, H).

Abbildung 2. Position der Informationen in Zylinderkoordinaten auf einem Festplattensystem. (Wikimedia Commons)

Beispiel 2

Baukrane fixieren die Position der Last in Zylinderkoordinaten. Die horizontale Position wird durch den Abstand zur Achse oder zum Pfeil des Krans ρ und durch seine Winkelposition φ in Bezug auf eine Referenzachse definiert. Die vertikale Position der Last wird durch die z-Koordinate der Höhe bestimmt.

Abbildung 3. Die Position der Last auf einem Baukran kann leicht in Zylinderkoordinaten ausgedrückt werden. (Bild pixabay - Anmerkungen R. Pérez)

Gelöste Übungen

Übung 1

Es gibt Punkte P1 mit Zylinderkoordinaten (3, 120º, -4) und Punkt P2 mit Zylinderkoordinaten (2, 90º, 5). Finden Sie den euklidischen Abstand zwischen diesen beiden Punkten.

Lösung: Zuerst ermitteln wir die kartesischen Koordinaten jedes Punktes gemäß der oben angegebenen Formel.

P1 = (3 · cos 120º, 3 · sin 120º, -4) = (-1,5, 2,60, -4)

P2 = (2 * cos 90º, 2 * sin 90º, 5) = (0, 2, 5)

Der euklidische Abstand zwischen P1 und P2 beträgt:

d (P1, P2) = √ ((0 - (-1,5)) ² + (2 - 2,60) ² + (5 - (- 4)) ² ) =…

… √ (2,25 + 0,36 + 81) = 9,14

Übung 2

Punkt P hat kartesische Koordinaten (-3, 4, 2). Finden Sie die entsprechenden Zylinderkoordinaten.

Lösung: Wir fahren fort, die Zylinderkoordinaten unter Verwendung der oben angegebenen Beziehungen zu finden:

ρ = √ (x ² + y ² ) = √ ((- 3) ² + 4 ² ) = √ (9 + 16) = √ (25) = 5

φ = Arctan (y / x) = Arctan (4 / (- 3)) = -53,13º + 180º = 126,87º

z = 2

Es ist zu beachten, dass die Arkustangensfunktion mit einer Periodizität von 180 ° mehrwertig ist. Außerdem muss der Winkel φ zum zweiten Quadranten gehören, da die x- und y-Koordinaten des Punktes P in diesem Quadranten liegen. Dies ist der Grund, warum dem Ergebnis φ 180º hinzugefügt wurden.

Übung 3

Drücken Sie in Zylinderkoordinaten und in kartesischen Koordinaten die Oberfläche eines Zylinders mit Radius 2 aus, dessen Achse mit der Z-Achse übereinstimmt.

Lösung: Es versteht sich, dass der Zylinder eine unendliche Ausdehnung in der z-Richtung hat, so dass die Gleichung der Oberfläche in Zylinderkoordinaten lautet:

ρ = 2

Um die kartesische Gleichung der zylindrischen Oberfläche zu erhalten, wird das Quadrat beider Elemente der vorherigen Gleichung genommen:

ρ ² = 4

Wir multiplizieren beide Mitglieder der vorherigen Gleichheit mit 1 und wenden die grundlegende trigonometrische Identität an (sin ² (φ) + cos ² (φ) = 1):

1 * ρ ² = 1 * 4

(sin ² (φ) + cos ² (φ)) * ρ ² = 1 * 4

Die Klammer wird entwickelt, um Folgendes zu erhalten:

(ρ sin (φ)) ² + (ρ cos (φ)) ² = 4

Wir erinnern uns, dass die ersten Klammern (ρ sin (φ)) die y-Koordinate eines Punktes in Polarkoordinaten sind, während die Klammern (ρ cos (φ)) die x-Koordinate darstellen, so dass wir die Gleichung des Zylinders in Koordinaten haben Kartesisch:

y ² + x ² = 2 ²

Die obige Gleichung sollte nicht mit der eines Umfangs in der XY-Ebene verwechselt werden, da sie in diesem Fall folgendermaßen aussehen würde: {y ² + x ² = 2 ² ; z = 0}.

Übung 4

Bei einem Zylinder mit einem Radius von R = 1 m und einer Höhe von H = 1 m ist die Masse gemäß der folgenden Gleichung D (ρ) = C (1 - ρ / R) radial verteilt, wobei C eine Konstante mit dem Wert C = 1 kg / m ^{3 ist} . Finden Sie die Gesamtmasse des Zylinders in Kilogramm.

Lösung: Als erstes muss erkannt werden, dass die Funktion D (ρ) die volumetrische Massendichte darstellt und dass die Massendichte in zylindrischen Schalen mit abnehmender Dichte vom Zentrum zur Peripherie verteilt ist. Ein infinitesimales Volumenelement gemäß der Symmetrie des Problems ist:

dV = ρ dρ 2π H.

Daher ist die infinitesimale Masse einer zylindrischen Schale:

dM = D (ρ) dV

Daher wird die Gesamtmasse des Zylinders durch das folgende bestimmte Integral ausgedrückt:

M = ∫ _oder ^R D (ρ) dV = ∫ _oder ^R C (1 - ρ / R) ρ dρ 2π H = 2π HC ∫ _oder ^R (1 - ρ / R) ρ dρ

Die Lösung des angegebenen Integrals ist nicht schwer zu erhalten. Das Ergebnis ist:

∫ _oder ^R (1 - ρ / R) ρ dρ = (⅙) R ²

Wenn wir dieses Ergebnis in den Ausdruck der Masse des Zylinders einbeziehen, erhalten wir:

M = 2π HC (⅙) R ² = ⅓ π HCR ² =

⅓ π 1 m · 1 kg / m ³ · 1 m ² = π / 3 kg ≈ 1,05 kg

Verweise

1. Arfken G und Weber H. (2012). Mathematische Methoden für Physiker. Eine umfassende Anleitung. 7. Auflage. Akademische Presse. ISBN 978-0-12-384654-9
2. Berechnung cc. Gelöste Probleme mit Zylinder- und Kugelkoordinaten. Wiederhergestellt von: calculo.cc
3. Weisstein, Eric W. "Zylinderkoordinaten." Aus MathWorld - Ein Wolfram-Web. Wiederhergestellt von: mathworld.wolfram.com
4. Wikipedia. Zylinderkoordinatensystem. Wiederhergestellt von: en.wikipedia.com
5. Wikipedia. Vektorfelder in Zylinder- und Kugelkoordinaten. Wiederhergestellt von: en.wikipedia.com