BOLTZMANN-KONSTANTE: GESCHICHTE, GLEICHUNGEN, KALKÜL, ÜBUNGEN - KÖRPERLICH - 2025

Die Boltzmann-Konstante ist der Wert, der die durchschnittliche kinetische Energie eines thermodynamischen Systems oder eines Objekts mit der absoluten Temperatur desselben in Beziehung setzt. Obwohl sie oft verwechselt werden, sind Temperatur und Energie nicht dasselbe Konzept.

Die Temperatur ist ein Maß für die Energie, aber nicht die Energie selbst. Mit der Boltzmannschen Konstante sind sie folgendermaßen miteinander verbunden:

Boltzmanns Grabstein in Wien. Quelle: Daderot bei der englischen Wikipedia

Diese Gleichung gilt für ein einatomiges ideales Gasmolekül der Masse m, wobei E _c die in Joule angegebene kinetische Energie ist, k _B die Boltzmann-Konstante und T die absolute Temperatur in Kelvin ist.

Auf diese Weise steigt mit steigender Temperatur auch die durchschnittliche kinetische Energie pro Substanzmolekül an, wie dies zu erwarten ist. Und das Gegenteil passiert, wenn die Temperatur sinkt und der Punkt erreicht wird, an dem, wenn alle Bewegungen aufhören, die niedrigstmögliche Temperatur oder der absolute Nullpunkt erreicht wird.

Wenn man von durchschnittlicher kinetischer Energie spricht, muss man bedenken, dass kinetische Energie mit Bewegung verbunden ist. Und Partikel können sich auf viele Arten bewegen, z. B. durch Bewegen, Drehen oder Vibrieren. Natürlich werden sie es nicht alle auf die gleiche Weise tun, und da sie unzählig sind, wird der Durchschnitt zur Charakterisierung des Systems herangezogen.

Einige Energiezustände sind wahrscheinlicher als andere. Dieses Konzept ist in der Thermodynamik von radikaler Bedeutung. Die in der vorherigen Gleichung berücksichtigte Energie ist die kinetische Translationsenergie. Die Wahrscheinlichkeit von Zuständen und ihre Beziehung zur Boltzmannschen Konstante wird etwas später diskutiert.

Im Jahr 2018 wurde der Kelvin neu definiert und damit die Boltzmann-Konstante, die im internationalen System ungefähr 1,380649 x 10 ^-23 J. K ^-1 beträgt . Für die Boltzmann-Konstante, die in zahlreichen Labors auf der ganzen Welt mit verschiedenen Methoden bestimmt wurde, kann viel mehr Präzision erreicht werden.

Geschichte

Die berühmte Konstante verdankt ihren Namen dem in Wien geborenen Physiker Ludwig Boltzmann (1844–1906), der sein Leben als Wissenschaftler der Untersuchung des statistischen Verhaltens von Systemen mit vielen Teilchen aus Sicht der Newtonschen Mechanik widmete.

Obwohl heute die Existenz des Atoms allgemein anerkannt ist, wurde im 19. Jahrhundert der Glaube, ob das Atom wirklich existierte oder ein Kunstgriff war, mit dem viele physikalische Phänomene erklärt wurden, in voller Debatte diskutiert.

Boltzmann war ein überzeugter Verfechter der Existenz des Atoms und wurde zu seiner Zeit von vielen Kollegen scharf kritisiert, die es als unlösbare Paradoxien betrachteten.

Er erklärte, dass beobachtbare Phänomene auf makroskopischer Ebene durch die statistischen Eigenschaften von Teilchen wie Atomen und Molekülen erklärt werden könnten.

Vielleicht war diese Kritik auf die tiefgreifende Depression zurückzuführen, die ihn Anfang September 1906 dazu brachte, sich das Leben zu nehmen, als er noch viel zu tun hatte, da er als einer der großen theoretischen Physiker seiner Zeit galt und nur noch sehr wenig übrig war. dass andere Wissenschaftler dazu beitragen, die Richtigkeit ihrer Theorien zu bestätigen.

Es dauerte nicht lange nach seinem Tod, bis neue Entdeckungen über die Natur des Atoms und seiner Partikelbestandteile hinzukamen, um Boltzmann Recht zu geben.

Boltzmanns Konstante und Plancks Werke

Nun wurde die Boltzmann-Konstante k _B eingeführt, wie sie heute einige Zeit nach der Arbeit des österreichischen Physikers bekannt ist. Es war Max Planck, in seinem Gesetz über die Emission des schwarzen Körpers, ein Werk, das er 1901 vorstellte und das ihm damals den Wert 1,34 x 10 ^-23 J / K gab.

Um 1933 wurde Boltzmanns Grabstein in Wien als posthume Hommage eine Plakette mit der Definition der Entropie mit der berühmten Konstante S = k _B log W als posthume Hommage hinzugefügt , eine Gleichung, die später diskutiert wird.

Heute ist die Boltzmann-Konstante für die Anwendung der Gesetze der Thermodynamik, der statistischen Mechanik und der Informationstheorie unverzichtbar, auf deren Gebieten dieser traurig endende Physiker Pionier war.

Wert und Gleichungen

Gase können sowohl makroskopisch als auch mikroskopisch beschrieben werden. Für die Erstbeschreibung gibt es Konzepte wie Dichte, Temperatur und Druck.

Es sollte jedoch beachtet werden, dass ein Gas aus vielen Partikeln besteht, die eine globale Tendenz zu einem bestimmten Verhalten haben. Dieser Trend wird makroskopisch gemessen. Eine Möglichkeit zur Bestimmung der Boltzmann-Konstante ist die bekannte ideale Gasgleichung:

Hier ist p der Druck des Gases, V ist sein Volumen, n ist die Anzahl der vorhandenen Mol, R ist die Gaskonstante und T ist die Temperatur. In einem Mol idealen Gases ist die folgende Beziehung zwischen dem Produkt pV und der translatorischen kinetischen Energie K des gesamten Satzes erfüllt:

Daher ist die kinetische Energie:

Durch Division durch die Gesamtzahl der vorhandenen Moleküle, die als N bezeichnet wird, wird die durchschnittliche kinetische Energie eines einzelnen Partikels erhalten:

In einem Mol gibt es die Anzahl der Partikel N _A von Avogadro , und daher beträgt die Gesamtzahl der Partikel N = nN A, so dass:

Genau der Quotient R / N _A ist die Boltzmann-Konstante, wodurch gezeigt wird, dass die durchschnittliche kinetische Translationsenergie eines Partikels nur von der absoluten Temperatur T und nicht von anderen Größen wie Druck, Volumen oder sogar der Art des Moleküls abhängt:

Boltzmanns Konstante und Entropie

Ein Gas hat eine bestimmte Temperatur, aber diese Temperatur kann verschiedenen Zuständen innerer Energie entsprechen. Wie kann man diesen Unterschied visualisieren?

Betrachten Sie den gleichzeitigen Wurf von 4 Münzen und die Art und Weise, wie sie fallen können:

Möglichkeiten, wie 4 4 ​​Münzen fallen lassen können. Quelle: selbst gemacht

Der Münzsatz kann insgesamt 5 Zustände annehmen, die als makroskopisch angesehen werden (siehe Abbildung). Welcher dieser Zustände ist für den Leser am wahrscheinlichsten?

Die Antwort sollte der Zustand von 2 Köpfen und 2 Schwänzen sein, da Sie insgesamt 6 von 16 in der Abbildung dargestellten Möglichkeiten haben. Y 2 ⁴ = 16. Diese entsprechen den mikroskopischen Zuständen.

Was ist, wenn 20 statt 4 Münzen geworfen werden? Es gäbe insgesamt 2 ²⁰ Möglichkeiten oder "mikroskopische Zustände". Es ist eine viel größere Anzahl und schwieriger zu handhaben. Um die Handhabung großer Zahlen zu erleichtern, sind Logarithmen sehr geeignet.

Nun scheint es offensichtlich zu sein, dass der Staat mit der größten Störung am wahrscheinlichsten ist. Mehr geordnete Zustände wie 4 Köpfe oder 4 Siegel sind etwas weniger wahrscheinlich.

Die Entropie eines makroskopischen Zustands S ist definiert als:

Wobei w die Anzahl möglicher mikroskopischer Zustände des Systems ist und k _B die Boltzmannsche Konstante ist. Da ln w dimensionslos ist, hat die Entropie die gleichen Einheiten wie k _B : Joule / K.

Dies ist die berühmte Gleichung auf Boltzmanns Grabstein in Wien. Relevant ist jedoch mehr als die Entropie die Veränderung:

Wie berechnet man k

Der Wert der Boltzmannschen Konstante wird experimentell äußerst präzise mit Messungen auf der Basis der akustischen Thermometrie ermittelt, die unter Verwendung der Eigenschaft durchgeführt werden, die die Abhängigkeit der Schallgeschwindigkeit in einem Gas von seiner Temperatur festlegt.

In der Tat ist die Schallgeschwindigkeit in einem Gas gegeben durch:

B _adiabatisch = γp

Und ρ ist die Dichte des Gases. Für die obige Gleichung ist p der Druck des fraglichen Gases und γ der adiabatische Koeffizient, dessen Wert für ein gegebenes Gas in Tabellen angegeben ist.

Metrologieinstitute experimentieren auch mit anderen Methoden zur Messung der Konstante, wie beispielsweise der Johnson Noise Thermometry, bei der zufällige thermische Schwankungen in Materialien, insbesondere Leitern, verwendet werden.

Gelöste Übungen

-Übung 1

Finden:

a) Die durchschnittliche kinetische Translationsenergie E _c , die ein ideales Gasmolekül bei 25 ºC hat

b) Die translatorische kinetische Energie K der Moleküle in 1 Mol dieses Gases

c) Die durchschnittliche Geschwindigkeit eines Sauerstoffmoleküls bei 25 ºC

Tatsache

m _Sauerstoff = 16 · 10 & supmin; ^³ kg / mol

Lösung

a) E _c = (3/2) k T = 1,5 × 1,380649 × 10 ^–23 J. K ^–1 × 298 K = 6,2 × 10 ^–21 J.

b) K = (3/2) nRT = 5 · 1 Mol · 8,314 J / Mol. K · 298 K = 3716 J.

c) E _c = ½ mv ² , unter Berücksichtigung, dass das Sauerstoffmolekül zweiatomig ist und die Molmasse mit 2 multipliziert werden muss, haben wir:

Finden Sie die Entropieänderung, wenn sich 1 Mol Gas, das ein Volumen von 0,5 m ³ einnimmt, auf 1 m ³ ausdehnt .

Lösung

ΔS = k _B ln (w ₂ / w ₁ )

Verweise

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