UNENDLICHE MENGE: EIGENSCHAFTEN, BEISPIELE - MATHE - 2025

Unter einer unendlichen Menge wird die Menge verstanden , in der die Anzahl ihrer Elemente unzählig ist. Das heißt, egal wie groß die Anzahl seiner Elemente sein mag, es ist immer möglich, mehr zu finden.

Das bekannteste Beispiel ist die unendliche Menge der natürlichen Zahlen N . Es spielt keine Rolle, wie groß die Zahl ist, da Sie in einem Prozess, der kein Ende hat, immer eine größere erhalten können:

N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, ………………, 41, 42, 43, ………………………………………., 100, 101, ………………………, 126, 127, 128, ………………… …………………}

Abbildung 1. Symbol der Unendlichkeit. (pixabay)

Die Menge der Sterne im Universum ist sicherlich immens, aber es ist nicht sicher bekannt, ob sie endlich oder unendlich ist. Im Gegensatz zu der Anzahl der Planeten im Sonnensystem, die als endliche Menge bekannt ist.

Eigenschaften der unendlichen Menge

Unter den Eigenschaften von unendlichen Mengen können wir Folgendes hervorheben:

1- Die Vereinigung zweier unendlicher Mengen führt zu einer neuen unendlichen Menge.

2- Die Vereinigung einer endlichen Menge mit einer unendlichen führt zu einer neuen unendlichen Menge.

3- Wenn die Teilmenge einer gegebenen Menge unendlich ist, ist auch die ursprüngliche Menge unendlich. Die gegenseitige Aussage ist nicht wahr.

Sie können keine natürliche Zahl finden, die die Kardinalität oder die Anzahl der Elemente einer unendlichen Menge ausdrücken kann. Der deutsche Mathematiker Georg Cantor führte jedoch das Konzept einer transfiniten Zahl ein, um sich auf eine unendliche Ordnungszahl zu beziehen, die größer ist als jede natürliche Zahl.

Beispiele

Das natürliche N.

Das häufigste Beispiel für eine unendliche Menge sind natürliche Zahlen. Die natürlichen Zahlen sind diejenigen, die zum Zählen verwendet werden, jedoch können die gesamten Zahlen, die existieren können, unzählig sein.

Die Menge der natürlichen Zahlen enthält keine Null und wird üblicherweise als die Menge N bezeichnet , die in umfangreicher Form wie folgt ausgedrückt wird:

N = {1, 2, 3, 4, 5,….} Und ist eindeutig eine unendliche Menge.

Eine Ellipse zeigt an, dass nach einer Zahl eine andere folgt und dann eine weitere in einem endlosen oder endlosen Prozess.

Die Menge natürlicher Zahlen, die mit der Menge verbunden ist, die die Zahl Null (0) enthält, wird als Menge N + bezeichnet .

N + = {0, 1, 2, 3, 4, 5,….} Dies ist das Ergebnis der Vereinigung der unendlichen Menge N mit der endlichen Menge O = {0}, was zur unendlichen Menge N + führt .

Die ganzen Zahlen Z.

Die Menge der ganzen Zahlen Z besteht aus natürlichen Zahlen, natürlichen Zahlen mit negativem Vorzeichen und Null.

Die ganzen Zahlen Z werden als Entwicklung in Bezug auf die natürlichen Zahlen N betrachtet, die ursprünglich und primitiv im Zählprozess verwendet wurden.

In der numerischen Menge Z von ganzen Zahlen ist Null enthalten, um nichts zu zählen oder zu zählen, und negative Zahlen, um die Extraktion, den Verlust oder das Fehlen von etwas zu zählen.

Angenommen, auf dem Bankkonto wird ein negativer Saldo angezeigt, um die Idee zu veranschaulichen. Dies bedeutet, dass das Konto unter Null liegt und nicht nur das Konto leer ist, sondern auch eine fehlende oder negative Differenz aufweist, die irgendwie bei der Bank ersetzt werden muss.

In umfangreicher Form ist die unendliche Menge Z von ganzen Zahlen wie folgt geschrieben:

Z = {……., -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, …… ..}

Die Rationalen Q.

In der Entwicklung des Prozesses des Zählens und Austauschs von Dingen, Waren oder Dienstleistungen treten gebrochene oder rationale Zahlen auf.

Zum Beispiel kam beim Austausch eines halben Laibs mit zwei Äpfeln zum Zeitpunkt der Aufzeichnung der Transaktion jemandem der Gedanke, dass die Hälfte als eins geteilt oder in zwei Teile geteilt geschrieben werden sollte: ½. Aber die Hälfte der Hälfte des Brotes würde wie folgt in den Hauptbüchern erfasst: ½ / ½ = ¼.

Es ist klar, dass dieser Teilungsprozess theoretisch endlos sein kann, obwohl es in der Praxis so lange dauert, bis das letzte Brotteilchen erreicht ist.

Die Menge der rationalen (oder gebrochenen) Zahlen wird wie folgt bezeichnet:

Q = {………, -3,…., -2,… .., -1, ……, 0,… .., 1, ……, 2,… .., 3, …… ..}

Die Auslassungspunkte zwischen den beiden ganzen Zahlen bedeuten, dass zwischen diesen beiden Zahlen oder Werten unendliche Partitionen oder Unterteilungen bestehen. Deshalb soll die Menge der rationalen Zahlen unendlich dicht sein. Dies liegt daran, dass unabhängig davon, wie nahe zwei rationale Zahlen beieinander liegen, unendliche Werte gefunden werden können.

Nehmen wir zur Veranschaulichung an, wir werden gebeten, eine rationale Zahl zwischen 2 und 3 zu finden. Diese Zahl kann 2⅓ sein, was als gemischte Zahl bekannt ist, die aus 2 ganzen Teilen plus einem Drittel der Einheit besteht entspricht dem Schreiben von 4/3.

Zwischen 2 und 2⅓ kann ein anderer Wert gefunden werden, zum Beispiel 2⅙. Und zwischen 2 und 2⅙ kann ein anderer Wert gefunden werden, zum Beispiel 2⅛. Zwischen diesen beiden anderen und zwischen ihnen noch einer, noch einer und noch einer.

Abbildung 2. Unendliche Unterteilungen in rationale Zahlen. (Wikimedia Commons)

Irrationale Zahlen I.

Es gibt Zahlen, die nicht als Teilung oder Bruchteil zweier ganzer Zahlen geschrieben werden können. Es ist diese numerische Menge, die als Menge I irrationaler Zahlen bekannt ist, und es ist auch eine unendliche Menge.

Einige bemerkenswerte Elemente oder Vertreter dieser numerischen Menge sind die Zahl pi (π), die Eulernummer (e), der goldene Schnitt oder die goldene Zahl (φ). Diese Zahlen können nur grob durch eine rationale Zahl geschrieben werden:

π = 3.1415926535897932384626433832795 …… (und geht bis ins Unendliche und darüber hinaus…)

e = 2.7182818284590452353602874713527 ……. (und geht über die Unendlichkeit hinaus weiter…)

φ = 1.61803398874989484820 …… .. (bis unendlich… ..und darüber hinaus… ..)

Andere irrationale Zahlen erscheinen, wenn versucht wird, Lösungen für sehr einfache Gleichungen zu finden, zum Beispiel hat die Gleichung X ^ 2 = 2 keine exakte rationale Lösung. Die genaue Lösung wird durch die folgende Symbologie ausgedrückt: X = √2, wobei x gleich der Wurzel von zwei gelesen wird. Ein ungefährer rationaler (oder dezimaler) Ausdruck für √2 lautet:

√2 ≈1.4142135623730950488016887242097.

Es gibt unzählige irrationale Zahlen, √3, √7, √11, 3 ^ (⅓), 5 ^ (⅖), um nur einige zu nennen.

Die Menge der Reals R.

Reelle Zahlen sind die Zahlen, die in der mathematischen Analysis, Physik und Technik am häufigsten verwendet werden. Dieser Zahlensatz ist die Vereinigung der rationalen Zahlen Q und der irrationalen Zahlen I :

R = Q U I.

Unendlichkeit größer als Unendlichkeit

Unter den unendlichen Mengen sind einige größer als andere. Zum Beispiel kann die Menge der natürlichen Zahlen N ist unendlich , aber ist eine Teilmenge der ganzen Zahlen Z , die unendlich ist, so unendliche Menge Z größer ist als die unendliche Menge N .

Auch die Menge der ganzen Zahlen Z ist eine Teilmenge der reellen Zahlen R und damit die Menge R ist „unendlich“ die unendliche Menge Z .

Verweise

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