BOGEN (GEOMETRIE): MASS, ARTEN VON BÖGEN, BEISPIELE - MATHE - 2024

Der Bogen ist in der Geometrie eine beliebige gekrümmte Linie, die zwei Punkte verbindet. Eine gekrümmte Linie ist im Gegensatz zu einer geraden Linie eine Linie, deren Richtung an jedem Punkt darauf unterschiedlich ist. Das Gegenteil eines Bogens ist ein Segment, da dies ein gerader Abschnitt ist, der zwei Punkte verbindet.

Der in der Geometrie am häufigsten verwendete Bogen ist der Umfangsbogen. Andere gebräuchliche Bögen sind der Parabolbogen, der Ellipsenbogen und der Oberleitungsbogen. Die Bogenform wird auch in der Architektur häufig als dekoratives und strukturelles Element verwendet. Dies ist der Fall bei den Stürzen der Türen und Fenster sowie der Brücken und Aquädukte.

Abbildung 1. Der Regenbogen ist eine gekrümmte Linie, die zwei Punkte am Horizont verbindet. Quelle: Pixabay

Der Bogen und sein Maß

Das Maß eines Bogens ist seine Länge, die von der Art der Kurve abhängt, die die beiden Punkte verbindet, und von ihrer Position.

Die Länge eines Kreisbogens ist eine der am einfachsten zu berechnenden, da die Länge des gesamten Bogens oder Umfangs eines Umfangs bekannt ist.

Der Umfang eines Kreises beträgt das zwei pi-fache seines Radius: p = 2 π R. Wenn wir dies wissen und die Länge s eines Kreisbogens mit dem Winkel α (gemessen im Bogenmaß) und dem Radius R berechnen möchten, wird ein Anteil angewendet:

(s / p) = (α / 2 π)

Wenn wir dann s aus dem vorherigen Ausdruck löschen und den Umfang p durch seinen Ausdruck als Funktion des Radius R ersetzen, haben wir:

s = (α / 2 π) p = (α / 2 π) (2 π R) = α R.

Das heißt, das Maß eines Kreisbogens ist das Produkt seiner Winkelöffnung mal dem Radius des Kreisbogens.

Für einen Bogen im Allgemeinen ist das Problem komplizierter, bis zu dem Punkt, dass die großen Denker der Antike behaupteten, es sei eine unmögliche Aufgabe.

Erst mit dem Aufkommen der Differential- und Integralrechnung im Jahre 1665 wurde das Problem der Messung eines Bogens zufriedenstellend gelöst.

Vor der Erfindung der Differentialrechnung konnten Lösungen nur unter Verwendung von polygonalen Linien oder Umfangsbögen gefunden werden, die sich dem wahren Bogen annäherten, aber diese Lösungen waren nicht genau.

Arten von Bögen

Aus geometrischer Sicht werden Bögen nach der gekrümmten Linie klassifiziert, die zwei Punkte in der Ebene verbindet. Es gibt andere Klassifikationen nach seiner Verwendung und architektonischen Form.

Kreisbogen

Wenn die Linie, die zwei Punkte in der Ebene verbindet, ein Stück des Umfangs eines bestimmten Radius ist, haben wir einen Kreisbogen. Fig. 2 zeigt einen Kreisbogen c mit dem Radius R, der die Punkte A und B verbindet.

Abbildung 2. Kreisbogen mit dem Radius R, der die Punkte A und B verbindet. Ausgearbeitet von Ricardo Pérez.

Parabolbogen

Die Parabel ist der Weg, dem ein Objekt folgt, das schräg in die Luft geworfen wurde. Wenn die Kurve, die zwei Punkte verbindet, eine Parabel ist, haben wir einen Parabelbogen wie den in Abbildung 3 gezeigten.

Abbildung 3. Parabolbogenverbindungspunkte A und B. Ausgearbeitet von Ricardo Pérez.

Dies ist die Form des Wasserstrahls, der aus einem nach oben weisenden Schlauch austritt. Der Parabelbogen kann in den Wasserquellen beobachtet werden.

Abbildung 4. Parabolbogen aus Wasser eines Dresdner Brunnens. Quelle: Pixabay.

Oberleitungsbogen

Der Oberleitungsbogen ist ein weiterer natürlicher Bogen. Die Oberleitung ist die Kurve, die sich auf natürliche Weise bildet, wenn eine Kette oder ein Seil lose an zwei getrennten Punkten hängt.

Abbildung 5. Oberleitungsbogen und Vergleich mit dem Parabolbogen. Vorbereitet von Ricardo Pérez.

Die Oberleitung ähnelt der Parabel, ist jedoch nicht genau die gleiche wie in Abbildung 4.

Der umgekehrte Oberleitungsbogen wird in der Architektur als Strukturelement mit hoher Druckfestigkeit verwendet. In der Tat kann gezeigt werden, dass es die stärkste Art von Bogen unter allen möglichen Formen ist.

Um einen soliden Oberleitungsbogen zu bauen, kopieren Sie einfach die Form eines hängenden Seils oder einer hängenden Kette. Anschließend wird die kopierte Form umgedreht, um sie auf dem Tür- oder Fenstersturz zu reproduzieren.

Elliptischer Bogen

Ein Bogen ist elliptisch, wenn die Kurve, die zwei Punkte verbindet, ein Stück Ellipse ist. Die Ellipse ist definiert als der Ort von Punkten, deren Abstand zu zwei gegebenen Punkten immer eine konstante Größe ergibt.

Die Ellipse ist eine Kurve, die in der Natur vorkommt: Sie ist die Kurve der Flugbahn der Planeten um die Sonne, wie Johannes Kepler 1609 demonstrierte.

In der Praxis kann eine Ellipse gezeichnet werden, indem zwei Streben oder zwei Stifte in einem Stück Papier am Boden befestigt und eine Schnur daran gebunden werden. Das Seil wird dann mit dem Marker oder Bleistift festgezogen und die Kurve wird nachgezeichnet. Ein Stück Ellipse ist ein elliptischer Bogen. Die folgende Animation zeigt, wie die Ellipse gezeichnet wird:

Abbildung 5. Verfolgen einer Ellipse mit einem gespannten Seil. Quelle: Wikimedia Commons

Fig. 6 zeigt einen elliptischen Bogen, der die Punkte G und H verbindet.

Abbildung 6. Elliptischer Bogen, der zwei Punkte verbindet. Vorbereitet von Ricardo Pérez.

Beispiele für Bögen

Die folgenden Beispiele beziehen sich auf die Berechnung des Umfangs bestimmter Bögen.

Beispiel 1

Fig. 7 zeigt ein Fenster, das in einem geschnittenen Kreisbogen fertiggestellt ist. Die in der Abbildung gezeigten Abmessungen sind in Fuß angegeben. Finden Sie die Länge des Bogens.

Abbildung 7. Berechnung der Länge des Kreisbogens eines Fensters. (Eigene Anmerkungen - Fensterbild auf Pixabay)

Um den Mittelpunkt und den Radius des Kreisbogens des Fenstersturzes zu erhalten, werden die folgenden Konstruktionen auf dem Bild vorgenommen:

-Das Segment KL wird gezeichnet und seine Winkelhalbierende wird gezeichnet.

-Dann befindet sich der höchste Punkt des Sturzes, den wir M nennen. Als nächstes wird das KM-Segment betrachtet und seine Mittlerin verfolgt.

Der Achsenabschnitt der beiden Winkelhalbierenden ist der Punkt N und gleichzeitig der Mittelpunkt des Kreisbogens.

- Jetzt müssen wir die Länge des NM-Segments messen, die mit dem Radius R des Kreisbogens übereinstimmt: R = 2,8 Fuß.

- Um die Länge des Bogens zusätzlich zum Radius zu kennen, muss der Winkel bekannt sein, den der Bogen bildet. Dies kann mit zwei Methoden bestimmt werden, entweder mit einem Winkelmesser oder alternativ mit Trigonometrie.

Im gezeigten Fall beträgt der vom Bogen gebildete Winkel 91,13 °, der in Bogenmaß umgerechnet werden muss:

91,13º = 91,13º * π / 180º = 1,59 Bogenmaß

Schließlich berechnen wir die Länge s des Bogens mit der Formel s = α R.

s = 1,59 * 2,8 Fuß = 4,45 Fuß

Beispiel 2

Ermitteln Sie die Länge des in Abbildung 8 gezeigten elliptischen Bogens unter Kenntnis der Semi-Major-Achse r und der Semi-Minor-Achse s der Ellipse.

Abbildung 8. Elliptischer Bogen zwischen GH. Vorbereitet von Ricardo Pérez.

Das Ermitteln der Länge einer Ellipse war lange Zeit eines der schwierigsten Probleme in der Mathematik. Sie können Lösungen erhalten, die durch elliptische Integrale ausgedrückt werden. Um jedoch einen numerischen Wert zu erhalten, müssen Sie diese Integrale in Potenzreihen erweitern. Ein genaues Ergebnis würde unendlich viele Terme dieser Reihen erfordern.

Glücklicherweise fand das hinduistische mathematische Genie Ramanujan, das zwischen 1887 und 1920 lebte, eine Formel, die sich dem Umfang einer Ellipse sehr genau annähert:

Der Umfang einer Ellipse mit r = 3 cm und s = 2,24 cm beträgt 16,55 cm. Der gezeigte elliptische Bogen hat jedoch die Hälfte dieses Wertes:

Länge des elliptischen Bogens GH = 8,28 cm.

Verweise

1. Clemens S. 2008. Geometrie und Trigonometrie. Pearson Ausbildung.
2. García F. Numerische Prozeduren in Java. Länge einer Ellipse. Wiederhergestellt von: sc.ehu.es
3. Dynamische Geometrie. Bögen. Aus geometriadinamica.es wiederhergestellt
4. Piziadas. Ellipsen und Parabeln um uns herum. Wiederhergestellt von: piziadas.com
5. Wikipedia. Bogen (Geometrie). Wiederhergestellt von: es.wikipedia.com