ANTIDERIVATIV: FORMELN UND GLEICHUNGEN, BEISPIELE, ÜBUNGEN - MATHE - 2025

Ein Antiderivativ F (x) einer Funktion f (x) wird auch als primitiv oder einfach als unbestimmtes Integral dieser Funktion bezeichnet, wenn in einem gegebenen Intervall I erfüllt ist, dass F´ (x) = f (x)

Nehmen wir zum Beispiel die folgende Funktion:

f (x) = 4 × ³

Ein Antiderivativ dieser Funktion ist F (x) = x ⁴ , da bei der Differenzierung von F (x) unter Verwendung der Ableitungsregel für Potenzen:

Wir erhalten genau f (x) = 4x ³ .

Dies ist jedoch nur eines der vielen Antiderivative von f (x), da diese andere Funktion: G (x) = x ⁴ + 2 auch ist, weil bei Differenzierung von G (x) in Bezug auf x dasselbe erhalten wird zurück f (x).

Schauen wir uns das an:

Denken Sie daran, dass die Ableitung einer Konstante 0 ist. Daher können wir dem Term x ⁴ eine beliebige Konstante hinzufügen, und ihre Ableitung bleibt 4x ³ .

Es wird geschlossen, dass jede Funktion der allgemeinen Form F (x) = x ⁴ + C, wobei C eine reelle Konstante ist, als Antiderivativ für f (x) dient.

Das obige veranschaulichende Beispiel kann folgendermaßen ausgedrückt werden:

dF (x) = 4 × ³ dx

Das antiderivative oder unbestimmte Integral wird mit dem Symbol ∫ ausgedrückt, daher:

F (x) = ~ ⁴ × ³ dx = × ⁴ + C.

Wobei die Funktion f (x) = 4x ³ als Integrand bezeichnet wird und C die Integrationskonstante ist.

Beispiele für Antiderivate

Abbildung 1. Das Antiderivativ ist nichts anderes als ein unbestimmtes Integral. Quelle: Pixabay.

In einigen Fällen, in denen die Derivate bekannt sind, ist es einfach, ein Antiderivativ einer Funktion zu finden. Zum Beispiel sei die Funktion f (x) = sin x, ein Antiderivativ dafür ist eine andere Funktion F (x), so dass wir bei der Differenzierung f (x) erhalten.

Diese Funktion kann sein:

F (x) = - cos x

Lassen Sie uns überprüfen, ob es wahr ist:

F´ (x) = (- cos x) ´ = - (-sen x) = sin x

Deshalb können wir schreiben:

∫sen x dx = -cos x + C.

Zusätzlich zur Kenntnis der Ableitungen gibt es einige grundlegende und einfache Integrationsregeln, um das antiderivative oder unbestimmte Integral zu finden.

Sei k eine reelle Konstante, dann:

1.- d kdx = k ∫dx = kx + C.

2.- ∫kf (x) dx = k ∫f (x) dx

Wenn eine Funktion h (x) als Addition oder Subtraktion zweier Funktionen ausgedrückt werden kann, ist ihr unbestimmtes Integral:

3. ∫h (x) dx = ∫dx = ∫f (x) dx ± ∫g (x) dx

Dies ist die Eigenschaft der Linearität.

Die Potenzregel für Integrale kann folgendermaßen festgelegt werden:

Für den Fall von n = -1 wird die folgende Regel verwendet:

5.- ∫ x ^-1 dx = ln x + C.

Es ist leicht zu zeigen, dass die Ableitung von ln x genau x ^{-1 ist} .

Differentialgleichung

Eine Differentialgleichung ist eine, in der das Unbekannte als Ableitung gefunden wird.

Aus der vorherigen Analyse ist nun leicht zu erkennen, dass die inverse Operation zur Ableitung das antiderivative oder unbestimmte Integral ist.

Sei f (x) = y´ (x), dh die Ableitung einer bestimmten Funktion. Wir können die folgende Notation verwenden, um diese Ableitung anzuzeigen:

Daraus folgt unmittelbar:

Das Unbekannte der Differentialgleichung ist die Funktion y (x), deren Ableitung f (x) ist. Um dies zu lösen, wird der vorherige Ausdruck auf beiden Seiten integriert, was der Anwendung des Antiderivativs entspricht:

Das linke Integral wird durch die Integrationsregel 1 mit k = 1 gelöst, wodurch das gewünschte Unbekannte gelöst wird:

Und da C eine reelle Konstante ist, muss die Anweisung genügend zusätzliche Informationen enthalten, um den Wert von C zu berechnen, um zu wissen, welche Konstante jeweils geeignet ist. Dies wird als Anfangsbedingung bezeichnet.

Beispiele für die Anwendung all dessen werden wir im nächsten Abschnitt sehen.

Antiderivative Übungen

- Übung 1

Wenden Sie die Integrationsregeln an, um die folgenden Antiderivative oder unbestimmten Integrale der angegebenen Funktionen zu erhalten, und vereinfachen Sie die Ergebnisse so weit wie möglich. Es ist zweckmäßig, das Ergebnis durch Ableitung zu überprüfen.

Abbildung 2. Übungen mit Antiderivativen oder bestimmten Integralen. Quelle: Pixabay.

Lösung für

Wir wenden zuerst Regel 3 an, da der Integrand die Summe zweier Terme ist:

∫ (x + 7) dx = ∫ xdx + ∫7dx

Für das erste Integral gilt die Potenzregel:

∫ dx = (x ² /2) + C ₁

In der zweiten Integralregel wird 1 angewendet, wobei k = 7:

7dx = 7dx = 7x + C ₂

Und jetzt werden die Ergebnisse hinzugefügt. Die beiden Konstanten werden zu einer zusammengefasst, die allgemein als C bezeichnet wird:

∫ (x + 7) dx = (x ² /2) + 7x + C

Lösung b

Durch Linearität wird dieses Integral in drei einfachere Integrale zerlegt, auf die die Potenzregel angewendet wird:

∫ (x ^3/2 + x ² + 6) dx = ∫x ^3/2 dx + ∫x ² dx + ∫6 dx =

Beachten Sie, dass für jedes Integral eine Integrationskonstante angezeigt wird, die sich jedoch in einem einzigen Aufruf C trifft.

Lösung c

In diesem Fall ist es zweckmäßig, die Verteilungseigenschaft der Multiplikation anzuwenden, um den Integranden zu entwickeln. Dann wird die Potenzregel verwendet, um jedes Integral wie in der vorherigen Übung separat zu finden.

∫ (x + 1) (3x-2) dx = ∫ (3x ² -2x + 3x-2) dx = ∫ (3x ² + x-2) dx

Der aufmerksame Leser wird feststellen, dass die beiden zentralen Begriffe ähnlich sind und daher vor der Integration reduziert werden:

∫ (x + 1) (3x-2) dx = ∫3x ² dx + ∫ x dx + ∫-2 dx = x ³ + (1/2) x ² - 2x + C.

Lösung e

Eine Möglichkeit, das Integral zu lösen, besteht darin, die Leistung zu entwickeln, wie dies in Beispiel d getan wurde. Da der Exponent jedoch höher ist, wäre es ratsam, die Variable zu ändern, um keine so lange Entwicklung durchführen zu müssen.

Die Änderung der Variablen ist wie folgt:

u = x + 7

Ableiten dieses Ausdrucks an beide Seiten:

du = dx

Das Integral wird mit der neuen Variablen in ein einfacheres umgewandelt, das mit der Potenzregel gelöst wird:

X (x + 7) ⁵ dx = ∫ u ⁵ du = (1/6) u ⁶ + C.

Schließlich wird die Änderung zurückgegeben, um zur ursprünglichen Variablen zurückzukehren:

∫ (x + 7) ⁵ dx = (1/6) (x + 7) ⁶ + C.

- Übung 2

Ein Partikel befindet sich zunächst in Ruhe und bewegt sich entlang der x-Achse. Seine Beschleunigung für t> 0 ist gegeben durch die Funktion a (t) = cos t. Es ist bekannt, dass bei t = 0 die Position x = 3 ist, alle in Einheiten des Internationalen Systems. Es wird gebeten, die Geschwindigkeit v (t) und die Position x (t) des Teilchens zu finden.

Lösung

Da die Beschleunigung die erste Ableitung der Geschwindigkeit in Bezug auf die Zeit ist, haben wir die folgende Differentialgleichung:

a (t) = v´ (t) = cos t

Es folgt dem:

v (t) = ∫ cos t dt = sin t + C ₁

Andererseits wissen wir, dass die Geschwindigkeit wiederum die Ableitung der Position ist, deshalb integrieren wir uns wieder:

x (t) = ∫ v (t) dt = ∫ (sin t + C ₁ ) dt = ∫sen t dt + ∫C ₁ dt = - cos t + C ₁ t + C ₂

Die Integrationskonstanten werden aus den Angaben in der Anweisung bestimmt. Erstens heißt es, dass sich das Teilchen anfangs in Ruhe befand, daher ist v (0) = 0:

v (0) = sin 0 + C ₁ = 0

C ₁ = 0

Dann haben wir x (0) = 3:

x (0) = - cos 0 + C ₁ 0 + C ₂ = - 1 + C ₂ = 3 → C ₂ = 3 + 1 = 4

Die Geschwindigkeits- und Positionsfunktionen sind definitiv so:

v (t) = sin t

x (t) = - cos t + 4

Verweise

1. Engler, A. 2019. Integralrechnung. Nationale Universität des Litoral.
2. Larson, R. 2010. Berechnung einer Variablen. 9 .. Auflage. McGraw Hill.
3. Mathematik Freie Texte. Antiderivative. Wiederhergestellt von: math.liibretexts.org.
4. Wikipedia. Antiderivativ. Wiederhergestellt von: en.wikipedia.org.
5. Wikipedia. Unbestimmte Integration. Wiederhergestellt von: es.wikipedia.org.