4 FACTORING-ÜBUNGEN MIT LÖSUNGEN - MATHE - 2025

Die Übungsfaktorisierung hilft beim Verständnis dieser Technik, die in der Mathematik häufig verwendet wird und dabei ist, eine Summe als Produkt bestimmter Begriffe zu schreiben.

Das Wort Faktorisierung bezieht sich auf Faktoren, bei denen es sich um Begriffe handelt, die andere Begriffe multiplizieren. Beispielsweise werden bei der Primfaktorisierung einer natürlichen Zahl die beteiligten Primzahlen als Faktoren bezeichnet.

Das heißt, 14 kann als 2 * 7 geschrieben werden. In diesem Fall sind die Primfaktoren von 14 2 und 7. Gleiches gilt für Polynome realer Variablen.

Das heißt, wenn Sie ein Polynom P (x) haben, besteht das Faktorisieren des Polynoms darin, P (x) als Produkt anderer Polynome mit einem Grad zu schreiben, der kleiner als der Grad von P (x) ist.

Factoring

Verschiedene Techniken werden verwendet, um ein Polynom zu faktorisieren, einschließlich bemerkenswerter Produkte und der Berechnung der Wurzeln des Polynoms.

Wenn wir ein Polynom zweiten Grades P (x) haben und x1 und x2 die realen Wurzeln von P (x) sind, kann P (x) als "a (x-x1) (x-x2)" berücksichtigt werden. Dabei ist "a" der Koeffizient, der die quadratische Potenz begleitet.

Wie werden die Wurzeln berechnet?

Wenn das Polynom Grad 2 hat, können die Wurzeln mit der Formel "das Lösungsmittel" berechnet werden.

Wenn das Polynom Grad 3 oder mehr hat, wird normalerweise die Ruffini-Methode verwendet, um die Wurzeln zu berechnen.

4 Factoring-Übungen

Erste Übung

Berücksichtigen Sie das folgende Polynom: P (x) = x²-1.

Lösung

Es ist nicht immer notwendig, das Lösungsmittel zu verwenden. In diesem Beispiel können Sie ein bemerkenswertes Produkt verwenden.

Wenn wir das Polynom wie folgt umschreiben, können wir sehen, welches bemerkenswerte Produkt verwendet werden soll: P (x) = x² - 1².

Unter Verwendung des bemerkenswerten Produkts 1, der Differenz der Quadrate, haben wir, dass das Polynom P (x) wie folgt berücksichtigt werden kann: P (x) = (x + 1) (x-1).

Dies zeigt weiter an, dass die Wurzeln von P (x) x1 = -1 und x2 = 1 sind.

Zweite Übung

Berücksichtigen Sie das folgende Polynom: Q (x) = x³ - 8.

Lösung

Es gibt ein bemerkenswertes Produkt, das Folgendes sagt: a³-b³ = (ab) (a² + ab + b²).

In diesem Wissen kann das Polynom Q (x) wie folgt umgeschrieben werden: Q (x) = x³-8 = x³ - 2³.

Unter Verwendung des beschriebenen bemerkenswerten Produkts haben wir nun, dass die Faktorisierung des Polynoms Q (x) Q (x) = x³-2³ = (x-2) (x² + 2x + 2²) = (x-2) (x² +) ist 2x + 4).

Das quadratische Polynom, das im vorherigen Schritt entstanden ist, muss noch faktorisiert werden. Aber wenn Sie es sich ansehen, kann Remarkable Product # 2 helfen; Daher ist die endgültige Faktorisierung von Q (x) gegeben durch Q (x) = (x-2) (x + 2) ².

Dies besagt, dass eine Wurzel von Q (x) x1 = 2 ist und dass x2 = x3 = 2 die andere Wurzel von Q (x) ist, die wiederholt wird.

Dritte Übung

Faktor R (x) = x² - x - 6.

Lösung

Wenn ein bemerkenswertes Produkt nicht nachgewiesen werden kann oder die erforderliche Erfahrung zur Manipulation des Ausdrucks nicht verfügbar ist, fahren wir mit der Verwendung des Lösungsmittels fort. Die Werte sind wie folgt: a = 1, b = -1 und c = -6.

Wenn Sie sie in die Formel einsetzen, erhalten Sie x = (-1 ± √ ((- 1) ² - 4 * 1 * (- 6))) / 2 * 1 = (-1 ± √25) / 2 = (-1 ± 5) )/zwei.

Von hier aus gibt es zwei Lösungen:

x1 = (-1 + 5) / 2 = 2

x2 = (-1-5) / 2 = -3.

Daher kann das Polynom R (x) als R (x) = (x-2) (x - (- 3)) = (x-2) (x + 3) berücksichtigt werden.

Vierte Übung

Faktor H (x) = x³ - x² - 2x.

Lösung

In dieser Übung können wir mit dem gemeinsamen Faktor x beginnen und erhalten, dass H (x) = x (x²-x-2).

Daher bleibt nur das quadratische Polynom zu faktorisieren. Wenn wir das Lösungsmittel wieder verwenden, haben wir folgende Wurzeln:

x = (-1 ± √ ((-1) ²-4 * 1 * (- 2)) / 2 * 1 = (-1 ± √9) / 2 = (-1 ± 3) / 2.

Daher sind die Wurzeln des quadratischen Polynoms x1 = 1 und x2 = -2.

Zusammenfassend ist die Faktorisierung des Polynoms H (x) gegeben durch H (x) = x (x-1) (x + 2).

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