GLEICHZEITIGE VEKTOREN: EIGENSCHAFTEN, BEISPIELE UND ÜBUNGEN - MATHE - 2025

Die gleichzeitigen Vektoren sind Vektorgruppen, deren Achsen an einem Punkt zusammenfallen und zwischen jedem Paar von inneren und äußeren anderen Winkeln bilden. Ein klares Beispiel ist in der folgenden Abbildung zu sehen, in der A, B und C gleichzeitig Vektoren sind.

D und E sind im Gegensatz zu den anderen nicht. Zwischen den gleichzeitigen Vektoren AB, AC und CB sind Winkel gebildet. Sie werden Beziehungswinkel zwischen den Vektoren genannt.

Eigenschaften

- Sie haben einen gemeinsamen Punkt, der mit ihrem Ursprung übereinstimmt: Alle Größen der gleichzeitigen Vektoren beginnen von einem gemeinsamen Punkt bis zu ihren jeweiligen Enden.

-Der Ursprung wird als Aktionspunkt des Vektors betrachtet: Es muss ein Aktionspunkt festgelegt werden, der von jedem der gleichzeitigen Vektoren direkt beeinflusst wird.

-Ihre Domäne in der Ebene und im Raum ist R ² bzw. R ³ : Die gleichzeitigen Vektoren können den gesamten geometrischen Raum abdecken.

- Ermöglicht unterschiedliche Notationen in derselben Gruppe von Vektoren. Entsprechend den Studienzweigen sind bei Operationen mit Vektoren unterschiedliche Notationen vorhanden.

Arten von Vektoren

Der Zweig der Vektoren hat mehrere Unterteilungen, von denen einige benannt werden können: parallel, senkrecht, koplanar, entsprechend, entgegengesetzt und einheitlich. Gleichzeitige Vektoren sind hier aufgelistet und haben wie alle oben genannten viele Anwendungen in verschiedenen Wissenschaften.

Sie sind sehr häufig bei der Untersuchung von Vektoren, da sie eine nützliche Verallgemeinerung bei den Operationen mit ihnen darstellen. Sowohl in der Ebene als auch im Raum werden gleichzeitig gleichzeitige Vektoren verwendet, um verschiedene Elemente darzustellen und ihren Einfluss auf ein bestimmtes System zu untersuchen.

Vektornotation

Es gibt verschiedene Möglichkeiten, ein Vektorelement darzustellen. Die wichtigsten und bekanntesten sind:

Kartesisch

Nach demselben mathematischen Ansatz werden die Vektoren mit einem Tripel bezeichnet, das den Größen jeder Achse (x, y, z) entspricht.

A: (1, 1, -1) Raum A: (1, 1) Ebene

Polar

Sie dienen nur zur Bezeichnung von Vektoren in der Ebene, obwohl ihr in der Integralrechnung die Tiefenkomponente zugeordnet ist. Es besteht aus einer linearen Größe r und einem Winkel zur Polarachse Ɵ.

A: (3, 45 ⁰ ) Ebene A: (2, 45 ⁰ , 3) Raum

Analytisch

Sie definieren die Größen des Vektors anhand der Versoren. Die Versoren (i + j + k) repräsentieren die Einheitsvektoren, die den Achsen X, Y und entsprechen

A: 3i + 2j - 3k

Sphärisch

Sie ähneln der polaren Notation, fügen jedoch einen zweiten Winkel hinzu, der über die durch δ symbolisierte xy- Ebene verläuft .

A: (4, 60 ^oder π / 4)

Gleichzeitige Vektoroperationen

Gleichzeitige Vektoren werden meistens zum Definieren von Operationen zwischen Vektoren verwendet, da es einfacher ist, die Elemente von Vektoren zu vergleichen, wenn sie gleichzeitig dargestellt werden.

Summe (A + B)

Die Summe der gleichzeitigen Vektoren zielt darauf ab, den resultierenden Vektor V _{r zu finden} . Was laut Studienzweig einer endgültigen Maßnahme entspricht

Beispiel: 3 Zeichenfolgen {A, B, C} sind an eine Box gebunden, wobei jedes Ende der Zeichenfolge von einem Betreff gehalten wird. Jeder der 3 Probanden muss das Seil in eine andere Richtung ziehen als die anderen 2.

A: (ax, ay, az) B: (bx, by, bz) C: (cx, cy, cz)

A + B + C = (ax + bx + cx; ay + by + cy; az + bz + cz) = V _r

Die Box kann sich nur in eine Richtung bewegen, daher gibt V _r die Richtung und Richtung der Bewegung der Box an.

Unterschied (A - B)

Es gibt viele Kriterien bezüglich des Unterschieds zwischen Vektoren, viele Autoren schließen ihn aus und geben an, dass nur die Summe zwischen Vektoren festgelegt ist, wobei der Unterschied ungefähr die Summe des entgegengesetzten Vektors ist. Die Wahrheit ist, dass Vektoren algebraisch subtrahiert werden können.

A: (ax, ay, az) B: (bx, by, bz)

A - B = A + (-B) = (ax-bx; ay-by; az-bz) =

Skalarprodukt (A. B)

Es wird auch als Punktprodukt bezeichnet und erzeugt einen Skalarwert, der je nach Studienzweig mit verschiedenen Größen in Beziehung gesetzt werden kann.

Geben Sie für die Geometrie den Bereich des Parallelogramms an, der durch das Paar gleichzeitiger Vektoren durch die Parallelogrammmethode gebildet wird. Für die mechanische Physik definiert es die Arbeit einer Kraft F, wenn ein Körper um eine Strecke Δr bewegt wird.

ѡ = F . Δr

Wie der Name schon sagt, generiert es einen Skalarwert und ist wie folgt definiert:

Die Vektoren A und B seien

A: (ax, ay, az) B: (bx, by, bz)

-Analytische Form:

(A. B) = -A -.- B-.Cos θ

Wobei θ der Innenwinkel zwischen beiden Vektoren ist

-Algebraische Form:

(A. B) = (ax.bx + ay.by + az.bz)

Kreuzprodukt (A x B)

Das Vektorprodukt oder Punktprodukt zwischen zwei Vektoren definiert einen dritten Vektor C mit der Qualität, senkrecht zu B und C zu sein . In der Physik ist der Drehmomentvektor τ das Basiselement der Rotationsdynamik.

-Analytische Form:

- A x B - = -A -.- B-.Sen θ

-Algebraische Form:

(A x B) = = (ax. By - ay. Bx) - (ax. Bz - az. Bx) j + (ax. By - ay. Bx) k

-Relative Bewegung: r _{A / B.}

Die Basis der Relativitätstheorie ist die Relativbewegung, und gleichzeitige Vektoren sind die Basis der Relativbewegung. Relative Positionen, Geschwindigkeiten und Beschleunigungen können durch Anwendung der folgenden Reihenfolge von Ideen abgeleitet werden.

r _{A / B} = r _A - r _B ; Relative Position von A zu B.

v _{A / B} = v _A - v _B ; Relativgeschwindigkeit von A zu B.

a _{A / B} = a _A - a _B ; Relative Beschleunigung von A gegenüber B.

Beispiele: gelöste Übungen

Übung 1

A, B und C seien gleichzeitige Vektoren.

A = (-1, 3, 5) B = (3, 5, -2) C = (-4, -2, 1)

-Definieren Sie den resultierenden Vektor V _r = 2A - 3B + C.

2A = (2 (-1), 2 (3), 2 (5)) = (-2, 6, 10)

-3B = (-3 (3), -3 (5), -3 (-2)) = (-9, -15, 6)

V _r = 2A + (-3B) + C = (-2, 6, 10) + (-9, -15, 6) + (-4, -2, 1)

V _r = (;; (10 + 6 + 1))

V _r = (-15, -11, 17)

-Definieren Sie das Punktprodukt (A. C)

(A. C) = (-1, 3, 5). (-4, -2, 1) = (-1) (-4) + 3 (-2) + 5 (1) = 4 - 6 + 5

(A. C) = 3

-Berechnen Sie den Winkel zwischen A und C.

(A. C) = -A -.- C-. Cos θ Wobei θ der kürzeste Winkel zwischen den Vektoren ist

θ = 88,63 ⁰

-Finden Sie einen Vektor senkrecht zu A und B.

Dazu muss das Vektorprodukt zwischen (-1, 3, 5) und (3, 5, -2) definiert werden. Wie zuvor erläutert, wird eine 3 × 3-Matrix konstruiert, bei der die erste Reihe aus den dreifachen Einheitsvektoren (i, j, k) besteht. Dann bestehen die 2. und 3. Reihe aus den zu operierenden Vektoren unter Berücksichtigung der Betriebsreihenfolge.

(A x B) = = i - j + k

(A x B) = (-5 - 9) I - (2 - 15) j + (-5 - 9) k

(A x B) = - 14 I + 13 j - 14 k

Übung 2

Sei V _a und V _b die Geschwindigkeitsvektoren von A bzw. B. Berechnen Sie die Geschwindigkeit von B aus A.

V _a = (3, -1, 5) V _b = (2, 5, -3)

In diesem Fall wird die Relativgeschwindigkeit von B in Bezug auf A V _{B / A} angefordert

V _{B / A} = V _B - V _A.

V _{B / A} = (2, 5, -3) - (3, -1, 5) = (-1, 6, -8)

Dies ist der Geschwindigkeitsvektor von B, gesehen von A. Wo ein neuer Vektor der Geschwindigkeit von B beschrieben wird, der sich auf einen Beobachter bezieht, der bei A positioniert ist und sich mit der Geschwindigkeit von A bewegt.

Vorgeschlagene Übungen

1-Konstruieren Sie 3 Vektoren A, B und C, die gleichzeitig sind und durch eine praktische Übung 3 Operationen zwischen ihnen in Beziehung setzen.

2-Lassen Sie die Vektoren A: (-2, 4, -11), B: (1, -6, 9) und C: (-2, -1, 10). Finden Sie Vektoren senkrecht zu: A und B, C und B, Die Summe A + B + C.

4-Bestimmen Sie 3 Vektoren, die senkrecht zueinander stehen, ohne die Koordinatenachsen zu berücksichtigen.

5-Definieren Sie die Arbeit, die von einer Kraft ausgeführt wird, die einen 5 kg schweren Block vom Boden eines 20 m tiefen Brunnens anhebt.

6-Zeigen Sie algebraisch, dass die Subtraktion von Vektoren gleich der Summe des entgegengesetzten Vektors ist. Begründen Sie Ihre Postulate.

7-Bezeichnen Sie einen Vektor in allen in diesem Artikel entwickelten Notationen. (Kartesisch, polar, analytisch und sphärisch).

8-Die Magnetkräfte, die auf einen Magneten ausgeübt werden, der auf einem Tisch ruht, sind durch die folgenden Vektoren gegeben; V: (5, 3, -2), T: (4, 7, 9), H: (-3, 5, -4). Bestimmen Sie, in welche Richtung sich der Magnet bewegt, wenn alle Magnetkräfte gleichzeitig wirken.

Verweise

1. Euklidische Geometrie und Transformationen. Clayton W. Dodge. Courier Corporation, 1. Januar 2004
2. Wie man Probleme der angewandten Mathematik löst L. Moiseiwitsch. Courier Corporation, 10. April 2013
3. Grundlegende Konzepte der Geometrie. Walter Prenowitz, Meyer Jordan. Rowman & Littlefield, 4. Oktober. 2012
4. Vektoren. Rocío Navarro Lacoba, 7. Juni. 2014
5. Lineare Algebra. Bernard Kolman, David R. Hill. Pearson Education, 2006