SZENENDREIECK: EIGENSCHAFTEN, FORMEL UND FLÄCHEN, BERECHNUNG - MATHE - 2024

Ein Skalenendreieck ist ein Polygon mit drei Seiten, die alle unterschiedliche Maße oder Längen haben. Aus diesem Grund erhält es den Namen Scalen, was auf Latein Klettern bedeutet.

Dreiecke sind Polygone, die als die einfachsten in der Geometrie angesehen werden, da sie aus drei Seiten, drei Winkeln und drei Eckpunkten bestehen. Im Fall des Skalenendreiecks bedeutet dies, dass alle drei Seiten unterschiedlich sind, wenn alle Seiten unterschiedlich sind.

Eigenschaften von Skalenendreiecken

Skalendreiecke sind einfache Polygone, da im Gegensatz zu gleichschenkligen und gleichseitigen Dreiecken keine ihrer Seiten oder Winkel das gleiche Maß haben.

Da alle Seiten und Winkel unterschiedliche Maße haben, werden diese Dreiecke als unregelmäßige konvexe Polygone betrachtet.

Basierend auf der Amplitude der Innenwinkel werden Skalenendreiecke klassifiziert als:

• Skaliertes rechtwinkliges Dreieck : Alle Seiten sind unterschiedlich. Einer seiner Winkel ist richtig (90 ^oder ) und die anderen sind scharf und mit unterschiedlichen Maßen.
• Stumpfes Skalenendreieck : Alle Seiten sind unterschiedlich und einer seiner Winkel ist stumpf (> 90 ^oder ).
• Akutes Dreieck der Szene : Alle Seiten sind unterschiedlich. Alle Winkel sind spitz (<90 ^oder ) mit unterschiedlichen Maßen.

Ein weiteres Merkmal von Skalenendreiecken ist, dass sie aufgrund der Inkongruenz ihrer Seiten und Winkel keine Symmetrieachse haben.

Komponenten

Der Median : Es ist eine Linie, die vom Mittelpunkt einer Seite beginnt und den gegenüberliegenden Scheitelpunkt erreicht. Die drei Mediane treffen sich an einem Punkt, der als Schwerpunkt oder Schwerpunkt bezeichnet wird.

Die Halbierende : Es ist ein Strahl, der jeden Winkel in zwei gleich große Winkel teilt. Die Winkelhalbierenden eines Dreiecks treffen sich an einem Punkt, der als Incenter bezeichnet wird.

Die Halbierende : Es ist ein Segment senkrecht zur Seite des Dreiecks, dessen Ursprung in der Mitte liegt. Es gibt drei Winkelhalbierende in einem Dreieck, die sich an einem Punkt treffen, der als Umkreiszentrum bezeichnet wird.

Die Höhe : Es ist die Linie, die vom Scheitelpunkt zur gegenüberliegenden Seite verläuft, und auch diese Linie verläuft senkrecht zu dieser Seite. Alle Dreiecke haben drei Höhen, die an einem Punkt zusammenfallen, der als Orthozentrum bezeichnet wird.

Eigenschaften

Szenendreiecke werden definiert oder identifiziert, weil sie mehrere Eigenschaften haben, die sie darstellen und aus den von großen Mathematikern vorgeschlagenen Theoremen stammen. Sie sind:

Innenwinkel

Die Summe der Innenwinkel beträgt immer 180 ^° .

Summe der Seiten

Die Summe der Maße zweier Seiten muss immer größer sein als das Maß der dritten Seite, a + b> c.

Unpassende Seiten

Alle Seiten von Skalenendreiecken haben unterschiedliche Maße oder Längen. das heißt, sie sind unpassend.

Inkongruente Winkel

Da alle Seiten des Skalenendreiecks unterschiedlich sind, sind auch seine Winkel unterschiedlich. Die Summe der Innenwinkel ist jedoch immer gleich 180 °, und in einigen Fällen kann einer seiner Winkel stumpf oder richtig sein, während in anderen Fällen alle Winkel spitz sind.

Höhe, Median, Halbierende und Halbierende fallen nicht zusammen

Wie jedes Dreieck hat Skalen verschiedene Liniensegmente, aus denen es besteht, wie z. B. Höhe, Median, Halbierende und Halbierende.

Aufgrund der Besonderheit seiner Seiten fällt bei dieser Art von Dreieck keine dieser Linien in einer zusammen.

Orthocenter, Barycenter, Incenter und Circumcenter fallen nicht zusammen

Da Höhe, Median, Winkelhalbierende und Winkelhalbierende durch unterschiedliche Liniensegmente dargestellt werden, befinden sich in einem Skalenendreieck die Treffpunkte - das Orthozentrum, das Incenter und das Circumcenter - an verschiedenen Punkten (sie fallen nicht zusammen).

Je nachdem, ob das Dreieck spitz, rechts oder skaliert ist, hat das Orthozentrum unterschiedliche Positionen:

zu. Wenn das Dreieck spitz ist, befindet sich das Orthozentrum innerhalb des Dreiecks.

b. Wenn das Dreieck richtig ist, fällt das Orthozentrum mit dem Scheitelpunkt der rechten Seite zusammen.

c. Wenn das Dreieck stumpf ist, befindet sich das Orthozentrum außerhalb des Dreiecks.

Relative Höhen

Die Höhen sind relativ zu den Seiten.

Im Fall des Skalenendreiecks haben diese Höhen unterschiedliche Maße. Jedes Dreieck hat drei relative Höhen und Herons Formel wird verwendet, um sie zu berechnen.

Wie berechnet man den Umfang?

Der Umfang eines Polygons wird durch Hinzufügen der Seiten berechnet.

Da in diesem Fall das Skalenendreieck alle Seiten mit unterschiedlichen Maßen hat, beträgt sein Umfang:

P = Seite a + Seite b + Seite c.

Wie berechnet man die Fläche?

Die Fläche der Dreiecke wird immer mit derselben Formel berechnet, wobei die Basis mal Höhe multipliziert und durch zwei geteilt wird:

Fläche = (Basis _* h) ÷ 2

In einigen Fällen ist die Höhe des Skalenendreiecks nicht bekannt, aber es gibt eine Formel, die vom Mathematiker Herón vorgeschlagen wurde, um die Fläche zu berechnen, die das Maß der drei Seiten eines Dreiecks kennt.

Wo:

• a, b und c repräsentieren die Seiten des Dreiecks.
• sp entspricht dem Semiperimeter des Dreiecks, dh der Hälfte des Umfangs:

sp = (a + b + c) ÷ 2

Für den Fall, dass wir nur das Maß von zwei Seiten des Dreiecks und den zwischen ihnen gebildeten Winkel haben, kann die Fläche durch Anwenden der trigonometrischen Verhältnisse berechnet werden. Also musst du:

Fläche = (Seite _* h) ÷ 2

Wobei die Höhe (h) das Produkt einer Seite und der Sinus des entgegengesetzten Winkels ist. Zum Beispiel ist für jede Seite der Bereich:

• Fläche = (b _* c _* sin A) ÷ 2
• Fläche = (a _* c _* sin B) ÷ 2.
• Fläche = (a _* b _* sin C) ÷ 2

Wie berechnet man die Höhe?

Da alle Seiten des Skalenendreiecks unterschiedlich sind, ist es nicht möglich, die Höhe mit dem Satz von Pythagoras zu berechnen.

Aus der Heron-Formel, die auf den Messungen der drei Seiten eines Dreiecks basiert, kann die Fläche berechnet werden.

Die Höhe kann aus der allgemeinen Formel des Bereichs gelöscht werden:

Die Seite wird durch das Maß der Seite a, b oder c ersetzt.

Eine andere Möglichkeit, die Höhe zu berechnen, wenn der Wert eines der Winkel bekannt ist, besteht darin, die trigonometrischen Verhältnisse anzuwenden, wobei die Höhe einen Schenkel des Dreiecks darstellt.

Wenn beispielsweise der Winkel gegenüber der Höhe bekannt ist, wird er durch den Sinus bestimmt:

Wie berechnet man die Seiten?

Wenn Sie das Maß zweier Seiten und den ihnen gegenüberliegenden Winkel haben, ist es möglich, die dritte Seite durch Anwendung des Kosinussatzes zu bestimmen.

Beispielsweise ist in einem Dreieck AB die Höhe relativ zum Segment AC aufgetragen. Auf diese Weise wird das Dreieck in zwei rechtwinklige Dreiecke unterteilt.

Um Seite c (Segment AB) zu berechnen, wenden Sie den Satz von Pythagoras für jedes Dreieck an:

• Für das blaue Dreieck haben wir:

c ² = h ² + m ²

Da m = b - n ist, ersetzen wir:

c ² = h ² + b ² (b - n) ²

c ² = h ² + b ² - ² Mrd. + n ² .

• Für das rosa Dreieck müssen Sie:

h ² = a ² - n ²

Es wird in der vorherigen Gleichung ersetzt:

c ² = a ² - n ² + b ² - ² Mrd. + n ²

c ² = a ² + b ² - ² Mrd.

In dem Wissen, dass n = a _* cos C ist, wird es in der vorherigen Gleichung eingesetzt und der Wert von Seite c wird erhalten:

c ² = a ² + b ² - 2b _* a _* cos C.

Nach dem Kosinusgesetz können die Seiten wie folgt berechnet werden:

• a ² = b ² + c ² - 2b _* c _* cos A.
• b ² = a ² + c ² - 2a _* c _* cos B.
• c ² = a ² + b ² - 2b _* a _* cos C.

Es gibt Fälle, in denen die Maße der Seiten des Dreiecks nicht bekannt sind, sondern deren Höhe und die an den Eckpunkten gebildeten Winkel. Um die Fläche in diesen Fällen zu bestimmen, müssen die trigonometrischen Verhältnisse angewendet werden.

Wenn man den Winkel eines seiner Eckpunkte kennt, werden die Beine identifiziert und das entsprechende trigonometrische Verhältnis verwendet:

Zum Beispiel ist das Bein AB für Winkel C entgegengesetzt, aber benachbart zu Winkel A. Abhängig von der Seite oder dem Bein, die der Höhe entsprechen, wird die andere Seite gelöscht, um den Wert davon zu erhalten.

Übungen

Erste Übung

Berechnen Sie die Fläche und Höhe des Skalenendreiecks ABC, wobei Sie wissen, dass seine Seiten:

a = 8 cm.

b = 12 cm.

c = 16 cm.

Lösung

Als Daten sind die Messungen der drei Seiten des Skalenendreiecks angegeben.

Da der Höhenwert nicht verfügbar ist, kann die Fläche durch Anwendung der Heron-Formel bestimmt werden.

Zuerst wird das Semiperimeter berechnet:

sp = (a + b + c) ÷ 2

sp = (8 cm + 12 cm + 16 cm) ≤ 2

sp = 36 cm ≤ 2

sp = 18 cm.

Jetzt werden die Werte in Herons Formel ersetzt:

Bei Kenntnis der Fläche kann die Höhe relativ zur Seite b berechnet werden. Aus der allgemeinen Formel, die es löscht, haben wir:

Fläche = (Seite _* h) ÷ 2

46, 47 cm ² = (12 cm _* h) ≤ 2

h = (2 _* 46,47 cm ² ) ÷ 12 cm

h = 92,94 cm ² · 12 cm

h = 7,75 cm.

Zweite Übung

Angesichts des Skalenendreiecks ABC, dessen Maße sind:

• Segment AB = 25 m.
• Segment BC = 15 m.

Am Scheitelpunkt B wird ein Winkel von 50º gebildet. Berechnen Sie die Höhe relativ zu Seite c, Umfang und Fläche dieses Dreiecks.

Lösung

In diesem Fall haben wir die Maße von zwei Seiten. Um die Höhe zu bestimmen, muss das Maß der dritten Seite berechnet werden.

Da der Winkel gegenüber den gegebenen Seiten angegeben ist, ist es möglich, das Kosinusgesetz anzuwenden, um das Maß der Seite AC (b) zu bestimmen:

b ² = a ² + c ² - 2a _* c _* cos B.

Wo:

a = BC = 15 m.

c = AB = 25 m.

b = AC.

B = 50 ^o .

Die Daten werden ersetzt:

b ² = (15) ² + (25) ² - 2 _* (15) _* (25) _* cos 50

b ² = (225) + (625) - (750) _* 0,6427

b ² = (225) + (625) - (482,025)

b ² = 367.985

b = 367.985

b = 19,18 m.

Da wir bereits den Wert der drei Seiten haben, wird der Umfang dieses Dreiecks berechnet:

P = Seite a + Seite b + Seite c

P = 15 m + 25 m + 19, 18 m

P = 59,18 m

Jetzt ist es möglich, die Fläche durch Anwendung der Heron-Formel zu bestimmen, aber zuerst muss das Semiperimeter berechnet werden:

sp = P ÷ 2

sp = 59,18 m ≤ 2

sp = 29,59 m.

Die Maße der Seiten und des Semiperimeters werden in Herons Formel ersetzt:

Wenn man schließlich die Fläche kennt, kann die Höhe relativ zur Seite c berechnet werden. Nach dem Löschen der allgemeinen Formel müssen Sie:

Fläche = (Seite _* h) ÷ 2

143,63 m ² = (25 m _* h) ≤ 2

h = (2 _* 143,63 m ² ) ÷ 25 m

h = 287,3 m ² · 25 m

h = 11,5 m.

Dritte Übung

In dem Skalenendreieck ABC beträgt die Seite b 40 cm, die Seite c 22 cm und an der Spitze A wird ein Winkel 90 gebildet ^oder . Berechnen Sie die Fläche dieses Dreiecks.

Lösung

In diesem Fall sind die Maße von zwei Seiten des Skalenendreiecks ABC sowie der Winkel angegeben, der am Scheitelpunkt A gebildet wird.

Um die Fläche zu bestimmen, ist es nicht erforderlich, das Maß der Seite a zu berechnen, da durch die trigonometrischen Verhältnisse der Winkel verwendet wird, um es zu finden.

Da der der Höhe entgegengesetzte Winkel bekannt ist, wird er durch das Produkt einer Seite und den Sinus des Winkels bestimmt.

Einsetzen in die Flächenformel, die wir haben:

• Fläche = (Seite _* h) ÷ 2
• h = c _* sin A.

Fläche = (b _* c _* sin A) ÷ 2

Fläche = (40 cm _* 22 cm _* sin 90) ÷ 2

Fläche = (40 cm _* 22 cm _* 1) ÷ 2

Fläche = 880 cm ² ÷ 2

Fläche = 440 cm ² .

Verweise

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