SCALENE TRAPEZ: EIGENSCHAFTEN, FORMELN UND GLEICHUNGEN, BEISPIELE - MATHE - 2025

Ein Skalen-Trapez ist ein Polygon mit vier Seiten, von denen zwei parallel zueinander sind, und mit seinen vier Innenwinkeln unterschiedlicher Maße.

Das viereckige ABCD ist unten gezeigt, wobei die Seiten AB und DC parallel zueinander sind. Dies reicht aus, um ein Trapez zu sein, aber auch die Innenwinkel α, β, γ und δ sind alle unterschiedlich, daher ist das Trapez Skalen.

Abbildung 1. Viereckiges ABCD ist gemäß Bedingung 1 trapezförmig und gemäß Bedingung 2 skalene. Quelle: F. Zapata.

Elemente des Skalen-Trapezes

Hier sind die charakteristischsten Elemente:

-Basen und Seiten: Die parallelen Seiten des Trapezes sind seine Basen und die beiden nicht parallelen Seiten sind die Seiten.

In einem Skalen-Trapez sind die Basen unterschiedlich lang und die lateralen ebenfalls unterschiedlich. Ein Skalen-Trapez kann jedoch eine laterale Länge haben, die einer Basis entspricht.

-Median: ist das Segment, das die Mittelpunkte der lateralen verbindet.

-Diagonale: Die Diagonale eines Trapezes ist das Segment, das zwei gegenüberliegende Eckpunkte verbindet. Ein Trapez hat wie jedes Viereck zwei Diagonalen. Im Skalen-Trapez sind sie unterschiedlich lang.

Andere Trapezoide

Neben dem Skalen-Trapez gibt es noch andere besondere Trapezoide: das rechte Trapez und das gleichschenklige Trapez.

Ein Trapez ist ein Rechteck, wenn einer seiner Winkel richtig ist, während die Seiten eines gleichschenkligen Trapezes gleich lang sind.

Die Trapezform hat zahlreiche Anwendungen auf Design- und Branchenebene, beispielsweise bei der Konfiguration von Flugzeugflügeln, der Form von Alltagsgegenständen wie Tischen, Rückenlehnen, Verpackungen, Geldbörsen, Textildrucken und vielem mehr.

Abbildung 2. Die Trapezform ist in der Flügelkonfiguration von Flugzeugen üblich. Quelle: Wikimedia Commons.

Eigenschaften

Die Eigenschaften des Skalen-Trapezes sind nachstehend aufgeführt, von denen sich viele auf die anderen Arten von Trapez erstrecken. Wenn im Folgenden von "Trapez" gesprochen wird, gilt die Eigenschaft für jeden Typ, einschließlich Skalen.

1. Der Median des Trapezes, dh das Segment, das die Mittelpunkte seiner nicht parallelen Seiten verbindet, ist parallel zu einer der Basen.

2.- Der Median eines Trapezes hat eine Länge, die die Halbsumme seiner Basen ist, und schneidet seine Diagonalen in der Mitte.

3.- Die Diagonalen eines Trapezes schneiden sich an einem Punkt, der sie in zwei Abschnitte unterteilt, die proportional zu den Quotienten der Basen sind.

4.- Die Summe der Quadrate der Diagonalen eines Trapezes entspricht der Summe der Quadrate seiner Seiten plus dem Doppelprodukt seiner Basen.

5.- Das Segment, das die Mittelpunkte der Diagonalen verbindet, hat eine Länge, die der halben Differenz der Basen entspricht.

6.- Die Winkel neben den seitlichen sind ergänzend.

7.- In einem Skalen-Trapez sind die Längen seiner Diagonalen unterschiedlich.

8.- Ein Trapez hat nur dann einen beschrifteten Umfang, wenn die Summe seiner Basen gleich der Summe seiner Seiten ist.

9.- Wenn ein Trapez einen eingeschriebenen Umfang hat, ist der Winkel mit dem Scheitelpunkt in der Mitte des Umfangs und den Seiten, die durch die Enden der Seite des Trapezes verlaufen, gerade.

10.- Ein Skalen-Trapez hat keinen umschriebenen Umfang. Die einzige Art von Trapez, die dies tut, sind gleichschenklige.

Formeln und Gleichungen

Die folgenden Beziehungen des Skalen-Trapezes beziehen sich auf die folgende Abbildung.

1.- Wenn AE = ED und BF = FC → EF - AB und EF - DC.

2. EF = (AB + DC) / 2, dh: m = (a + c) / 2.

3. DI = IB = d ₁ /2 und AG = GC = d ₂ /2 ist .

4. DJ / JB = (c / a) ähnlich CJ / JA = (c / a).

Abbildung 3. Median und Diagonalen eines Skalen-Trapezes. Quelle: F. Zapata.

5.- DB ² + AC ² = AD ² + BC ² + 2 AB ∙ DC

Gleichwertig:

d ₁ ² + d ₂ ² = d ² + b ² + 2 a ∙ c

6.- GI = (AB - DC) / 2

Das heißt:

n = (a - c) / 2

7.- α + δ = 180⁰ und β + γ = 180⁰

8.- Wenn α ≠ β ≠ γ ≠ δ, dann ist d1 ≠ d2.

9.- Abbildung 4 zeigt ein Skalen-Trapez mit einem beschrifteten Umfang. In diesem Fall gilt Folgendes:

a + c = d + b

10.- In einem Skalen-Trapez ABCD mit einem eingeschriebenen Umfang des Zentrums O gilt auch Folgendes:

"AOD =" BOC = 90 "

Abbildung 4. Wenn in einem Trapez überprüft wird, dass die Summe seiner Basen gleich der Summe der lateralen Basen ist, ist der Umfang darin eingeschrieben. Quelle: F. Zapata.

Höhe

Die Höhe eines Trapezes ist definiert als das Segment, das von einem Punkt der Basis senkrecht zur gegenüberliegenden Basis (oder ihrer Ausdehnung) verläuft.

Alle Höhen des Trapezes haben das gleiche Maß h, so dass sich das Wort Höhe meistens auf sein Maß bezieht. Kurz gesagt, Höhe ist der Abstand oder die Trennung zwischen den Basen.

Die Höhe h kann bestimmt werden, indem die Länge einer Seite und einer der an die Seite angrenzenden Winkel bekannt sind:

h = d Sen (α) = d Sen (γ) = b Sen (β) = b Sen (δ)

Median

Das Maß m des Medians des Trapezes ist die Halbsumme der Basen:

m = (a + b) / 2

Diagonalen

d ₁ = √

d ₂ = √

Es kann auch berechnet werden, wenn nur die Länge der Seiten des Trapezes bekannt ist:

d ₁ = √

d ₂ = √

Umfang

Der Umfang ist die Gesamtlänge der Kontur, dh die Summe aller Seiten:

P = a + b + c + d

Bereich

Die Fläche eines Trapezes ist das Halbfinale seiner Basen multipliziert mit seiner Höhe:

A = h ∙ (a + b) / 2

Es kann auch berechnet werden, ob der Median m bekannt ist und die Höhe h:

A = m ∙ h

Falls nur die Länge der Seiten des Trapezes bekannt ist, kann die Fläche nach der Heron-Formel für das Trapez bestimmt werden:

A = ∙ √

Wobei s das Semiperimeter ist: s = (a + b + c + d) / 2.

Andere Verhältnisse für das Skalen-Trapez

Der Schnittpunkt des Medians mit den Diagonalen und der Parallele, die durch den Schnittpunkt der Diagonalen verläuft, führt zu anderen Beziehungen.

Figure 5. Andere Beziehungen für das Skalen-Trapez. Quelle: F. Zapata.

-Beziehungen für den Median EF

EF = (a + c) / 2; EG = IF = c / 2; EI = GF = a / 2

-Beziehungen für das Segment parallel zu den Basen KL, und das geht durch den Schnittpunkt J der Diagonalen

Wenn KL - AB - DC mit J ∈ KL ist, dann ist KJ = JL = (a ∙ c) / (a ​​+ c)

Konstruktion des Skalen-Trapezes mit Lineal und Kompass

Gehen Sie bei den Grundlagen der Längen a und c, wobei a> cy mit Seiten der Längen b und d, wobei b> d ist, wie folgt vor (siehe Abbildung 6):

1.- Mit der Regel wird das Segment des Haupt-AB gezeichnet.

2.- Von A se und auf AB Punkt P markieren, so dass AP = c.

3.- Mit dem Kompass mit Mittelpunkt in P und Radius d wird ein Bogen gezeichnet.

4.- Ein Zentrum wird bei B mit dem Radius b hergestellt, indem ein Bogen gezeichnet wird, der den im vorherigen Schritt gezeichneten Bogen schneidet. Wir nennen Q den Schnittpunkt.

Abbildung 6. Aufbau eines Skalen-Trapezes an seinen Seiten. Quelle: F. Zapata.

5.- Zeichnen Sie mit der Mitte bei A einen Bogen mit dem Radius d.

6.- Zeichnen Sie mit der Mitte bei Q einen Bogen mit dem Radius c, der den im vorherigen Schritt gezeichneten Bogen abfängt. Der Grenzwert wird als R bezeichnet.

7.- Die Segmente BQ, QR und RA werden mit dem Lineal gezeichnet.

8.- Viereckiges ABQR ist ein Skalen-Trapez, da APQR ein Parallelogramm ist, das AB - QR garantiert.

Beispiel

Die folgenden Längen sind in cm angegeben: 7, 3, 4 und 6.

a) Bestimmen Sie, ob es mit ihnen möglich ist, ein Skalen-Trapez zu konstruieren, das einen Kreis umschreiben kann.

b) Finden Sie den Umfang, die Fläche, die Länge der Diagonalen und die Höhe des Trapezes sowie den Radius des Beschriftungskreises.

- Lösung für

Unter Verwendung der Segmente der Länge 7 und 3 als Basis und der Segmente der Länge 4 und 6 als Seiten kann ein Skalen-Trapez unter Verwendung des im vorherigen Abschnitt beschriebenen Verfahrens konstruiert werden.

Es bleibt zu prüfen, ob es einen beschrifteten Umfang hat, aber sich an die Eigenschaft zu erinnern (9):

Wir sehen das effektiv:

7 + 3 = 4 + 6 = 10

Dann ist die Existenzbedingung des eingeschriebenen Umfangs erfüllt.

- Lösung b

Umfang

Der Umfang P wird durch Hinzufügen der Seiten erhalten. Da sich die Basen zu 10 addieren und die lateralen auch, beträgt der Umfang:

P = 20 cm

Bereich

Um den Bereich zu bestimmen, der nur seine Seiten kennt, wird die Beziehung angewendet:

A = ∙ √

Wo ist s das Semiperimeter:

s = (a + b + c + d) / 2.

In unserem Fall ist das Semiperimeter s = 10 cm wert. Nach dem Ersetzen der jeweiligen Werte:

a = 7 cm; b = 6 cm; c = 3 cm; d = 4 cm

Überreste:

A = √ = (5/2) √63 = 19,84 cm².

Höhe

Die Höhe h wird durch den folgenden Ausdruck mit der Fläche A in Beziehung gesetzt:

A = (a + c) ∙ h / 2, aus dem die Höhe durch Löschen erhalten werden kann:

h = 2A / (a ​​+ c) = 2 · 19,84 / 10 = 3,988 cm.

Radius des Beschriftungskreises

Der Radius des Beschriftungskreises entspricht der halben Höhe:

r = h / 2 = 1.984 cm

Diagonalen

Schließlich finden wir die Länge der Diagonalen:

d ₁ = √

d ₂ = √

Richtiges Ersetzen der Werte, die wir haben:

d ₁ = √ = √ (36 + 21-7 (20) / 4) = √ (22)

d ₂ = √ = √ (16 + 21-7 (-20) / 4) = √ (72)

Das heißt: d ₁ = 4,69 cm und d ₂ = 8,49 cm

Abbildung 7. Scalene-Trapez, das die Existenzbedingung eines eingeschriebenen Umfangs erfüllt. Quelle: F. Zapata.

Übung gelöst

Bestimmen Sie die Innenwinkel des Trapezes mit den Basen AB = a = 7, CD = c = 3 und den Seitenwinkeln BC = b = 6, DA = d = 4.

Lösung

Der Kosinussatz kann angewendet werden, um die Winkel zu bestimmen. Beispielsweise wird der Winkel ∠A = α aus dem Dreieck ABD mit AB = a = 7, BD = d2 = 8,49 und DA = d = 4 bestimmt.

Der auf dieses Dreieck angewendete Kosinussatz sieht folgendermaßen aus:

d ₂ ² = a ² + d ² - 2 ∙ a ∙ d ∙ Cos (α), dh:

72 = 49 + 16-56 ∙ Cos (α).

Durch Auflösen wird der Kosinus des Winkels α erhalten:

Cos (α) = -1/8

Das heißt, α = ArcCos (-1/8) = 97,18⁰.

Die anderen Winkel werden auf die gleiche Weise erhalten, wobei ihre Werte sind:

β = 41,41⁰; γ = 138,59⁰ und schließlich δ = 82,82⁰.

Verweise

1. CEA (2003). Geometrieelemente: mit Übungen und Kompassgeometrie. Universität von Medellin.
2. Campos, F., Cerecedo, FJ (2014). Mathematik 2. Grupo Editorial Patria.
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7. Miller, Heeren & Hornsby. (2006). Mathematik: Argumentation und Anwendungen (Zehnte Ausgabe). Pearson Ausbildung.
8. Patiño, M. (2006). Mathematik 5. Editorial Progreso.
9. Wikipedia. Trapez. Wiederhergestellt von: es.wikipedia.com