LAPLACE-TRANSFORMATION: DEFINITION, GESCHICHTE UND WOFÜR SIE IST - MATHE - 2025

Die Laplace-Transformation war in den letzten Jahren unter anderem in Ingenieurwissenschaften, Mathematik und Physik von großer Bedeutung. Sie ist von großem Interesse für die Theorie und bietet eine einfache Möglichkeit, Probleme zu lösen, die sich daraus ergeben Wissenschaft und Ingenieurswesen.

Ursprünglich wurde die Laplace-Transformation von Pierre-Simón Laplace in seiner Studie zur Wahrscheinlichkeitstheorie vorgestellt und zunächst als mathematisches Objekt von rein theoretischem Interesse behandelt.

Aktuelle Anwendungen entstehen, wenn verschiedene Mathematiker versuchten, die von Heaviside beim Studium der Gleichungen der elektromagnetischen Theorie verwendeten "Betriebsregeln" formal zu rechtfertigen.

Definition

Sei f eine für t ≥ 0 definierte Funktion. Die Laplace-Transformation ist wie folgt definiert:

Die Laplace-Transformation soll existieren, wenn das vorherige Integral konvergiert, andernfalls soll die Laplace-Transformation nicht existieren.

Im Allgemeinen werden Kleinbuchstaben verwendet, um die zu transformierende Funktion zu bezeichnen, und der Großbuchstabe entspricht seiner Transformation. Auf diese Weise haben wir:

Beispiele

Betrachten Sie die konstante Funktion f (t) = 1. Wir haben ihre Transformation:

Wann immer das Integral konvergiert, dh wann immer s> 0. Andernfalls, s <0, divergiert das Integral.

Sei g (t) = t. Seine Laplace-Transformation ist gegeben durch

Durch die Integration nach Teilen und das Wissen, dass te ^-st gegen 0 tendiert, wenn t gegen unendlich und s> 0 tendiert, haben wir zusammen mit dem vorherigen Beispiel:

Die Transformation kann existieren oder nicht, zum Beispiel für die Funktion f (t) = 1 / t konvergiert das Integral, das seine Laplace-Transformation definiert, nicht und daher existiert seine Transformation nicht.

Ausreichende Bedingungen, um sicherzustellen, dass die Laplace-Transformation einer Funktion f existiert, sind, dass f für t ≥ 0 stückweise stetig ist und eine exponentielle Ordnung aufweist.

Eine Funktion wird für t ≥ 0 als stückweise stetig bezeichnet, wenn für jedes Intervall mit a> 0 eine endliche Anzahl von Punkten t _{k vorliegt,} wobei f Diskontinuitäten aufweist und in jedem Teilintervall stetig ist.

Andererseits wird eine Funktion als exponentiell bezeichnet, wenn es reelle Konstanten M> 0, c und T> 0 gibt, so dass:

Als Beispiele haben wir, dass f (t) = t ² von exponentieller Ordnung ist, da -t ² - <e ^3t für alle t> 0 ist.

In formaler Hinsicht haben wir den folgenden Satz

Satz (ausreichende Existenzbedingungen)

Wenn f eine teilkontinuierliche Funktion für t> 0 und von exponentieller Ordnung c ist, existiert die Laplace-Transformation für s> c.

Es ist wichtig zu betonen, dass dies eine ausreichende Bedingung ist, das heißt, es könnte der Fall sein, dass es eine Funktion gibt, die diese Bedingungen nicht erfüllt, und selbst dann existiert ihre Laplace-Transformation.

Ein Beispiel hierfür ist die Funktion f (t) = t ^-1/2, die für t ≥ 0 nicht ^stückweise stetig ist, sondern deren Laplace-Transformation existiert.

Laplace-Transformation einiger Grundfunktionen

Die folgende Tabelle zeigt die Laplace-Transformationen der häufigsten Funktionen.

Geschichte

Die Laplace-Transformation verdankt ihren Namen Pierre-Simon Laplace, einem französischen Mathematiker und theoretischen Astronomen, der 1749 geboren wurde und 1827 starb. Sein Ruhm war so groß, dass er als Newton von Frankreich bekannt wurde.

1744 widmete Leonard Euler seine Studien Integralen mit der Form

als Lösung gewöhnlicher Differentialgleichungen, aber er gab diese Untersuchung schnell auf. Später untersuchte auch Joseph Louis Lagrange, der Euler sehr bewunderte, diese Arten von Integralen und bezog sie auf die Wahrscheinlichkeitstheorie.

1782, Laplace

1782 begann Laplace, solche Integrale als Lösungen für Differentialgleichungen zu untersuchen, und Historikern zufolge beschloss er 1785, das Problem neu zu formulieren, was später zu den Laplace-Transformationen führte, wie sie heute verstanden werden.

Nachdem es in das Gebiet der Wahrscheinlichkeitstheorie eingeführt worden war, war es für Wissenschaftler zu dieser Zeit von geringem Interesse und wurde nur als mathematisches Objekt von nur theoretischem Interesse angesehen.

Oliver Heaviside

Es war Mitte des neunzehnten Jahrhunderts, als der englische Ingenieur Oliver Heaviside entdeckte, dass Differentialoperatoren als algebraische Variablen behandelt werden können, wodurch Laplace-Transformationen ihre moderne Anwendung erhalten.

Oliver Heaviside war ein englischer Physiker, Elektrotechniker und Mathematiker, der 1850 in London geboren wurde und 1925 starb. Während er versuchte, Differentialgleichungsprobleme zu lösen, die auf die Schwingungstheorie angewendet wurden, und Laplace's Studien verwendete, begann er, das zu formen Moderne Anwendungen von Laplace-Transformationen.

Die von Heaviside präsentierten Ergebnisse verbreiteten sich schnell in der damaligen wissenschaftlichen Gemeinschaft, aber da seine Arbeit nicht streng war, wurde er von den traditionelleren Mathematikern schnell kritisiert.

Die Nützlichkeit von Heavisides Arbeit bei der Lösung von Gleichungen in der Physik machte seine Methoden jedoch bei Physikern und Ingenieuren beliebt.

Trotz dieser Rückschläge und nach einigen Jahrzehnten fehlgeschlagener Versuche konnten zu Beginn des 20. Jahrhunderts die von Heaviside vorgegebenen Betriebsregeln streng begründet werden.

Diese Versuche trugen dank der Bemühungen verschiedener Mathematiker wie Bromwich, Carson und van der Pol Früchte.

Eigenschaften

Unter den Eigenschaften der Laplace-Transformation fallen folgende auf:

Linearität

Sei c1 und c2 Konstanten und f (t) - und g (t) -Funktionen, deren Laplace-Transformationen F (s) bzw. G (s) sind, dann haben wir:

Aufgrund dieser Eigenschaft wird die Laplace-Transformation als linearer Operator bezeichnet.

Beispiel

Erster Übersetzungssatz

Wenn es passiert, dass:

Und 'a' ist eine beliebige reelle Zahl, also:

Beispiel

Da die Laplace-Transformation von cos (2t) = s / (s ^ 2 + 4) ist, dann:

Zweiter Übersetzungssatz

Ja

So

Beispiel

Wenn f (t) = t ^ 3, dann ist F (s) = 6 / s ^ 4. Und deshalb die Transformation von

ist G (s) = 6e - ^2s / s ^ 4

Skalenänderung

Ja

Und 'a' ist ein Real ungleich Null, das müssen wir

Beispiel

Da die Transformation von f (t) = sin (t) F (s) = 1 / (s ^ 2 + 1) ist, haben wir das

Laplace-Transformation von Derivaten

Wenn f, f ', f' ', …, f ⁽ⁿ⁾ für t ≥ 0 stetig und exponentiell sind und f ⁽ⁿ⁾ (t) für t ≥ 0 stückweise stetig ist, dann

Laplace-Transformation von Integralen

Ja

So

Multiplikation mit t

Wenn wir müssen

So

Division durch t

Wenn wir müssen

So

Periodische Funktionen

Sei f eine periodische Funktion mit der Periode T> 0, dh f (t + T) = f (t)

Das Verhalten von F (s) als s neigt zur Unendlichkeit

Wenn f in Teilen stetig und exponentiell ist und

So

Inverse Transformationen

Wenn wir die Laplace-Transformation auf eine Funktion f (t) anwenden, erhalten wir F (s), die diese Transformation darstellt. Ebenso können wir sagen, dass f (t) die inverse Laplace-Transformation von F (s) ist und geschrieben wird als

Wir wissen, dass die Laplace-Transformationen von f (t) = 1 und g (t) = t F (s) = 1 / s bzw. G (s) = 1 / s ² sind, also haben wir das

Einige übliche inverse Laplace-Transformationen sind wie folgt

Darüber hinaus ist die inverse Laplace-Transformation linear, das heißt, es ist wahr, dass

Übung

Finden

Um diese Übung zu lösen, müssen wir die Funktion F (s) mit einer der vorherigen Tabellen abgleichen. In diesem Fall multiplizieren und dividieren wir durch 4, wenn wir + 1 = 5 nehmen und die Linearitätseigenschaft der inversen Transformation verwenden! Bekommen

Für die zweite inverse Transformation wenden wir Teilbrüche an, um die Funktion F (s) und dann die Eigenschaft der Linearität neu zu schreiben und zu erhalten

Wie aus diesen Beispielen ersichtlich ist, stimmt die ausgewertete Funktion F (s) häufig nicht genau mit einer der in der Tabelle angegebenen Funktionen überein. In diesen Fällen reicht es, wie zu sehen ist, aus, die Funktion neu zu schreiben, bis sie die entsprechende Form erreicht.

Anwendungen der Laplace-Transformation

Differentialgleichung

Die Hauptanwendung von Laplace-Transformationen ist die Lösung von Differentialgleichungen.

Unter Verwendung der Eigenschaft der Transformation eines Derivats ist es klar, dass

Y der bei t = 0 bewerteten n-1-Derivate.

Diese Eigenschaft macht die Transformation sehr nützlich zur Lösung von Anfangswertproblemen, bei denen Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten beteiligt sind.

Die folgenden Beispiele zeigen, wie die Laplace-Transformation zum Lösen von Differentialgleichungen verwendet wird.

Beispiel 1

Angesichts des folgenden Anfangswertproblems

Verwenden Sie die Laplace-Transformation, um die Lösung zu finden.

Wir wenden die Laplace-Transformation auf jedes Mitglied der Differentialgleichung an

Durch die Eigenschaft der Transformation eines Derivats haben wir

Indem wir alle Ausdrücke entwickeln und Y (s) löschen, haben wir

Verwenden Sie Teilbrüche, um die rechte Seite der Gleichung neu zu schreiben

Schließlich ist es unser Ziel, eine Funktion y (t) zu finden, die die Differentialgleichung erfüllt. Die Verwendung der inversen Laplace-Transformation liefert das Ergebnis

Beispiel 2

Lösen

Wie im vorherigen Fall wenden wir die Transformation auf beiden Seiten der Gleichung an und trennen Term für Term.

Auf diese Weise haben wir als Ergebnis

Ersetzen durch die angegebenen Anfangswerte und Auflösen nach Y (s)

Mit einfachen Brüchen können wir die Gleichung wie folgt umschreiben

Und die Anwendung der inversen Laplace-Transformation liefert das Ergebnis

In diesen Beispielen könnte man fälschlicherweise den Schluss ziehen, dass diese Methode nicht viel besser ist als herkömmliche Methoden zur Lösung von Differentialgleichungen.

Die Vorteile der Laplace-Transformation bestehen darin, dass Sie keine Parametervariation verwenden oder sich um die verschiedenen Fälle der Methode des unbestimmten Koeffizienten kümmern müssen.

Wenn wir Anfangswertprobleme mit dieser Methode lösen, verwenden wir von Anfang an die Anfangsbedingungen, sodass keine anderen Berechnungen erforderlich sind, um die jeweilige Lösung zu finden.

Differentialgleichungssysteme

Die Laplace-Transformation kann auch verwendet werden, um Lösungen für simultane gewöhnliche Differentialgleichungen zu finden, wie das folgende Beispiel zeigt.

Beispiel

Entschlossenheit

Mit den Anfangsbedingungen ist x (0) = 8 und y (0) = 3.

Wenn wir müssen

So

Das Lösen gibt uns das Ergebnis

Und die inverse Laplace-Transformation anwenden, die wir haben

Mechanik und Stromkreise

Die Laplace-Transformation ist in der Physik von großer Bedeutung, sie hat hauptsächlich Anwendungen für Mechanik und elektrische Schaltkreise.

Ein einfacher Stromkreis besteht aus den folgenden Elementen

Ein Schalter, eine Batterie oder Quelle, eine Induktivität, ein Widerstand und ein Kondensator. Wenn der Schalter geschlossen ist, wird ein elektrischer Strom erzeugt, der mit i (t) bezeichnet wird. Die Ladung am Kondensator wird mit q (t) bezeichnet.

Nach Kirchhoffs zweitem Gesetz muss die von der Quelle E im geschlossenen Stromkreis erzeugte Spannung gleich der Summe jedes Spannungsabfalls sein.

Der elektrische Strom i (t) bezieht sich auf die Ladung q (t) am Kondensator durch i = dq / dt. Andererseits ist der Spannungsabfall in jedem der Elemente wie folgt definiert:

Der Spannungsabfall an einem Widerstand beträgt iR = R (dq / dt)

Der Spannungsabfall an einer Induktivität beträgt L (di / dt) = L (d ² q / dt ² )

Der Spannungsabfall an einem Kondensator beträgt q / C.

Mit diesen Daten und der Anwendung des zweiten Kirchhoffschen Gesetzes auf den einfachen geschlossenen Kreislauf wird eine Differentialgleichung zweiter Ordnung erhalten, die das System beschreibt und es uns ermöglicht, den Wert von q (t) zu bestimmen.

Beispiel

Ein Induktor, ein Kondensator und ein Widerstand sind mit einer Batterie E verbunden, wie in der Figur gezeigt. Der Induktor ist 2 Henry, der Kondensator ist 0,02 Farad und der Widerstand ist 16 Ohm. Zum Zeitpunkt t = 0 ist der Stromkreis geschlossen. Finden Sie die Ladung und den Strom jederzeit t> 0, wenn E = 300 Volt.

Wir haben, dass die Differentialgleichung, die diese Schaltung beschreibt, die folgende ist

Wenn die Anfangsbedingungen q (0) = 0 sind, ist i (0) = 0 = q '(0).

Wenn wir die Laplace-Transformation anwenden, bekommen wir das

Und nach Q (t) auflösen

Dann wenden wir die inverse Laplace-Transformation an, die wir haben

Verweise

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