TESSELLATIONEN: CHARAKTERISTIK, TYPEN (REGELMÄSSIG, UNREGELMÄSSIG), BEISPIELE - MATHE - 2025

Die Fliesen sind beschichtete Oberflächen einer oder mehrerer Figuren, die als Steinchen bezeichnet werden. Sie sind überall: in Straßen und Gebäuden aller Art. Fliesen oder Fliesen sind flache Teile, im Allgemeinen Polygone mit kongruenten oder isometrischen Kopien, die nach einem regelmäßigen Muster platziert werden. Auf diese Weise bleiben keine Räume frei und die Kacheln oder Mosaike überlappen sich nicht.

Wenn ein einzelner Mosaik-Typ verwendet wird, der durch ein reguläres Polygon gebildet wird, gibt es eine reguläre Tessellation. Wenn jedoch zwei oder mehr Arten regulärer Polygone verwendet werden, handelt es sich um eine semi-reguläre Tessellation.

Abbildung 1. Fliesenboden mit unregelmäßiger Tessellation, da die Rechtecke nicht reguläre Polygone sind, obwohl die Quadrate sind. Quelle: Pixabay.

Wenn schließlich die Polygone, die die Tessellation bildet, nicht regelmäßig sind, handelt es sich um eine unregelmäßige Tessellation.

Die häufigste Art der Tessellation ist die durch rechteckige und insbesondere quadratische Mosaike gebildete. In Abbildung 1 haben wir ein gutes Beispiel.

Geschichte der Tessellationen

Tessellation wird seit Tausenden von Jahren verwendet, um Böden und Wände von Palästen und Tempeln verschiedener Kulturen und Religionen zu bedecken.

Zum Beispiel verwendete die sumerische Zivilisation, die um 3500 v. Chr. Südlich von Mesopotamien zwischen dem Euphrat und dem Tigris blühte, Tessellationen in ihrer Architektur.

Abbildung 2. Sumerische Tessellationen am Istar-Tor. Quelle: Wikimedia Commons.

Tessellationen haben auch das Interesse von Mathematikern jeden Alters geweckt: angefangen bei Archimedes im 3. Jahrhundert v. Chr., Gefolgt von Johannes Kepler 1619, Camille Jordan 1880, bis zur Gegenwart mit Roger Penrose.

Penrose erzeugte eine nichtperiodische Tessellation, die als Penrose-Tessellation bekannt ist. Dies sind nur einige Namen von Wissenschaftlern, die viel zur Tessellation beigetragen haben.

Regelmäßige Tessellationen

Regelmäßige Tessellationen werden nur mit einem Typ eines regulären Polygons erstellt. Um die Tessellation als regelmäßig zu betrachten, muss jeder Punkt der Ebene:

- Neben dem Inneren des Polygons

-Oder an den Rand zweier benachbarter Polygone

-Finally kann es zum gemeinsamen Scheitelpunkt von mindestens drei Polygonen gehören.

Mit den obigen Einschränkungen kann gezeigt werden, dass nur gleichseitige Dreiecke, Quadrate und Sechsecke eine regelmäßige Tessellation bilden können.

Nomenklatur

Es gibt eine Nomenklatur für Tessellationen, die darin besteht, im Uhrzeigersinn aufzulisten und durch einen Punkt die Anzahl der Seiten der Polygone zu trennen, die jeden Knoten (oder Scheitelpunkt) der Tessellation umgeben, wobei immer mit dem Polygon mit der niedrigsten Zahl begonnen wird Seiten.

Diese Nomenklatur gilt für regelmäßige und halbregelmäßige Tessellationen.

Beispiel 1: Dreieckige Tessellation

Abbildung 3 zeigt eine regelmäßige dreieckige Tessellation. Es ist zu beachten, dass jeder Knoten der dreieckigen Tessellation der gemeinsame Scheitelpunkt von sechs gleichseitigen Dreiecken ist.

Die Art, diese Art der Tessellation zu bezeichnen, ist 3.3.3.3.3.3, die auch mit 3 ^{6 bezeichnet wird} .

Abbildung 3. Regelmäßige dreieckige Tessellation 3.3.3.3.3.3. Quelle: Wikimedia Commons

Beispiel 2: Quadratische Tessellation

Abbildung 4 zeigt eine regelmäßige Tessellation, die nur aus Quadraten besteht. Es ist zu beachten, dass jeder Knoten in der Tessellation von vier kongruenten Quadraten umgeben ist. Die Notation, die auf diese Art der quadratischen Tessellation angewendet wird, lautet: 4.4.4.4 oder alternativ 4 ⁴

Abbildung 4. Quadratische Tessellation 4.4.4.4. Quelle: Wikimedia Commons.

Beispiel 3: Sechseckige Tessellation

Bei einer hexagonalen Tessellation ist jeder Knoten von drei regulären Sechsecken umgeben, wie in Abbildung 5 dargestellt. Die Nomenklatur für eine reguläre hexagonale Tessellation lautet 6.6.6 oder alternativ 6 ³ .

Abbildung 5. Sechseckige Tessellation 6.6.6. Quelle: Wikimedia Commons.

Semi-regelmäßige Tessellationen

Semi-reguläre oder archimedische Tessellationen bestehen aus zwei oder mehr Arten regulärer Polygone. Jeder Knoten ist von den Polygontypen umgeben, aus denen die Tessellation besteht, immer in derselben Reihenfolge, und die Randbedingung wird vollständig mit dem Nachbarn geteilt.

Es gibt acht halbregelmäßige Tessellationen:

1. 3.6.3.6 (triehexagonale Tessellation)
2. 3.3.3.3.6 (stumpfe hexagonale Tessellation)
3. 3.3.3.4.4 (längliche dreieckige Tessellation)
4. 3.3.4.3.4 (stumpfe quadratische Tessellation)
5. 3.4.6.4 (Rhombi-Tri-Hexagonal-Tessellation)
6. 4.8.8 (abgeschnittene quadratische Tessellation)
7. 3.12.12 (abgeschnittene hexagonale Tessellation)
8. 4.6.12 (abgeschnittene triehexagonale Tessellation)

Einige Beispiele für semi-reguläre Tessellationen sind unten gezeigt.

Beispiel 4: Trihexagonale Tessellation

Es ist dasjenige, das aus gleichseitigen Dreiecken und regelmäßigen Sechsecken in der Struktur 3.6.3.6 besteht, was bedeutet, dass ein Knoten der Tessellation (bis zum Abschluss einer Umdrehung) von einem Dreieck, einem Sechseck, einem Dreieck und einem Sechseck umgeben ist. Fig. 6 zeigt eine solche Tessellation.

Abbildung 6. Die triehexagonale Tessellation (3.6.3.6) ist ein Beispiel für eine semi-reguläre Tessellation. Quelle: Wikimedia Commons.

Beispiel 5: Stumpfe hexagonale Tessellation

Wie die Tessellation im vorherigen Beispiel besteht auch diese aus Dreiecken und Sechsecken, aber ihre Verteilung um einen Knoten ist 3.3.3.3.6. Abbildung 7 zeigt deutlich diese Art der Tessellation.

Abbildung 7. Die stumpfe hexagonale Tessellation besteht aus einem Sechseck, das in der Konfiguration 3.3.3.3.6 von 16 Dreiecken umgeben ist. Quelle: Wikimedia Commons.

Beispiel 6: Rhombi-Tri-Hexagonal-Tessellation

Es handelt sich um eine Tessellation aus Dreiecken, Quadraten und Sechsecken in der Konfiguration 3.4.6.4, die in Abbildung 8 dargestellt ist.

Abbildung 8. Halbregelmäßige Tessellation aus einem Dreieck, einem Quadrat und einem Sechseck in der Konfiguration 3.4.6.4. Quelle: Wikimedia Commons.

Unregelmäßige Tessellationen

Unregelmäßige Tessellationen sind solche, die durch unregelmäßige Polygone oder durch reguläre Polygone gebildet werden, aber nicht das Kriterium erfüllen, dass ein Knoten ein Scheitelpunkt von mindestens drei Polygonen ist.

Beispiel 7

Abbildung 9 zeigt ein Beispiel für eine unregelmäßige Tessellation, bei der alle Polygone regelmäßig und kongruent sind. Es ist unregelmäßig, weil ein Knoten kein gemeinsamer Scheitelpunkt von mindestens drei Quadraten ist und es auch benachbarte Quadrate gibt, die eine Kante nicht vollständig teilen.

Abbildung 9. Obwohl alle Kacheln kongruente Quadrate sind, ist dies ein klares Beispiel für eine unregelmäßige Tessellation. Quelle: F. Zapata.

Beispiel 8

Das Parallelogramm kachelt eine flache Oberfläche, aber wenn es kein Quadrat ist, kann es keine reguläre Tessellation bilden.

Abbildung 10. Eine durch Parallelogramme gebildete Tessellation ist unregelmäßig, da ihre Mosaike nicht reguläre Polygone sind. Quelle: F. Zapata.

Beispiel 9

Nicht regelmäßige Sechsecke mit zentraler Symmetrie tessellieren eine flache Oberfläche, wie in der folgenden Abbildung gezeigt:

Abbildung 11. Sechsecke mit zentraler Symmetrie, auch wenn sie nicht regelmäßig sind, tessellieren die Ebene. Quelle: F. Zapata.

Beispiel 10: Tessellation von Kairo

Es ist eine sehr interessante Tessellation, die aus Pentagonen mit gleich langen Seiten, aber ungleichen Winkeln besteht, von denen zwei gerade sind und die anderen drei jeweils 120 ° haben.

Sein Name kommt von der Tatsache, dass diese Tessellation auf dem Bürgersteig einiger Straßen von Kairo in Ägypten gefunden wird. Abbildung 12 zeigt die Tessellation von Kairo.

Abbildung 12. Kairoer Tessellation. Quelle: Wikimedia Commons.

Beispiel 11: Al-Andalus-Tessellation

Die Tessellation in einigen Teilen Andalusiens und Nordafrikas ist neben Zierelementen wie Vegetation durch Geometrie und Epigraphik gekennzeichnet.

Die Tessellation von Palästen wie dem der Alhambra bestand aus Fliesen aus Keramikstücken in vielen Farben mit mehreren (wenn nicht unendlichen) Formen, die sich in geometrischen Mustern entfesselten.

Abbildung 13. Tessellation des Alhambra-Palastes. Tartaglia / gemeinfrei

Beispiel 12: Tessellation in Videospielen

Auch als Tesellation bekannt, ist es eine der beliebtesten Neuheiten in Videospielen. Es geht darum, Texturen zu erstellen, um die Tessellation der verschiedenen Szenarien zu simulieren, die im Simulator angezeigt werden.

Dies ist ein klares Spiegelbild dafür, dass sich diese Beschichtungen weiterentwickeln und die Grenzen der Realität überschreiten.

Verweise

1. Viel Spaß mit Mathe. Tessellationen. Wiederhergestellt von: Enjoymatematicas.com
2. Rubiños. Tessellationen lösten Beispiele auf. Wiederhergestellt von: matematicasn.blogspot.com
3. Weisstein, Eric W. "Demireguläre Tessellation." Weisstein, Eric W, hrsg. MathWorld. Wolfram Research.
4. Wikipedia. Tessellation. Wiederhergestellt von: es.wikipedia.com
5. Wikipedia. Regelmäßige Tessellation. Wiederhergestellt von: es.wikipedia.com