NORTON-THEOREM: BESCHREIBUNG, ANWENDUNGEN, BEISPIELE UND ÜBUNGEN - KÖRPERLICH - 2024

Der Satz von Norton , auf elektrische Schaltungen angewendet, stellt eine lineare Schaltung mit zwei Anschlüssen A und B, durch eine andere vollständig äquivalent ersetzt werden, bestehend aus einer Stromquelle I Anruf _nicht parallel mit einem Widerstand R verbunden _No .

Der Strom I _No oder I _N ist derjenige, der zwischen den Punkten a und b fließen würde, wenn sie kurzgeschlossen würden. Der Widerstand R _N ist der äquivalente Widerstand zwischen den Klemmen, wenn alle unabhängigen Quellen ausgeschaltet sind. Alles, was gesagt wurde, ist in Abbildung 1 dargestellt.

Abbildung 1. Norton-Ersatzschaltbild. Quelle: Wikimedia Commons. Drumkid

Das schwarze Kästchen in der Abbildung enthält die lineare Schaltung, die durch das Norton-Äquivalent ersetzt werden soll. Eine lineare Schaltung ist eine Schaltung, bei der der Eingang und der Ausgang eine lineare Abhängigkeit haben, wie beispielsweise die Beziehung zwischen der Spannung V und dem Gleichstrom I in einem ohmschen Element: V = IR

Dieser Ausdruck entspricht dem Ohmschen Gesetz, wobei R der Widerstand ist, der auch eine Impedanz sein kann, wenn es sich um einen Wechselstromkreis handelt.

Nortons Theorem wurde vom Elektrotechniker und Erfinder Edward L. Norton (1898-1983) entwickelt, der lange Zeit für Bell Labs arbeitete.

Anwendungen des Norton-Theorems

Wenn Sie sehr komplizierte Netzwerke mit vielen Widerständen oder Impedanzen haben und die Spannung zwischen diesen oder den durch sie fließenden Strom berechnen möchten, vereinfacht der Satz von Norton die Berechnungen, da das Netzwerk, wie wir gesehen haben, durch ersetzt werden kann eine kleinere und handlichere Schaltung.

Auf diese Weise ist der Satz von Norton sehr wichtig, wenn Schaltungen mit mehreren Elementen entworfen und deren Reaktion untersucht werden sollen.

Beziehung zwischen Norton- und Thevenin-Theoremen

Nortons Theorem ist das Duale von Thevenins Theorem, was bedeutet, dass sie äquivalent sind. Der Satz von Thevenin besagt, dass die Black Box in Abbildung 1 durch eine Spannungsquelle in Reihe mit einem Widerstand ersetzt werden kann, der als Thevenin-Widerstand R _{Th bezeichnet wird} . Dies wird in der folgenden Abbildung ausgedrückt:

Abbildung 2. Originalschaltung links und ihre Entsprechungen zu Thévenin und Norton. Quelle: F. Zapata.

Die Schaltung links ist die ursprüngliche Schaltung, das lineare Netzwerk in der Black Box, Schaltung A oben rechts ist das Thevenin-Äquivalent und Schaltung B ist das Norton-Äquivalent, wie beschrieben. Von den Klemmen a und b aus gesehen sind die drei Schaltkreise äquivalent.

Beachten Sie nun Folgendes:

-In der Originalschaltung beträgt die Spannung zwischen den Klemmen V _ab .

-V _ab = V _Th in Schaltung A.

- Schließlich ist V _ab = I _N .R _N in Schaltung B.

Wenn die Klemmen a und b in allen drei Stromkreisen kurzgeschlossen sind, muss sichergestellt sein, dass Spannung und Strom zwischen diesen Punkten für alle drei gleich sind, da sie gleich sind. So:

-In der ursprünglichen Schaltung ist der Strom i.

-Für die Schaltung A beträgt der Strom nach dem Ohmschen Gesetz i = V _Th / R _Th .

- Schließlich ist in Strom B der Strom I _N.

Daher wird der Schluss gezogen, dass die Widerstände von Norton und Thevenin den gleichen Wert haben und dass der Strom gegeben ist durch:

i = I _N = V _Th / R _Th = V _Th / R _N.

Beispiel

Um den Satz von Norton korrekt anzuwenden, werden die folgenden Schritte ausgeführt:

- Isolieren Sie aus dem Netzwerk den Abschnitt der Schaltung, für den das Norton-Äquivalent zu finden ist.

- Geben Sie im verbleibenden Stromkreis die Klemmen a und b an.

- Ersetzen Sie die Spannungsquellen für Kurzschlüsse und die Stromquellen für Unterbrechungen, um den äquivalenten Widerstand zwischen den Klemmen a und b zu ermitteln. Dies ist R _N .

- Bringen Sie alle Quellen wieder in ihre ursprüngliche Position, schließen Sie die Klemmen kurz und suchen Sie den Strom, der zwischen ihnen zirkuliert. Dies ist I _N .

- Zeichnen Sie das Norton-Ersatzschaltbild gemäß den Angaben in Abbildung 1. Sowohl die Stromquelle als auch der Ersatzwiderstand sind parallel.

Der Satz von Thevenin kann auch angewendet werden, um R _Th zu finden _{, von} dem wir bereits wissen, dass es gleich R _N ist. Dann können wir nach dem Ohmschen Gesetz I _{N finden} und fortfahren, die resultierende Schaltung zu zeichnen.

Und jetzt sehen wir uns ein Beispiel an:

Finden Sie das Norton-Äquivalent zwischen den Punkten A und B der folgenden Schaltung:

Abbildung 3. Beispielschaltung. Quelle: F. Zapata.

Der Teil der Schaltung, dessen Äquivalent zu finden ist, ist bereits isoliert. Und die Punkte A und B sind klar bestimmt. Das Folgende dient zum Kurzschließen der 10-V-Quelle und zum Ermitteln des Ersatzwiderstands des erhaltenen Stromkreises:

Abbildung 4. Kurzschlussquelle. Quelle: F. Zapata.

Von den Klemmen A und B aus gesehen sind beide Widerstände R ₁ und R ₂ parallel, daher:

1 / R _eq = 1 / R ₁₂ = (1/4) + (1/6) Ω ^-1 = 5/12 Ω ^-1 → R _eq = 12/5 Ω = 2,4 Ω

Dann ist die Quelle wieder an Ort und Stelle und die Punkte A und B sind kurzgeschlossen, um den dort fließenden Strom zu finden. Dies wird I _{N sein} . In diesem Fall:

Abbildung 5. Schaltung zur Berechnung des Norton-Stroms. Quelle: F. Zapata.

I _N = 10 V / 4 Ω = 2,5 A.

Norton-Äquivalent

Schließlich wird das Norton-Äquivalent mit den gefundenen Werten gezeichnet:

Abbildung 6. Norton-Äquivalent der Schaltung in Abbildung 3. Quelle: F. Zapata.

Übung gelöst

In der Schaltung der folgenden Abbildung:

Abbildung 7. Schaltung für die aufgelöste Übung. Quelle: Alexander, C. 2006. Grundlagen elektrischer Schaltungen. 3 .. Auflage. Mc Graw Hill.

a) Finden Sie das Norton-Ersatzschaltbild des externen Netzwerks zum blauen Widerstand.

b) Finden Sie auch das Thévenin-Äquivalent.

Lösung für

Befolgen Sie die oben angegebenen Schritte, um die Quelle kurzzuschließen:

Abbildung 8. Quelle im Stromkreis von Abbildung 7 kurzgeschlossen. Quelle: F. Zapata.

RN-Berechnung

Von den Klemmen A und B aus gesehen liegt der Widerstand R ₃ in Reihe mit der durch die Widerstände R ₁ und R ₂ gebildeten Parallele. Berechnen wir zunächst den äquivalenten Widerstand dieser Parallele:

Und dann ist diese Parallele in Reihe mit R _3, so dass der äquivalente Widerstand ist:

Dies ist der Wert von R _N und R _Th , wie zuvor erläutert.

IN Berechnung

Die Klemmen A und B werden dann kurzgeschlossen und bringen die Quelle an ihren Platz zurück:

Abbildung 9. Schaltkreise zum Ermitteln des Norton-Stroms. Quelle: F. Zapata.

Der Strom durch I ₃ ist der gesuchte Strom I _N , der mit der Maschenmethode oder unter Verwendung von Reihen und Parallel bestimmt werden kann. In dieser Schaltung sind R ₂ und R ₃ parallel:

Der Widerstand R ₁ ist mit dieser Parallele in Reihe geschaltet, dann:

Der aus der Quelle kommende Strom (blaue Farbe) wird nach dem Ohmschen Gesetz berechnet:

Dieser Strom ist in zwei Teile unterteilt: einen, der durch R ₂ fließt, und einen anderen, der durch R ₃ fließt . Der Strom, der durch paralleles R ₂₃ fließt, ist jedoch der gleiche, der durch R ₁ fließt , wie in der Zwischenschaltung in der Figur zu sehen ist. Die Spannung dort ist:

Beide Widerstände R ₂ und R ₃ haben diese Spannung, da sie parallel sind, daher:

Wir haben bereits den Norton-Strom gesucht, da wie bereits gesagt I ₃ = I _N , dann:

Norton-Äquivalent

Alles ist bereit, das Norton-Äquivalent dieser Schaltung zwischen den Punkten A und B zu zeichnen:

Abbildung 10. Norton-Äquivalent der Schaltung in Abbildung 7. Quelle: F. Zapata.

Lösung b

Das Thévenin-Äquivalent zu finden ist sehr einfach, da R _Th = R _N = 6 Ω und wie in den vorhergehenden Abschnitten erläutert:

V _Th = I _N . R _N = 1 A. 6 Ω = 6 V.

Das Thévenin-Ersatzschaltbild lautet:

Abbildung 11. Dasvenin-Äquivalent der Schaltung in Abbildung 7. Quelle: F. Zapata.

Verweise

1. Alexander, C. 2006. Grundlagen elektrischer Schaltungen. 3 .. Auflage. Mc Graw Hill.
2. Boylestad, R. 2011. Einführung in die Schaltungsanalyse. 2 .. Auflage. Pearson.
3. Dorf, R. 2006. Einführung in elektrische Schaltungen. 7 .. Auflage. John Wiley & Sons.
4. Edminister, J. 1996. Electrical Circuits. Schaum-Serie. 3 .. Auflage. Mc Graw Hill.
5. Wikipedia. Nortons Satz. Wiederhergestellt von: es.wikipedia.org.