Der Bayes-Satz ist eine Prozedur, die es uns ermöglicht, die bedingte Wahrscheinlichkeit eines zufälligen Ereignisses A bei gegebenem B in Form der Wahrscheinlichkeitsverteilung der Ereignisse A und B seit der Wahrscheinlichkeitsverteilung von nur A auszudrücken.
Dieser Satz ist sehr nützlich, da wir dank ihm die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis A auftritt, in dem Wissen, dass B aufgetreten ist, mit der Wahrscheinlichkeit in Beziehung setzen können, dass das Gegenteil eintritt, dh dass B bei A auftritt.
Der Satz von Bayes war ein silberner Satz von Reverend Thomas Bayes, einem englischen Theologen des 18. Jahrhunderts, der auch Mathematiker war. Er war Autor mehrerer theologischer Werke, aber heute ist er für einige mathematische Abhandlungen bekannt, von denen das oben erwähnte Bayes-Theorem als Hauptergebnis hervorsticht.
Bayes behandelte diesen Satz in einem 1763 veröffentlichten Artikel mit dem Titel "Ein Essay zur Lösung eines Problems in der Doctrine of Chances", zu dem eine große Anzahl entwickelt wurde. Studien mit Anwendungen in verschiedenen Wissensgebieten.
Erläuterung
Zum besseren Verständnis dieses Theorems sind zunächst einige Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitstheorie erforderlich, insbesondere der Multiplikationssatz für die bedingte Wahrscheinlichkeit, der dies besagt
Für E und A beliebige Ereignisse eines Probenraums S.
Und die Definition von Partitionen, die uns sagt, dass wenn wir A 1 , A 2 , …, A n Ereignisse eines Abtastraums S haben, diese eine Partition von S bilden, wenn sich A i gegenseitig ausschließen und ihre Vereinigung S ist.
Vor diesem Hintergrund sei B ein weiteres Ereignis. So können wir B als sehen
Wo A i mit B schneidet, schließen sich Ereignisse gegenseitig aus.
Und in der Folge
Dann wird der Multiplikationssatz angewendet
Andererseits ist die bedingte Wahrscheinlichkeit von Ai bei gegebenem B definiert durch
Wenn wir angemessen ersetzen, haben wir das für jedes i
Anwendungen des Bayes-Theorems
Dank dieses Ergebnisses ist es Forschungsgruppen und verschiedenen Unternehmen gelungen, wissensbasierte Systeme zu verbessern.
Zum Beispiel kann bei der Untersuchung von Krankheiten das Bayes-Theorem helfen, die Wahrscheinlichkeit zu erkennen, dass eine Krankheit bei einer Gruppe von Menschen mit einem bestimmten Merkmal gefunden wird, wobei die globalen Krankheitsraten und die Prävalenz dieser Merkmale in als Daten verwendet werden sowohl gesunde als auch kranke Menschen.
Andererseits hat es in der Welt der Hochtechnologien große Unternehmen beeinflusst, die dank dieses Ergebnisses „wissensbasierte“ Software entwickelt haben.
Als tägliches Beispiel haben wir den Microsoft Office-Assistenten. Der Satz von Bayes hilft der Software, die Probleme, die der Benutzer darstellt, zu bewerten und zu bestimmen, welche Ratschläge er geben soll, und somit in der Lage zu sein, einen besseren Service gemäß den Gewohnheiten des Benutzers anzubieten.
Insbesondere wurde diese Formel bis vor kurzem ignoriert. Dies liegt hauptsächlich daran, dass sie bei der Entwicklung dieses Ergebnisses vor 200 Jahren nur wenig praktischen Nutzen hatten. In unserer Zeit haben Wissenschaftler dank des großen technologischen Fortschritts Wege gefunden, dieses Ergebnis in die Praxis umzusetzen.
Gelöste Übungen
Übung 1
Eine Mobilfunkfirma hat zwei Maschinen A und B. 54% der produzierten Handys werden von Maschine A und der Rest von Maschine B hergestellt. Nicht alle produzierten Handys sind in gutem Zustand.
Der Anteil defekter Handys von A beträgt 0,2 und von B 0,5. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Handy aus dieser Fabrik defekt ist? Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Mobiltelefon, wenn es weiß, dass es defekt ist, von Maschine A stammt?
Lösung
Hier haben Sie ein Experiment, das aus zwei Teilen besteht. Im ersten Teil treten die Ereignisse auf:
A: Zelle hergestellt von Maschine A.
B: Zelle hergestellt von Maschine B.
Da Maschine A 54% der Mobiltelefone produziert und der Rest von Maschine B produziert wird, folgt, dass Maschine B 46% der Handys produziert. Die Wahrscheinlichkeiten dieser Ereignisse sind angegeben, nämlich:
P (A) = 0,54.
P (B) = 0,46.
Die Ereignisse des zweiten Teils des Experiments sind:
D: Handy defekt.
E: nicht defektes Handy.
Wie in der Erklärung angegeben, hängen die Wahrscheinlichkeiten dieser Ereignisse vom Ergebnis des ersten Teils ab:
P (DA) = 0,2.
P (DB) = 0,5.
Mit diesen Werten können auch die Wahrscheinlichkeiten der Komplemente dieser Ereignisse bestimmt werden, dh:
P (EA) = 1 - P (DA)
= 1 - 0,2
= 0,8
und
p (EB) = 1 - P (DB)
= 1 - 0,5
= 0,5.
Jetzt kann Ereignis D wie folgt geschrieben werden:
Verwenden des Multiplikationssatzes für bedingte Wahrscheinlichkeitsergebnisse:
Daraufhin wird die erste Frage beantwortet.
Jetzt müssen wir nur noch P (AD) berechnen, für das der Bayes-Satz angewendet wird:
Dank des Bayes-Theorems kann festgestellt werden, dass die Wahrscheinlichkeit, dass ein Mobiltelefon von Maschine A hergestellt wurde, in dem Wissen, dass das Mobiltelefon defekt ist, 0,319 beträgt.
Übung 2
Drei Kisten enthalten schwarze und weiße Kugeln. Die Zusammensetzung von jedem von ihnen ist wie folgt: U1 = {3B, 1N}, U2 = {2B, 2N}, U3 = {1B, 3N}.
Eine der Boxen wird zufällig ausgewählt und eine Kugel wird zufällig gezogen, die sich als weiß herausstellt. Welche Box wurde am wahrscheinlichsten ausgewählt?
Lösung
Mit U1, U2 und U3 werden wir auch das ausgewählte Feld darstellen.
Diese Ereignisse stellen eine Partition von S dar und es wird verifiziert, dass P (U1) = P (U2) = P (U3) = 1/3 ist, da die Wahl der Box zufällig ist.
Wenn B = {die gezogene Kugel ist weiß}, haben wir P (B-U1) = 3/4, P (B-U2) = 2/4, P (B-U3) = 1/4.
Was wir erhalten möchten, ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Ball aus der Schachtel Ui genommen wurde, in dem Wissen, dass der Ball weiß war, dh P (Ui-B), und zu sehen, welcher der drei Werte der höchste war, um zu wissen, von welchem Box war höchstwahrscheinlich die Extraktion des Spielballs.
Anwendung des Bayes-Theorems auf das erste der Kästchen:
Und für die anderen beiden:
P (U2-B) = 2/6 und P (U3-B) = 1/6.
Dann ist die erste der Boxen die mit der höchsten Wahrscheinlichkeit, für die Extraktion des Spielballs ausgewählt worden zu sein.
Verweise
- Kai Lai Chung. Elementare Proability-Theorie mit stochastischen Prozessen. Springer-Verlag New York Inc.
- Kenneth.H. Rosen. Diskrete Mathematik und ihre Anwendungen. SAMCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE ESPAÑA.
- Paul L. Meyer. Wahrscheinlichkeits- und statistische Anwendungen. SA ALHAMBRA MEXICANA.
- Seymour Lipschutz Ph.D. 2000 Gelöste Probleme der diskreten Mathematik. McGRAW-HILL.
- Seymour Lipschutz Ph.D. Theorie- und Wahrscheinlichkeitsprobleme. McGRAW-HILL.