TELESKOPISCHE SUMMIERUNG: WIE ES GELÖST UND ÜBUNGEN GELÖST WERDEN - MATHE - 2025

Die Summe Teleskop ist eine Verzweigungsoperation Zahlenreihe. Es befasst sich mit der Summierung von Elementen von einem Anfangswert zu „n“ von Ausdrücken, deren Argument einem der folgenden Muster folgt:

(F _x - F _{x + 1} ); (F _{x + 1} - F _x )

Wie auch:

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Sie stellen eine Summe von Elementen dar, die bei ihrer Entwicklung Stornierungen entgegengesetzter Begriffe unterliegen. Damit kann die folgende Gleichheit für Teleskopsummierungen definiert werden:

Sein Name stammt von der Beziehung zum Erscheinungsbild eines klassischen Teleskops, das gefaltet und entfaltet werden kann und insbesondere seine Dimension ändert. Auf die gleiche Weise können Teleskopsummen, die unendlich sind, in dem vereinfachten Ausdruck zusammengefasst werden:

F ₁ - F _{n + 1}

Demonstration

Bei der Entwicklung der Summe von Begriffen ist die Eliminierung von Faktoren ziemlich offensichtlich. In jedem Fall werden in der nächsten Iteration entgegengesetzte Elemente angezeigt.

Der erste Fall (F _x - F _{x + 1} ), wird als Beispiel genommen werden , da der Prozess funktioniert in einer homologen Art und Weise für (F _{x + 1} -F _x ).

Bei der Entwicklung der ersten 3 Werte {1, 2, 3} wird der Trend der Vereinfachung beobachtet

X ₁ (F ₁ - F _{1 + 1} ) = F ₁ - F ₂

X ₂ (F ₂ - F _{2 + 1} ) = F ₂ - F ₃

X ₃ (F ₃ - F _{3 + 1} ) = F ₃ - F ₄

Wo beim Ausdrücken der Summe der beschriebenen Elemente:

X ₁ + X ₂ + X ₃ = F ₁ - F ₂ + F ₂ - F ₃ + F ₃ - F ₄

Es wird beobachtet, dass die Terme F ₂ und F ₃ zusammen mit ihren Gegensätzen beschrieben werden, was ihre Vereinfachung unvermeidlich macht. In gleicher Weise wird beobachtet, dass die Terme F ₁ und F _{4 erhalten} bleiben.

Wenn die Summe von x = 1 bis x = 3 gemacht wurde, bedeutet dies, dass das Element F ₄ dem Oberbegriff F _{n + 1 entspricht.}

Damit Gleichheit demonstrieren:

Wie wird es gelöst?

Der Zweck der teleskopischen Summierungen besteht darin, die Arbeit zu erleichtern, so dass es nicht erforderlich ist, eine unendliche Anzahl von Begriffen zu entwickeln oder eine zu lange Kette von Addenden zu vereinfachen.

Für seine Auflösung müssen nur die Terme F ₁ und F _{n + 1} ausgewertet werden . Diese einfachen Substitutionen bilden das Endergebnis der Summierung.

Die Gesamtheit der Begriffe wird nicht ausgedrückt und ist nur für die Demonstration des Ergebnisses erforderlich, nicht jedoch für den normalen Berechnungsprozess.

Wichtig ist, die Konvergenz der Zahlenreihen zu bemerken. Manchmal wird das Summationsargument nicht teleskopisch ausgedrückt. In diesen Fällen ist die Implementierung alternativer Factoring-Methoden sehr verbreitet.

Die charakteristische Faktorisierungsmethode bei teleskopischen Additionen ist die von einfachen Fraktionen. Dies tritt auf, wenn eine ursprüngliche Fraktion in eine Summe mehrerer Fraktionen zerlegt wird, wobei das Teleskopmuster (F _x - F _{x + 1} ) oder (F _{x + 1} - F _x ) beobachtet werden kann .

Zersetzung in einfache Brüche

Um die Konvergenz numerischer Reihen zu überprüfen, ist es sehr üblich, rationale Ausdrücke mit der einfachen Bruchmethode zu transformieren. Ziel ist es, das Diagramm in Form einer Teleskopsummation zu modellieren.

Die folgende Gleichheit stellt beispielsweise eine Zerlegung in einfache Brüche dar:

Bei der Entwicklung der Zahlenreihen und der Anwendung der entsprechenden Eigenschaften hat der Ausdruck folgende Form:

Wo die Teleskopform geschätzt wird (F _x - F _{x + 1} ).

Das Verfahren ist sehr intuitiv und besteht darin, die Werte des Zählers zu finden, die es uns ermöglichen, die im Nenner gefundenen Produkte zu trennen, ohne die Gleichheit zu brechen. Die Gleichungen, die sich bei der Bestimmung dieser Werte ergeben, werden nach Vergleichen zwischen beiden Seiten der Gleichheit aufgestellt.

Dieses Verfahren wird bei der Entwicklung von Übung 2 Schritt für Schritt beobachtet.

Geschichte

Es ist ziemlich ungewiss, den historischen Moment definieren zu können, in dem die teleskopischen Summierungen präsentiert wurden. Die Umsetzung beginnt jedoch im 17. Jahrhundert in den von Leibniz und Huygens durchgeführten Untersuchungen numerischer Reihen.

Beide Mathematiker, die die Summationen von Dreieckszahlen untersuchen, bemerken Trends in der Konvergenz bestimmter Reihen aufeinanderfolgender Elemente. Noch interessanter ist jedoch der Beginn der Modellierung dieser Ausdrücke in Elementen, die nicht unbedingt aufeinander folgen.

Tatsächlich bezieht sich der zuvor verwendete Ausdruck auf einfache Brüche:

Es wurde von Huygens eingeführt und erregte sofort Leibniz 'Aufmerksamkeit. Wer im Laufe der Zeit die Konvergenz zum Wert 2 beobachten konnte, ohne es zu wissen, implementierte das Teleskop-Summationsformat.

Übungen

Übung 1

Definieren Sie, zu welchem ​​Begriff die folgende Summe konvergiert:

Bei der manuellen Entwicklung der Summe wird das folgende Muster beobachtet:

(2 ³ - 2 ⁴ ) + (2 ⁴ - 2 ⁵ ) + (2 ⁵ - 2 ⁶ ). . . . (2 ¹⁰ - 2 ¹¹ )

Wenn die Faktoren von 2 ⁴ bis 2 ¹⁰ positive und negative Teile aufweisen, wird deren Aufhebung deutlich. Dann sind die einzigen Faktoren, die nicht vereinfacht werden, die ersten „2 ³ “ und die letzten „2 ¹¹ “.

Auf diese Weise wird bei der Implementierung des Teleskop-Summierungskriteriums Folgendes erhalten:

Übung 2

Transformieren Sie das Argument in eine teleskopische Typensummation und definieren Sie die Konvergenz der Reihe:

Wie in der Erklärung angegeben, besteht das erste, was zu tun ist, in einfache Brüche zu zerlegen, um das Argument neu zu formulieren und es teleskopisch auszudrücken.

Sie müssen 2 Brüche finden, deren Nenner "n" bzw. "n + 1" sind, wobei die unten verwendete Methode die Werte des Zählers erhalten muss, die die Gleichheit erfüllen.

Wir definieren die Werte von A und B. Fügen Sie zuerst die Brüche hinzu.

Dann werden die Nenner vereinfacht und eine lineare Gleichung erstellt.

Im nächsten Schritt wird der Ausdruck rechts betätigt, bis ein mit der „3“ links vergleichbares Muster erreicht ist.

Um die zu verwendenden Gleichungen zu definieren, müssen die Ergebnisse beider Seiten der Gleichheit verglichen werden. Das heißt, auf der linken Seite werden keine Werte der Variablen n beobachtet, sodass A + B gleich Null sein muss.

A + B = 0; A = -B

Andererseits muss der konstante Wert A gleich dem konstanten Wert 3 sein.

A = 3

So.

A = 3 und B = -3

Sobald die Zählerwerte für die einfachen Brüche bereits definiert sind, wird die Summierung angepasst.

Wo die generische Form der Teleskopsummation bereits erreicht wurde. Die Teleskopserie wird entwickelt.

Wenn beim Teilen durch eine sehr große Zahl das Ergebnis immer näher an Null kommt, wobei die Konvergenz der Reihe mit dem Wert 3 beobachtet wird.

Diese Art von Reihen konnte aufgrund der unendlichen Anzahl von Iterationen, die das Problem definieren, nicht auf andere Weise gelöst werden. Dieses Verfahren bildet jedoch zusammen mit vielen anderen den Rahmen des Studiums numerischer Reihen, dessen Ziel es ist, die Konvergenzwerte zu bestimmen oder die Divergenz dieser Reihen zu definieren.

Verweise

1. Infinitesimalrechnung Lektionen. Manuel Franco, Manuel Franco Nicolás, Francisco Martínez González und Roque Molina Legaz. EDITUM, 1994.
2. Integralrechnung: Folgen und Funktionsreihen. Antonio Rivera Figueroa. Grupo Editorial Patria, 21. Oktober. 2014.
3. Ein Kurs in Analysis und Real Analysis. Sudhir R. Ghorpade, Balmohan V. Limaye. Springer Science & Business Media, 5. Juni. 2006.
4. Unendliche Serie. Tomlinson Fort. The Clarendon Press, 1930.
5. Elemente der Theorie unendlicher Prozesse. Lloyd Leroy Smail. McGraw-Hill Book Company, Incorporated, 1923.