- Beispiele für die Addition von Polynomen
- Fügen Sie zwei oder mehr Polynome mit mehr als einer Variablen hinzu
- Polynomadditionsübungen
- - Übung 1
- Lösung
- - Übung 2
- Lösung für
- Verweise
Die Summe der Polynome ist die Operation, bei der zwei oder mehr Polynome addiert werden, was zu einem weiteren Polynom führt. Um es auszuführen, ist es notwendig, die Terme derselben Ordnung für jedes der Polynome zu addieren und die resultierende Summe anzugeben.
Lassen Sie uns zunächst kurz die Bedeutung von "Begriffen derselben Reihenfolge" überprüfen. Jedes Polynom besteht aus Additionen und / oder Subtraktionen von Begriffen.
Abbildung 1. Um zwei Polynome hinzuzufügen, müssen diese geordnet und dann die gleichen Terme reduziert werden. Quelle: Pixabay + Wikimedia Commons.
Die Begriffe können Produkte aus reellen Zahlen und einer oder mehreren Variablen sein, die durch Buchstaben dargestellt werden, zum Beispiel: 3x 2 und -√5.a 2 bc 3 sind Begriffe.
Nun, die Terme derselben Ordnung sind diejenigen, die den gleichen Exponenten oder die gleiche Potenz haben, obwohl sie möglicherweise einen anderen Koeffizienten haben.
-Terms gleicher Ordnung sind: 5x 3 , √2 x 3 und -1 / 2x 3
-Terms unterschiedlicher Ordnung: -2x -2 , 2xy -1 und √6x 2 und
Es ist wichtig zu berücksichtigen, dass nur Terme derselben Reihenfolge addiert oder subtrahiert werden können, eine Operation, die als Reduktion bezeichnet wird. Ansonsten bleibt die Summe einfach links.
Sobald das Konzept der Begriffe derselben Ordnung geklärt ist, werden die Polynome wie folgt hinzugefügt:
- Ordnen Sie die ersten Polynome so an, dass sie alle auf die gleiche Weise entweder auf zunehmende oder abnehmende Weise addieren, dh mit Potenzen von der niedrigsten zur höchsten oder umgekehrt.
- Vollständig , falls in der Sequenz keine Stromversorgung vorhanden ist.
- Reduzieren Sie ähnliche Begriffe.
- Geben Sie die resultierende Summe an.
Beispiele für die Addition von Polynomen
Wir beginnen mit dem Hinzufügen von zwei Polynomen mit einer einzelnen Variablen namens x, zum Beispiel den Polynomen P (x) und Q (x), die gegeben sind durch:
P (x) = 2 × 2 - 5 × 4 + 2 × –x 5 - 3 × 3 + 12
Q (x) = x 5 - 25 x + x 2
Befolgen Sie die beschriebenen Schritte, indem Sie sie in absteigender Reihenfolge bestellen. Dies ist die üblichste Methode:
P (x) = –x 5 - 5x 4 - 3x 3 + 2x 2 + 2x +12
Q (x) = x 5 + x 2 - 25x
Das Polynom Q (x) ist nicht vollständig, es ist ersichtlich, dass Potenzen mit den Exponenten 4, 3 und 0 fehlen. Letzteres ist einfach der unabhängige Term, der keinen Buchstaben hat.
Q (x) = x 5 + 0x 4 + 0x 3 + x 2 - 25x + 0
Sobald dieser Schritt abgeschlossen ist, können sie hinzugefügt werden. Sie können ähnliche Begriffe hinzufügen und dann die Summe angeben oder die geordneten Polynome untereinander platzieren und auf folgende Weise um Spalten reduzieren:
- x 5 - 5x 4 - 3x 3 + 2x 2 + 2x +12
+ x 5 + 0x 4 + 0x 3 + x 2 - 25x + 0 +
--------------------
0x 5 - 5x 4 - 3x 3 + 3x 2 - 23x + 12 = P (x) + Q (x)
Es ist wichtig zu beachten, dass beim Hinzufügen die Vorzeichenregel algebraisch eingehalten wird, auf diese Weise 2x + (-25 x) = -23x. Das heißt, wenn die Koeffizienten ein anderes Vorzeichen haben, werden sie subtrahiert und das Ergebnis trägt das Vorzeichen des Größeren.
Fügen Sie zwei oder mehr Polynome mit mehr als einer Variablen hinzu
Wenn es um Polynome mit mehr als einer Variablen geht, wird eines davon ausgewählt, um es zu ordnen. Angenommen, Sie möchten Folgendes hinzufügen:
R (x, y) = 5x 2 - 4y 2 + 8xy - 6y 3
UND:
T (x, y) = ½ x 2 - 6y 2 - 11xy + x 3 und
Eine der Variablen wird ausgewählt, zum Beispiel x in der Reihenfolge:
R (x, y) = 5x 2 + 8xy - 6y 3 - 4y 2
T (x, y) = + x 3 y + ½ x 2 - 11xy - 6y 2
Sofort sind die fehlenden Terme vervollständigt, nach denen jedes Polynom hat:
R (x, y) = 0x 3 y + 5x 2 + 8xy - 6j 3 - 4j 2
T (x, y) = + x 3 y + ½ x 2 - 11xy + 0y 3 - 6y 2
Und Sie sind beide bereit, ähnliche Begriffe zu reduzieren:
0x 3 y + 5x 2 + 8xy - 6y 3 - 4y 2
+ x 3 y + ½ x 2 - 11xy + 0y 3 - 6y 2 +
---------------------–
+ x 3 y + 11 / 2x 2 - 3xy - 6y 3 - 10y 2 = R (x, y) + T (x, y)
Polynomadditionsübungen
- Übung 1
Geben Sie in der folgenden Polynomsumme den Begriff an, der in das Leerzeichen eingegeben werden muss, um die Polynomsumme zu erhalten:
-5x 4 + 0x 3 + 2x 2 + 1
x 5 + 2x 4 - 21x 2 + 8x - 3
2x 5 + 9x 3 -14x
----------------
-6x 5 + 10x 4 -0x 3 + 5x 2 - 11x + 21
Lösung
Um -6x 5 zu erhalten, ist ein Term der Form ax 5 erforderlich , so dass:
a + 1+ 2 = -6
So:
a = -6-1-2 = -9
Und der Suchbegriff lautet:
-9x 5
- Wir gehen auf ähnliche Weise vor, um den Rest der Begriffe zu finden. Hier ist der für Exponent 4:
-5 + 2 + a = 10 → a = 10 + 5-2 = 13
Der fehlende Begriff lautet: 13x 4 .
-Für die Potenzen von x 3 ist es unmittelbar, dass der Term -9x 3 sein muss , auf diese Weise ist der Koeffizient des kubischen Terms 0.
-Wie für die quadratischen Potenzen: a + 8 - 14 = -11 → a = -11 - 8 + 14 = -5 und der Term ist -5x 2 .
-Der lineare Term wird mittels a +8 -14 = -11 → a = -11 + 14 - 8 = -5 erhalten, wobei der fehlende Term -5x ist.
-Finally ist der unabhängige Term: 1 -3 + a = -21 → a = -19.
- Übung 2
Ein flaches Gelände ist wie in der Abbildung gezeigt eingezäunt. Suchen Sie einen Ausdruck für:
a) Der Umfang und
b) Seine Fläche in Bezug auf die angegebenen Längen:
Abbildung 2. Ein flaches Gelände ist mit der angegebenen Form und den angegebenen Abmessungen eingezäunt. Quelle: F. Zapata.
Lösung für
Der Umfang ist definiert als die Summe der Seiten und Konturen der Figur. Beginnend in der unteren linken Ecke im Uhrzeigersinn haben wir:
Umfang = y + x + Länge des Halbkreises + z + Länge der Diagonale + z + z + x
Der Halbkreis hat einen Durchmesser von x. Da der Radius den halben Durchmesser beträgt, müssen Sie:
Radius = x / 2.
Die Formel für die Länge eines vollständigen Umfangs lautet:
L = 2π x Radius
So:
Länge des Halbkreises = ½. 2π (x / 2) = πx / 2
Die Diagonale wird ihrerseits mit dem Satz von Pythagoras berechnet, der auf die Seiten angewendet wird: (x + y) die vertikale Seite und z die horizontale:
Diagonale = 1/2
Diese Ausdrücke werden durch die des Umfangs ersetzt, um Folgendes zu erhalten:
Umfang = y + x + πx / 2 + z + 1/2 + z + x + z
Gleiche Begriffe werden reduziert, da für die Addition das Ergebnis so weit wie möglich vereinfacht werden muss:
Umfang = y + + z + z + z + 1/2 = y + (2 + π / 2) x + 3z
Lösung b
Die resultierende Fläche ist die Summe der Fläche des Rechtecks, des Halbkreises und des rechtwinkligen Dreiecks. Die Formeln für diese Bereiche sind:
- Rechteck : Basis x Höhe
- Halbkreis : ½ π (Radius) 2
- Dreieck : Basis x Höhe / 2
Rechteckbereich
(x + y). (x + z) = x 2 + xz + yx + yz
Halbkreisbereich
½ π (x / 2) 2 = π x 2 /8
Dreiecksbereich
½ z (x + y) = ½ zx + ½ zy
Gesamtes Gebiet
Um die Gesamtfläche zu ermitteln, werden die für jede Teilfläche gefundenen Ausdrücke hinzugefügt:
Gesamtfläche = x 2 + xz + yz + x + (π x 2 /8) + zx + zy ½ ½
Und schließlich werden alle Begriffe, die ähnlich sind, reduziert:
Gesamtfläche = (1 + π / 8) x 2 + 3/2 xy + 3 / 2yz + yx
Verweise
- Baldor, A. 1991. Algebra. Editorial Cultural Venezolana SA
- Jiménez, R. 2008. Algebra. Prentice Hall.
- Mathe macht Spaß. Addieren und Subtrahieren von Polynomen. Wiederhergestellt von: mathsisfun.com.
- Monterey Institute. Addieren und Subtrahieren von Polynomen. Wiederhergestellt von: montereyinstitute.org.
- UC Berkeley. Algebra der Polynome. Wiederhergestellt von: math.berkeley.edu.