SUMME DER QUADRATE ZWEIER AUFEINANDERFOLGENDER ZAHLEN - MATHE - 2025

Um herauszufinden, was die Summe der Quadrate zweier aufeinanderfolgender Zahlen ist , kann eine Formel gefunden werden, mit der es ausreicht, die beteiligten Zahlen zu ersetzen, um das Ergebnis zu erhalten.

Diese Formel kann allgemein gefunden werden, dh sie kann für jedes Paar aufeinanderfolgender Zahlen verwendet werden.

Wenn Sie "fortlaufende Zahlen" sagen, sagen Sie implizit, dass beide Zahlen ganze Zahlen sind. Und mit "den Quadraten" bezieht er sich auf das Quadrieren jeder Zahl.

Wenn zum Beispiel die Zahlen 1 und 2 berücksichtigt werden, sind ihre Quadrate 1² = 1 und 2² = 4, daher ist die Summe der Quadrate 1 + 4 = 5.

Wenn andererseits die Zahlen 5 und 6 genommen werden, sind ihre Quadrate 5² = 25 und 6² = 36, wobei die Summe der Quadrate 25 + 36 = 61 ist.

Was ist die Summe der Quadrate zweier aufeinanderfolgender Zahlen?

Das Ziel besteht nun darin, zu verallgemeinern, was in den vorherigen Beispielen getan wurde. Dazu muss ein allgemeiner Weg gefunden werden, um eine Ganzzahl und ihre aufeinanderfolgende Ganzzahl zu schreiben.

Wenn Sie sich zwei aufeinanderfolgende ganze Zahlen ansehen, zum Beispiel 1 und 2, können Sie sehen, dass 2 als 1 + 1 geschrieben werden kann. Wenn die Zahlen 23 und 24 beobachtet werden, wird auch geschlossen, dass 24 als 23 + 1 geschrieben werden kann.

Für negative Ganzzahlen kann dieses Verhalten ebenfalls überprüft werden. Wenn -35 und -36 berücksichtigt werden, ist tatsächlich ersichtlich, dass -35 = -36 + 1 ist.

Wenn daher eine ganze Zahl "n" gewählt wird, ist die auf "n" aufeinanderfolgende ganze Zahl "n + 1". Somit wurde bereits eine Beziehung zwischen zwei aufeinanderfolgenden ganzen Zahlen hergestellt.

Was ist die Summe der Quadrate?

Bei zwei aufeinanderfolgenden ganzen Zahlen "n" und "n + 1" sind ihre Quadrate "n²" und "(n + 1) ²". Unter Verwendung der Eigenschaften bemerkenswerter Produkte kann dieser letzte Begriff wie folgt geschrieben werden:

(n + 1) ² = n² + 2 · n · 1 + 1² = n² + 2n + 1 .

Schließlich wird die Summe der Quadrate der beiden aufeinanderfolgenden Zahlen durch den Ausdruck gegeben:

n² + n² + 2n + 1 = 2n² + 2n + 1 = 2n (n + 1) + 1 .

Wenn die vorherige Formel detailliert ist, ist ersichtlich, dass es nur ausreicht, die kleinste ganze Zahl "n" zu kennen, um die Summe der Quadrate zu kennen, dh es reicht nur aus, die kleinste der beiden ganzen Zahlen zu verwenden.

Eine andere Perspektive der erhaltenen Formel ist: Die gewählten Zahlen werden multipliziert, dann wird das erhaltene Ergebnis mit 2 multipliziert und schließlich wird 1 addiert.

Andererseits ist der erste Zusatz rechts eine gerade Zahl, und das Hinzufügen von 1 führt zu einer ungeraden Zahl. Dies besagt, dass das Ergebnis des Addierens der Quadrate zweier aufeinanderfolgender Zahlen immer eine ungerade Zahl ist.

Es kann auch angemerkt werden, dass dieses Ergebnis immer positiv ist, da zwei quadratische Zahlen hinzugefügt werden.

Beispiele

1.- Betrachten Sie die ganzen Zahlen 1 und 2. Die kleinste ganze Zahl ist 1. Unter Verwendung der vorherigen Formel wird geschlossen, dass die Summe der Quadrate ist: 2 * (1) * (1 + 1) +1 = 2 * 2 + 1 = 4 + 1 = 5. Was mit den zu Beginn gemachten Zählungen übereinstimmt.

2.- Wenn die ganzen Zahlen 5 und 6 genommen werden, beträgt die Summe der Quadrate 2 * 5 * 6 + 1 = 60 + 1 = 61, was ebenfalls mit dem zu Beginn erhaltenen Ergebnis übereinstimmt.

3.- Wenn die ganzen Zahlen -10 und -9 gewählt werden, ist die Summe ihrer Quadrate: 2 * (- 10) * (- 9) + 1 = 180 + 1 = 181.

4.- Lassen Sie die ganzen Zahlen bei dieser Gelegenheit -1 und 0 sein, dann ist die Summe ihrer Quadrate gegeben durch 2 * (- 1) * (0) + 1 = 0 +1 = 1.

Verweise

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