QUADRATISCHE SEQUENZEN: BEISPIELE, REGELN UND GELÖSTE ÜBUNGEN - MATHE - 2025

Die quadratischen Folgen bestehen mathematisch gesehen aus Folgen von Zahlen, die einer bestimmten Regelarithmetik folgen. Es ist interessant, diese Regel zu kennen, um einen der Begriffe einer Sequenz zu bestimmen.

Eine Möglichkeit, dies zu tun, besteht darin, die Differenz zwischen zwei aufeinanderfolgenden Begriffen zu bestimmen und festzustellen, ob der erhaltene Wert immer wiederholt wird. Wenn dies der Fall ist, spricht man von einer regulären Sequenz.

Zahlenfolgen sind eine Möglichkeit, Zahlenfolgen zu organisieren. Quelle: pixabay.com

Wenn es sich jedoch nicht wiederholt, können Sie versuchen, den Unterschied zwischen den Unterschieden zu untersuchen und festzustellen, ob dieser Wert konstant ist. Wenn ja, dann ist es eine quadratische Folge .

Beispiele für reguläre Sequenzen und quadratische Sequenzen

Die folgenden Beispiele helfen zu verdeutlichen, was bisher erklärt wurde:

Beispiel für eine regelmäßige Nachfolge

Sei die Folge S = {4, 7, 10, 13, 16, ……}

Diese mit S bezeichnete Folge ist eine unendliche Zahl, in diesem Fall von ganzen Zahlen.

Es ist ersichtlich, dass es sich um eine reguläre Sequenz handelt, da jeder Term durch Hinzufügen von 3 zum vorherigen Term oder Element erhalten wird:

4

4 + 3 = 7

7+ 3 = 10

10+ 3 = 13

13+ 3 = 16

Mit anderen Worten: Diese Sequenz ist regelmäßig, da die Differenz zwischen dem nächsten und dem vorherigen Term einen festen Wert ergibt. In dem angegebenen Beispiel ist dieser Wert 3.

Die regulären Sequenzen, die durch Hinzufügen einer festen Größe zum vorherigen Term erhalten werden, werden auch als arithmetische Progressionen bezeichnet. Und der Unterschied zwischen aufeinanderfolgenden Begriffen wird als Verhältnis bezeichnet und als R bezeichnet.

Beispiel einer nicht regulären und quadratischen Sequenz

Siehe jetzt die folgende Reihenfolge:

S = {2, 6, 12, 20, 30,….}

Wenn aufeinanderfolgende Differenzen berechnet werden, werden die folgenden Werte erhalten:

6-2 = 4

12-6 = 6

20-12 = 8

30-20 = 10

Ihre Unterschiede sind nicht konstant, daher kann gesagt werden, dass es sich NICHT um eine reguläre Sequenz handelt.

Wenn wir jedoch die Menge der Unterschiede betrachten, haben wir eine andere Sequenz, die als S _{diff bezeichnet wird} :

S _dif = {4, 6, 8, 10,….}

Diese neue Sequenz ist in der Tat eine reguläre Sequenz, da jeder Term durch Addition des festen Wertes R = 2 zum vorherigen erhalten wird. Deshalb können wir bestätigen, dass S eine quadratische Folge ist.

Allgemeine Regel zum Aufbau einer quadratischen Folge

Es gibt eine allgemeine Formel, um eine quadratische Folge zu konstruieren:

T _n = A ≤ n ² + B ≤ n + C.

In dieser Formel ist T _n der Term an Position n der Sequenz. A, B und C sind feste Werte, während n nacheinander variiert, dh 1, 2, 3, 4, …

In der Sequenz S des vorherigen Beispiels ist A = 1, B = 1 und C = 0. Daraus folgt, dass die Formel, die alle Terme erzeugt, lautet: T _n = n ² + n

Das heißt:

T ₁ = 1 ² + 1 = 2

T ₂ = 2 ² + 2 = 6

T ₃ = 3 ² + 3 = 12

T ₅ = 5 ² + 5 = 30

T _n = n ² + n

Unterschied zwischen zwei aufeinanderfolgenden Termen einer quadratischen Folge

T _{n + 1} - T _n = -

Die Entwicklung des Ausdrucks durch ein bemerkenswertes Produkt bleibt:

T _{n + 1} - T _n = A ∙ n ² + A ∙ 2 ∙ n + A + B ∙ n + B + C - A ∙ n ² - B ∙ n - C.

Durch die Vereinfachung erhalten Sie:

T _{n + 1} - T _n = 2 ≤ A ≤ n + A + B.

Dies ist die Formel, die die Folge von Unterschieden S _{Dif angibt} , die wie folgt geschrieben werden kann:

Dif _n = A ∙ (2n + 1) + B.

Wo eindeutig der nächste Begriff 2 ist ∙ Manchmal der vorherige. Das heißt, das Verhältnis der Folge von Differenzen S _diff ist: R = 2 ∙ A.

Gelöste Probleme quadratischer Sequenzen

Übung 1

Sei die Folge S = {1, 3, 7, 13, 21, ……}. Bestimmen Sie, ob:

i) Ist es regelmäßig oder nicht?

ii) Ist es quadratisch oder nicht?

iii) Es war quadratisch, die Reihenfolge der Unterschiede und ihr Verhältnis

Antworten

i) Berechnen wir die Differenz zwischen den folgenden und den vorherigen Begriffen:

3-1 = 2

7-3 = 4

13-7 = 6

21-13 = 8

Wir können bestätigen, dass die Sequenz S nicht regelmäßig ist, da der Unterschied zwischen aufeinanderfolgenden Begriffen nicht konstant ist.

ii) Die Folge von Unterschieden ist regelmäßig, da die Differenz zwischen ihren Begriffen der konstante Wert 2 ist. Daher ist die ursprüngliche Folge S quadratisch.

iii) Wir haben bereits festgestellt, dass S quadratisch ist, die Reihenfolge der Unterschiede ist:

S _dif = {2, 4, 6, 8,…} und sein Verhältnis ist R = 2.

Übung 2

Es sei die Folge S = {1, 3, 7, 13, 21, ……} aus dem vorherigen Beispiel, in der überprüft wurde, dass sie quadratisch ist. Bestimmen:

i) Die Formel, die den allgemeinen Term T _{n bestimmt.}

ii) Überprüfen Sie den dritten und fünften Begriff.

iii) Der Wert des zehnten Terms.

Antworten

i) Die allgemeine Formel von T _n lautet A ∙ n ² + B ∙ n + C. Dann müssen die Werte von A, B und C bekannt sein.

Die Folge von Unterschieden hat das Verhältnis 2. Außerdem beträgt das Verhältnis R für jede quadratische Folge 2 ∙ A, wie in den vorhergehenden Abschnitten gezeigt.

R = 2 ∙ A = 2, was uns zu dem Schluss führt, dass A = 1 ist.

Der erste Term der Folge von Differenzen S _Dif ist 2 und muss A ∙ (2n + 1) + B mit n = 1 und A = 1 erfüllen, dh:

2 = 1 ≤ (2 ≤ 1 + 1) + B.

Wenn wir nach B lösen, erhalten wir: B = -1

Dann ist der erste Term von S (n = 1) 1 wert, dh: 1 = A ∙ 1 ² + B ∙ 1 + C. Da wir bereits wissen, dass A = 1 und B = -1, haben wir:

1 = 1 ≤ 1 ² + (-1) ≤ 1 + C.

Wenn wir nach C auflösen, erhalten wir seinen Wert: C = 1.

Zusammenfassend:

A = 1, B = -1 und C = 1

Dann ist der n-te Term T _n = n ² - n + 1

ii) Der dritte Term T ₃ = 3 ² - 3 + 1 = 7 und er wird verifiziert. Das fünfte T ₅ = 5 ² - 5 + 1 = 21, das ebenfalls verifiziert wird.

iii) Der zehnte Term ist T ₁₀ = 10 ² - 10 + 1 = 91.

Übung 3

Reihenfolge der Bereiche für Übung 3. Quelle: eigene Ausarbeitung.

Die Figur zeigt eine Folge von fünf Figuren. Das Gitter repräsentiert die Längeneinheit.

i) Bestimmen Sie die Reihenfolge für den Bereich der Figuren.

ii) Zeigen Sie, dass es sich um eine quadratische Folge handelt.

iii) Finden Sie den Bereich von 10 (nicht gezeigt).

Antworten

i) Die dem Bereich der Figurenfolge entsprechende Folge S ist:

S = {0, 2, 6, 12, 20,. . . . . }}

ii) Die Sequenz, die den aufeinanderfolgenden Unterschieden der Terme von S entspricht, ist:

S _diff = {2, 4, 6, 8,. . . . . }}

Da der Unterschied zwischen aufeinanderfolgenden Termen nicht konstant ist, ist S keine reguläre Sequenz. Es bleibt zu wissen, ob es quadratisch ist, wofür wir erneut die Reihenfolge der Unterschiede durchführen und erhalten:

{2, 2, 2, …….}

Da sich alle Terme der Sequenz wiederholen, wird bestätigt, dass S eine quadratische Sequenz ist.

iii) Die Folge S _dif ist regulär und ihr Verhältnis R ist 2. Unter Verwendung der oben gezeigten Gleichung R = 2 ∙ A bleibt es:

2 = 2 ∙ A, was bedeutet, dass A = 1 ist.

Der zweite Term der Folge von Differenzen S _Dif ist 4 und der n-te Term von S _Dif ist

A ∙ (2n + 1) + B.

Der zweite Term hat n = 2. Darüber hinaus wurde bereits festgestellt, dass A = 1 ist. Unter Verwendung der vorherigen Gleichung und Ersetzen haben wir also:

4 = 1 ≤ (2 ≤ 2 + 1) + B.

Wenn wir nach B auflösen, erhalten wir: B = -1.

Es ist bekannt, dass der zweite Term von S 2 wert ist und dass er die Formel des allgemeinen Terms mit n = 2 erfüllen muss:

T _n = A ≤ n ² + B ≤ n + C; n = 2; A = 1; B = -1; T ₂ = 2

Das heißt

2 = 1 ≤ 2 ² - 1 ≤ 2 + C.

Es wird geschlossen, dass C = 0 ist, das heißt, dass die Formel, die den allgemeinen Term der Sequenz S ergibt, lautet:

T _n = 1 ≤ n ² - 1 ≤ n + 0 = n ² - n

Nun ist die fünfte Amtszeit verifiziert:

T ₅ = 5 ² - 5 = 20

iii) Fig. 10, die hier nicht gezeichnet wurde, hat die Fläche, die dem zehnten Term der Sequenz S entspricht:

T ₁₀ = 10 ² - 10 = 90

Verweise

1. https://www.geogebra.org