OKTALSYSTEM: VERLAUF, NUMMERIERUNGSSYSTEM, UMRECHNUNGEN - MATHE - 2025

Das Oktalsystem ist ein Positionsnummerierungssystem der Basis 8 (8); Das heißt, es besteht aus acht Ziffern: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 und 7. Daher kann jede Ziffer einer Oktalzahl einen beliebigen Wert von 0 bis 7 haben. Die Oktalzahlen Sie werden aus Binärzahlen gebildet.

Dies ist so, weil seine Basis eine exakte Zweierpotenz ist (2). Das heißt, die Zahlen, die zum Oktalsystem gehören, werden gebildet, wenn sie in drei aufeinanderfolgende Ziffern gruppiert werden, die von rechts nach links geordnet sind, wodurch ihr Dezimalwert erhalten wird.

Geschichte

Das Oktalsystem hat seinen Ursprung in der Antike, als Menschen mit ihren Händen Tiere von acht bis acht zählten.

Um zum Beispiel die Anzahl der Kühe in einem Stall zu zählen, begann man mit der rechten Hand zu zählen und verband den Daumen mit dem kleinen Finger; Um das zweite Tier zu zählen, wurde der Daumen mit dem Zeigefinger usw. mit den verbleibenden Fingern jeder Hand verbunden, bis 8 abgeschlossen war.

Es besteht die Möglichkeit, dass in der Antike das oktale Nummerierungssystem vor der Dezimalstelle verwendet wurde, um Interdigitalräume zählen zu können. Das heißt, zählen Sie alle Finger außer Daumen.

Später wurde das oktale Nummerierungssystem eingeführt, das aus dem Binärsystem stammt, da es viele Ziffern benötigt, um nur eine Zahl darzustellen. Von da an wurden oktale und hexagonale Systeme erstellt, die nicht so viele Ziffern benötigen und leicht in das Binärsystem konvertiert werden können.

Oktal-Nummerierungssystem

Das Oktalsystem besteht aus acht Ziffern von 0 bis 7. Diese haben den gleichen Wert wie im Fall des Dezimalsystems, aber ihr relativer Wert ändert sich abhängig von der Position, die sie einnehmen. Der Wert jeder Position wird durch die Potenzen der Basis 8 angegeben.

Die Positionen der Ziffern in einer Oktalzahl haben die folgenden Gewichte:

8 ⁴ , 8 ³ , 8 ² , 8 ¹ , 8 ⁰ , Oktalpunkt, 8 ^-1 , 8 ^-2 , 8 ^-3 , 8 ^-4 , 8 ^-5 .

Die größte Oktalstelle ist 7; Wenn also in diesem System gezählt wird, wird die Position einer Ziffer von 0 auf 7 erhöht. Wenn 7 erreicht ist, wird sie für die nächste Zählung auf 0 zurückgeführt. Auf diese Weise wird die nächste Ziffernposition erhöht. Um beispielsweise Sequenzen zu zählen, wird es im Oktalsystem sein:

• 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10.
• 53, 54, 55, 56, 57, 60.
• 375, 376, 377, 400.

Es gibt einen fundamentalen Satz, der auf das Oktalsystem angewendet wird und folgendermaßen ausgedrückt wird:

In diesem Ausdruck repräsentiert di die Ziffer multipliziert mit der Potenz der Basis 8, die den Stellenwert jeder Ziffer auf dieselbe Weise angibt, wie sie im Dezimalsystem geordnet ist.

Zum Beispiel haben Sie die Nummer 543.2. Um es in das Oktalsystem zu bringen, wird es wie folgt aufgeteilt:

N = ∑ = (5 · 64) + (4 · 8) + (2 · 1) + (2 · 0,125)

N = 320 + 32 + 2 + 0,25 = 354 + 0,25 _d

Wir haben also 543,2 _q = 354,25 _d . Der Index q gibt an, dass es sich um eine Oktalzahl handelt, die auch durch die Zahl 8 dargestellt werden kann. und der Index d bezieht sich auf die Dezimalzahl, die auch durch die Zahl 10 dargestellt werden kann.

Konvertierung vom Oktal- zum Dezimalsystem

Um eine Zahl aus dem Oktalsystem in ein Äquivalent im Dezimalsystem umzuwandeln, multiplizieren Sie einfach jede Oktalziffer mit ihrem Stellenwert, beginnend von rechts.

Beispiel 1

732 ₈ = (7 _* 8 ² ) + (3 _* 8 ¹ ) + (2 _* 8 ⁰ ) = (7 _* 64) + (3 _* 8) + (2 _* 1)

732 ₈ = 448 +24 +2

732 ₈ = 474 ₁₀

Beispiel 2

26,9 ₈ = (2 _* 8 ¹ ) + (6 _* 8 ⁰ ) + (9 _* 8 ^-1 ) = (2 _* 8) + (6 _* 1) + (9 _* 0,125)

26,9 ₈ = 16 + 6 + 1,125

26,9 ₈ = 23,125 ₁₀

Konvertierung vom Dezimal- zum Oktalsystem

Eine Dezimalzahl kann unter Verwendung der Methode der wiederholten Division in eine Oktalzahl umgewandelt werden, wobei die Dezimalzahl durch 8 geteilt wird, bis der Quotient gleich 0 ist, und die verbleibenden Reste jeder Division die Oktalzahl darstellen.

Die Residuen werden vom letzten zum ersten geordnet; Das heißt, der erste Rest ist die niedrigstwertige Ziffer der Oktalzahl. Auf diese Weise ist die höchstwertige Ziffer der letzte Rest.

Beispiel

Dezimalzahl Oktal 266 ₁₀

- Teilen Sie die Dezimalzahl 266 durch 8 = 266/8 = 33 + Rest von 2.

- Teilen Sie dann 33 durch 8 = 33/8 = 4 + Rest von 1.

- Teilen Sie 4 durch 8 = 4/8 = 0 + Rest von 4.

Wie bei der letzten Division wird ein Quotient kleiner als 1 erhalten, was bedeutet, dass das Ergebnis gefunden wurde; Sie müssen die Reste nur umgekehrt anordnen, so dass die Oktalzahl der Dezimalstelle 266 412 beträgt, wie im folgenden Bild zu sehen ist:

Konvertierung vom Oktal- zum Binärsystem

Das Konvertieren von Oktal in Binär erfolgt durch Konvertieren der Oktalziffer in die entsprechende Binärziffer, die aus drei Ziffern besteht. Es gibt eine Tabelle, die zeigt, wie die acht möglichen Ziffern konvertiert werden:

Aus diesen Konvertierungen kann eine beliebige Zahl aus dem Oktalsystem in eine Binärzahl geändert werden, um beispielsweise die Zahl 572 ₈ umzuwandeln , deren Äquivalente in der Tabelle gesucht werden. Sie müssen also:

5 ₈ = 101

7 ₈ = 111

2 ₈ = 10

Daher entspricht 572 ₈ im Binärsystem 10111110.

Konvertieren von binär nach oktal

Das Konvertieren von binären Ganzzahlen in oktale Ganzzahlen ist die Umkehrung des vorherigen Prozesses.

Das heißt, die Bits der Binärzahl werden von rechts nach links in zwei Gruppen von drei Bits gruppiert. Dann erfolgt die Konvertierung von binär nach oktal mit der obigen Tabelle.

In einigen Fällen hat die Binärzahl keine Gruppen von 3 Bits; Um dies zu vervollständigen, werden links von der ersten Gruppe ein oder zwei Nullen hinzugefügt.

Gehen Sie wie folgt vor, um die Binärzahl 11010110 in Oktal zu ändern:

- Gruppen von 3 Bits werden beginnend von rechts (letztes Bit) gebildet:

11010110

- Da die erste Gruppe unvollständig ist, wird eine führende Null hinzugefügt:

011010110

- Die Umrechnung erfolgt aus der Tabelle:

011 = 3

010 = 2

110 = 6

Somit ist die Binärzahl 011010110 gleich 326 ₈ .

Konvertieren von oktal nach hexadezimal und umgekehrt

Um von einer Oktalzahl zum Hexadezimalsystem oder von einer Hexadezimalzahl zum Oktalsystem zu wechseln, muss zuerst die Zahl in eine Binärzahl und dann in das gewünschte System konvertiert werden.

Zu diesem Zweck gibt es eine Tabelle, in der jede hexadezimale Ziffer mit ihrem Äquivalent im Binärsystem dargestellt wird, das aus vier Ziffern besteht.

In einigen Fällen hat die Binärzahl keine Gruppen von 4 Bits. Um dies zu vervollständigen, werden links von der ersten Gruppe ein oder zwei Nullen hinzugefügt

Beispiel

Konvertieren Sie die Oktalzahl 1646 in eine Hexadezimalzahl:

- Konvertieren Sie die Zahl von oktal in binär

1 ₈ = 1

6 ₈ = 110

4 ₈ = 100

6 ₈ = 110

- Also, 1646 ₈ = 1110100110.

- Um von binär nach hexadezimal zu konvertieren, werden sie zuerst in einer Gruppe von 4 Bits von rechts nach links angeordnet:

11 1010 0110

- Die erste Gruppe wird mit Nullen vervollständigt, so dass sie 4 Bits haben kann:

0011 1010 0110

- Die Konvertierung von binär nach hexadezimal erfolgt. Die Äquivalenzen werden durch die Tabelle ersetzt:

0011 = 3

1010 = A.

0110 = 6

Somit ist die Oktalzahl 1646 im Hexadezimalsystem gleich 3A6.

Verweise

1. Bressan, AE (1995). Einführung in Nummerierungssysteme. Argentinische Universität des Unternehmens.
2. Harris, JN (1957). Einführung in die binären und oktalen Nummerierungssysteme: Lexington, Mass. Armed Services Technical Information Agency.
3. Kumar, AA (2016). Grundlagen digitaler Schaltungen. Lernen Pvt.
4. Peris, XC (2009). Einzelne Betriebssysteme.
5. Ronald J. Tocci, NS (2003). Digitale Systeme: Prinzipien und Anwendungen. Pearson Ausbildung.