ZENTRALE SYMMETRIE: EIGENSCHAFTEN, BEISPIELE UND ÜBUNGEN - MATHE - 2025

Zwei Punkte A und A 'haben eine zentrale Symmetrie in Bezug auf einen Punkt O, wenn das Segment AA' durch ihn hindurchgeht und es auch der Mittelpunkt von AA 'ist. Punkt O wird als Symmetriezentrum bezeichnet.

Die zentrale Symmetrie eines Dreiecks ABC in Bezug auf einen Punkt O ist ein weiteres Dreieck A'B'C ', das die folgenden Eigenschaften aufweist:

-Homologe Segmente sind gleich lang

- Ihre entsprechenden Winkel haben das gleiche Maß.

Figure 1. Dreieck ABC und sein symmetrisches A'B'C '. Quelle: F. Zapata.

1 zeigt ein Dreieck ABC (rot) und seine zentrale Symmetrie A'B'C '(grün) in Bezug auf das Symmetriezentrum O.

In derselben Figur würde ein aufmerksamer Beobachter erkennen, dass das gleiche Ergebnis durch Anwenden einer Drehung des ursprünglichen Dreiecks erhalten wird, solange es 180º beträgt und bei O zentriert ist.

Daher entspricht eine zentrale Symmetrie einer 180 ° -Drehung in Bezug auf das Symmetriezentrum.

Eigenschaften der zentralen Symmetrie

Eine zentrale Symmetrie hat folgende Eigenschaften:

-Das Symmetriezentrum ist der Mittelpunkt des Segments, das einen Punkt mit seiner Symmetrie verbindet.

- Ein symmetrischer Punkt eines anderen, der sich im Symmetriezentrum befindet, fällt mit dem Symmetriezentrum zusammen.

-Die zentrale Symmetrie eines Dreiecks ist ein kongruentes Dreieck (gleich) zum Original.

-Das Bild durch zentrale Symmetrie eines Kreises ist ein weiterer Kreis mit gleichem Radius.

- Ein Umfang hat eine zentrale Symmetrie in Bezug auf sein eigenes Zentrum.

Abbildung 2. Design mit zentraler Symmetrie. Quelle: Pixabay.

-Die Ellipse hat eine zentrale Symmetrie in Bezug auf ihre Mitte.

- Ein Segment hat eine zentrale Symmetrie in Bezug auf seinen Mittelpunkt.

-Das gleichseitige Dreieck hat keine zentrale Symmetrie in Bezug auf sein Zentrum, da seine Symmetrie, obwohl sie mit dem ersten kongruent ist, ein gedrehtes gleichseitiges Dreieck ergibt.

-Die Quadrate haben eine zentrale Symmetrie in Bezug auf ihre Mitte.

- Ein Fünfeck weist keine zentrale Symmetrie in Bezug auf sein Zentrum auf.

-Reguläre Polygone haben eine zentrale Symmetrie, wenn sie eine gerade Anzahl von Seiten haben.

Beispiele

Symmetriekriterien haben viele Anwendungen in Wissenschaft und Technik. In der Natur ist eine zentrale Symmetrie vorhanden, beispielsweise haben Eiskristalle und Spinnweben diese Art von Symmetrie.

Darüber hinaus lassen sich viele Probleme leicht lösen, wenn die Existenz einer zentralen Symmetrie und anderer Arten von Symmetrie ausgenutzt wird. Daher ist es bequem, schnell zu erkennen, wann es auftritt.

Figure 3. Eiskristalle haben eine zentrale Symmetrie. Quelle: Pixabay.

Beispiel 1

Bei einem gegebenen Punkt P der Koordinaten (a, b) müssen wir die Koordinaten seines symmetrischen P 'in Bezug auf den Ursprung O der Koordinaten (0, 0) finden.

Das erste ist, den Punkt P 'zu konstruieren, für den eine Linie gezeichnet wird, die durch den Ursprung O und durch den Punkt P verläuft. Die Gleichung dieser Linie lautet y = (b / a) x.

Nennen wir nun (a ', b') die Koordinaten des symmetrischen Punktes P '. Der Punkt P 'muss auf der Linie liegen, die durch O verläuft, und daher ist es wahr: b' = (b / a) a '. Außerdem muss der Abstand OP gleich OP 'sein, der in analytischer Form folgendermaßen geschrieben ist:

√ (a ² + b ² ) = √ (a ' ² + b' ² )

Das Folgende ist, b '= im vorherigen Ausdruck zu ersetzen und beide Seiten der Gleichheit zu quadrieren, um die Quadratwurzel zu eliminieren: (a ² + b ² ) =

Durch Extrahieren des gemeinsamen Faktors und Vereinfachen erhalten wir, dass a ' ² = a ^{2 ist} . Diese Gleichung hat zwei reale Lösungen: a '= + a oder a' = -a.

Um b 'zu erhalten, verwenden wir wieder b' = (b / a) a '. Wenn die positive Lösung von a 'ersetzt wird, kommen wir zu b' = b. Und wenn die negative Lösung substituiert ist, dann ist b '= -b.

Die positive Lösung ergibt für P 'den gleichen Punkt P, so dass es verworfen wird. Die negative Lösung gibt definitiv die Koordinaten des symmetrischen Punktes an:

P ': (-a, -b)

Beispiel 2

Es muss gezeigt werden, dass ein Segment AB und sein zentrales symmetrisches A'B 'die gleiche Länge haben.

Beginnend mit den Koordinaten von Punkt A (Ax, Ay) und denen von Punkt B: (Bx, By) ist die Länge des Segments AB gegeben durch:

d (AB) = √ ((Bx - Ax) ² + (By - Ay) ² )

In Analogie dazu hat das symmetrische Segment A'B 'eine Länge, die gegeben ist durch:

d (A'B ') = √ ((Bx' - Ax ') ² + (By' - Ay ') ² )

Die Koordinaten des symmetrischen Punktes A 'sind Ax' = -Ax und Ay '= -Ay. In ähnlicher Weise sind die von B 'Bx' = -Bx und By '= -By. Wenn diese Koordinaten in der Gleichung des Abstandes d (A'B ') eingesetzt werden, haben wir:

d (A'B ') = √ ((-Bx + Ax) ² + (-By + Ay) ² ), was äquivalent ist zu:

√ ((Bx - Ax) ² + (By - Ay) ² ) = d (AB)

Somit wird gezeigt, dass beide Segmente die gleiche Länge haben.

Gelöste Übungen

- Übung 1

Zeigen Sie analytisch, dass das zentrale symmetrische O eines Kreises mit Radius R und Mittelpunkt O der gleiche ursprüngliche Kreis ist.

Lösung

Die Gleichung eines Kreises mit Radius R und Mittelpunkt O (0,0) lautet:

x ² + y ² = R ² (Gleichung des Umfangs C)

Wenn an jedem Punkt P des Umfangs y der Koordinaten (x, y) sein symmetrisches P 'der Koordinaten (x', y ') gefunden wird, lautet die Gleichung des symmetrischen Umfangs:

x ' ² + y' ² = R ² (Gleichung des symmetrischen Kreises C ')

Wir beziehen uns nun auf das Ergebnis von Beispiel 1, in dem geschlossen wird, dass die Koordinaten eines Punktes P ', symmetrisch zu P und mit den Koordinaten (a, b), (-a, -b) sind.

In dieser Übung hat Punkt P Koordinaten (x, y), sodass sein symmetrisches P 'die Koordinaten x' = -xe y '= -y hat. Wenn wir dies in die Gleichung des symmetrischen Kreises einsetzen, haben wir:

(-x) ² + (-y) ² = R ²

Dies entspricht: x ² + y ² = R ² , was zu dem Schluss führt, dass die zentrale Symmetrie eines Kreises in Bezug auf seinen Mittelpunkt der Kreis selbst ist.

- Übung 2

Zeigen Sie in geometrischer Form, dass die zentrale Symmetrie die Winkel beibehält.

Lösung

Abbildung 4. Konstruktion der symmetrischen Punkte für Übung 2. Quelle: F. Zapata.

Es gibt drei Punkte A, B und C in der Ebene. Seine Symmetrien A ', B' und C 'sind in Bezug auf das Symmetriezentrum O konstruiert, wie in 4 gezeigt.

Nun müssen wir zeigen, dass der Winkel ∡ABC = β das gleiche Maß hat wie der Winkel ∡A'B'C '= β'.

Da C und C 'symmetrisch sind, ist OC = OC'. Ebenso OB = OB 'und OA = OA'. Andererseits ist der Winkel ∡BOC = ∡B'OC ', weil ihnen der Scheitelpunkt gegenübersteht.

Daher sind die Dreiecke BOC und B'OC 'kongruent, weil sie einen gleichen Winkel zwischen zwei gleichen Seiten haben.

Da BOC zu B'OC 'kongruent ist, sind die Winkel γ und γ' gleich. Diese Winkel sind jedoch zusätzlich zur Erfüllung von γ = γ 'interne Alternativen zwischen den Linien BC und B'C', was impliziert, dass die Linie BC parallel zu B'C 'ist.

In ähnlicher Weise ist BOA kongruent zu B'OA ', woraus folgt, dass α = α' ist. Aber α und α 'sind abwechselnde Innenwinkel zwischen den Linien BA und B'A', woraus geschlossen wird, dass die Linie BA parallel zu B'A 'ist.

Da die Seiten des Winkels ∡ABC = β parallel zum Winkel ∡A'B'C '= β' sind und auch beide spitz sind, wird der Schluss gezogen, dass:

∡ABC = ∡A'B'C '= β = β'

Auf diese Weise wird bewiesen, dass die zentrale Symmetrie das Maß der Winkel bewahrt.

Verweise

1. Baldor, JA 1973. Ebenen- und Raumgeometrie. Zentralamerikanisches Kultur.
2. Mathematische Gesetze und Formeln. Winkelmesssysteme. Wiederhergestellt von: ingemecanica.com.
3. Wentworth, G. Flugzeuggeometrie. Wiederhergestellt von: gutenberg.org.
4. Wikipedia. Zentrale Symmetrie. Wiederhergestellt von: es.wikipedia.com
5. Wikipedia. Förderer. Wiederhergestellt von: es.wikipedia.com
6. Zapata F. Konjugieren Sie Innen- und Außenwinkel. Wiederhergestellt von: lifeder.com