AXIALSYMMETRIE: EIGENSCHAFTEN, BEISPIELE UND ÜBUNGEN - MATHE - 2025

Die axiale Symmetrie liegt vor, wenn die Punkte einer Figur mit den Punkten einer anderen Figur durch eine gerade Winkelhalbierende übereinstimmen, die als Symmetrieachse bezeichnet wird. Es wird auch als radiale, rotatorische oder zylindrische Symmetrie bezeichnet.

Es wird normalerweise in geometrischen Figuren angewendet, ist aber in der Natur leicht zu beobachten, da es Tiere wie Schmetterlinge, Skorpione, Marienkäfer oder Menschen gibt, die axiale Symmetrie aufweisen.

Die axiale Symmetrie ist auf diesem Foto der Skyline von Toronto und ihrer Reflexion im Wasser zu sehen. (Quelle: pixabay)

So finden Sie axialsymmetrisch

Um die axiale Symmetrie P 'eines Punktes P in Bezug auf eine Linie (L) zu finden, werden die folgenden geometrischen Operationen ausgeführt:

1.- Die Senkrechte zu der Linie (L), die durch Punkt P verläuft.

2.- Das Abfangen der beiden Linien bestimmt einen Punkt O.

3.- Die Länge des Segments PO wird gemessen, dann wird diese Länge von O in Richtung von P nach O auf die Linie (PO) kopiert, um den Punkt P 'zu bestimmen.

4.- Punkt P 'ist die axiale Symmetrie von Punkt P in Bezug auf die Achse (L), da die Linie (L) die Winkelhalbierende des Segments PP' ist und O der Mittelpunkt des Segments ist.

Abbildung 1. Zwei Punkte P und P 'sind axialsymmetrisch zu einer Achse (L), wenn diese Achse eine Winkelhalbierende des Segments PP' ist.

Eigenschaften der axialen Symmetrie

- Die axiale Symmetrie ist isometrisch, dh die Abstände einer geometrischen Figur und ihre entsprechende Symmetrie bleiben erhalten.

- Das Maß eines Winkels und seine Symmetrie sind gleich.

- Die axiale Symmetrie eines Punktes auf der Symmetrieachse ist der Punkt selbst.

- Die symmetrische Linie einer Linie parallel zur Symmetrieachse ist auch eine Linie parallel zu dieser Achse.

- Eine Sekantenlinie zur Symmetrieachse hat als symmetrische Linie eine weitere Sekantenlinie, die ihrerseits die Symmetrieachse am gleichen Punkt der ursprünglichen Linie schneidet.

- Das symmetrische Bild einer Linie ist eine weitere Linie, die mit der Symmetrieachse einen Winkel bildet, der dem der ursprünglichen Linie entspricht.

- Das symmetrische Bild einer Linie senkrecht zur Symmetrieachse ist eine weitere Linie, die die erste überlappt.

- Eine Linie und ihre axialsymmetrische Linie bilden einen Winkel, dessen Winkelhalbierende die Symmetrieachse ist.

Abbildung 2. Die axiale Symmetrie bewahrt Abstände und Winkel.

Beispiele für axiale Symmetrie

Die Natur weist zahlreiche Beispiele für axiale Symmetrie auf. Zum Beispiel können Sie unter anderem die Symmetrie von Gesichtern, Insekten wie Schmetterlingen, die Reflexion auf ruhigen Wasseroberflächen und Spiegeln oder die Blätter von Pflanzen sehen.

Abbildung 3. Dieser Schmetterling weist eine nahezu perfekte axiale Symmetrie auf. (Quelle: pixabay)

Abbildung 4. Das Gesicht dieses Mädchens hat axiale Symmetrie. (Quelle: pixabay)

Axialsymmetrieübungen

Übung 1

Wir haben das Dreieck der Eckpunkte A, B und C, deren kartesische Koordinaten A = (2, 5), B = (1, 1) bzw. C = (3,3) sind. Finden Sie die kartesischen Koordinaten des Dreiecks symmetrisch zur Y-Achse (Ordinatenachse).

Lösung: Wenn ein Punkt P Koordinaten (x, y) hat, ist seine Symmetrie um die Ordinatenachse (Y-Achse) P '= (- x, y). Mit anderen Worten, der Wert seiner Abszisse ändert das Vorzeichen, während der Wert der Ordinate gleich bleibt.

In diesem Fall hat das symmetrische Dreieck mit den Eckpunkten A ', B' und C 'Koordinaten:

A '= (- 2, 5); B '= (- 1, 1) und C' = (- 3, 3), wie in 6 zu sehen ist.

Abbildung 6. Wenn ein Punkt Koordinaten (x, y) hat, hat seine Symmetrie zur Y-Achse (Ordinatenachse) Koordinaten (-x, y).

Übung 2

Überprüfen Sie anhand des Dreiecks ABC und seines symmetrischen A'B'C 'aus Übung 1, ob die entsprechenden Seiten des ursprünglichen Dreiecks und seines symmetrischen Dreiecks dieselbe Länge haben.

Lösung: Um den Abstand oder die Länge der Seiten zu ermitteln, verwenden wir die euklidische Abstandsformel:

d (A, B) = √ ((Bx - Ax) ^ 2 + (By - Ay) ^ 2) = √ ((1-2) ^ 2 + (1-5) ^ 2) = √ ((- 1) ) ^ 2 + (-4) ^ 2) = √ (17) = 4,123

Die Länge der entsprechenden symmetrischen Seite A'B 'wird nachstehend berechnet:

d (A ', B') = √ ((Bx'-Ax ') ^ 2 + (By'-Ay') ^ 2) = √ ((- 1 + 2) ^ 2 + (1-5) ^ 2 ) = √ ((1) ^ 2 + (-4) ^ 2) = √ (17) = 4,123

Auf diese Weise wird überprüft, ob die axiale Symmetrie den Abstand zwischen zwei Punkten beibehält. Der Vorgang kann für die beiden anderen Seiten des Dreiecks und dessen Symmetrie wiederholt werden, um die Invarianz in der Länge zu überprüfen. Zum Beispiel -AC- = -A'C'- = √5 = 2,236.

Übung 3

Überprüfen Sie in Bezug auf das Dreieck ABC und sein symmetrisches A'B'C 'aus Übung 1, ob die entsprechenden Winkel des ursprünglichen Dreiecks und seines symmetrischen Dreiecks das gleiche Winkelmaß haben.

Lösung: Um die Maße der Winkel BAC und B'A'C 'zu bestimmen, berechnen wir zuerst das Skalarprodukt der Vektoren AB mit AC und dann das Skalarprodukt von A'B' mit A'C ' .

Daran erinnern:

A = (2, 5), B = (1, 1) und C = (3,3)

A '= (- 2, 5); B '= (- 1, 1) und C' = (- 3, 3).

Es hat:

AB = <1-2, 1-5> und AC = <3-2, 3-5>

ähnlich

A'B ' = <-1 + 2, 1-5> und AC = <-3 + 2, 3-5>

Dann werden die folgenden skalaren Produkte gefunden:

AB⋅AC = <-1, -4> ⋅ <1, -2> = -1⋅1 + (-4) ⋅ (-2) = -1 + 8 = 7

Ähnlich

A'B'⋅A'C ' = <1, -4> ⋅ <-1, -2> = 1⋅ (-1) + (-4) ⋅ (-2) = -1 + 8 = 7

Das Maß für den Winkel BAC ist:

∡BAC = ArcCos ( AB⋅AC / (- AB- ⋅- AC- )) =

ArcCos (7 / (4,123⋅2,236)) = 40,6º

In ähnlicher Weise ist das Maß des Winkels B'A'C ':

∡B'A'C '= ArcCos ( A'B'⋅A'C' / (- A'B'- ⋅- A'C'- )) =

ArcCos (7 / (4,123⋅2,236)) = 40,6º

Daraus folgt, dass die axiale Symmetrie das Maß der Winkel beibehält.

Übung 4

Ein Punkt P habe Koordinaten (a, b). Finden Sie die Koordinaten seiner axialen Symmetrie P 'in Bezug auf die Linie y = x.

Lösung: Wir nennen (a ', b') die Koordinaten des symmetrischen Punktes P 'in Bezug auf die Linie y = x. Der Mittelpunkt M des Segments PP 'hat Koordinaten ((a + a') / 2, (b + b ') / 2) und liegt auch auf der Linie y = x, so dass die folgende Gleichheit gilt:

a + a '= b + b'

Andererseits hat das Segment PP 'eine Steigung -1, weil es senkrecht zur Linie y = x mit Steigung 1 ist, so dass die folgende Gleichheit gilt:

b - b '= a' - a

Nach den beiden vorhergehenden Gleichungen a 'und b' wird geschlossen, dass:

a '= dadurch b' = a.

Das heißt, wenn ein Punkt P (a, b) gegeben ist, ist seine axiale Symmetrie in Bezug auf die Linie y = x P '(b, a).

Verweise

1. Arce M., Blázquez S und andere. Transformationen der Ebene. Wiederhergestellt von: Educutmxli.files.wordpress.com
2. Berechnung cc. Axiale Symmetrie. Wiederhergestellt von: calculo.cc
3. Superprof. Axiale Symmetrie. Wiederhergestellt von: superprof.es
4. Wikipedia. Axiale Symmetrie. Wiederhergestellt von: es.wikipedia.com
5. Wikipedia. Kreissymmetrie. Wiederhergestellt von: en.wikipedia.com