POTENZREIHEN: BEISPIELE UND ÜBUNGEN - MATHE - 2025

Eine Potenzreihe besteht aus einer Summe von Termen in Form von Potenzen der Variablen x oder allgemeiner von xc, wobei c eine konstante reelle Zahl ist. In der Summationsnotation wird eine Reihe von Potenzen wie folgt ausgedrückt:

Wobei die Koeffizienten a _o , a ₁ , a ₂ … reelle Zahlen sind und die Reihe bei n = 0 beginnt.

Abbildung 1. Definition einer Potenzreihe. Quelle: F. Zapata.

Diese Reihe konzentriert sich auf den Wert c, der konstant ist. Sie können jedoch wählen, dass c gleich 0 ist. In diesem Fall vereinfacht sich die Potenzreihe zu:

Die Reihe beginnt mit a _oder (xc) ⁰ bzw. a _oder x ⁰ . Aber wir wissen das:

(xc) ⁰ = x ⁰ = 1

Daher ist a _o (xc) ⁰ = a _oder x ⁰ = a _o (unabhängiger Term)

Das Gute an Potenzreihen ist, dass Funktionen mit ihnen ausgedrückt werden können, und dies hat viele Vorteile, insbesondere wenn Sie mit einer komplizierten Funktion arbeiten möchten.

Wenn dies der Fall ist, verwenden Sie anstelle der direkten Verwendung der Funktion die Potenzreihenerweiterung, die sich leichter ableiten, integrieren oder numerisch arbeiten lässt.

Natürlich hängt alles von der Konvergenz der Serien ab. Eine Reihe konvergiert, wenn eine bestimmte große Anzahl von Begriffen hinzugefügt wird, was einen festen Wert ergibt. Und wenn wir noch weitere Begriffe hinzufügen, erhalten wir diesen Wert weiterhin.

Funktioniert als Potenzreihe

Als Beispiel für eine Funktion, die als Potenzreihe ausgedrückt wird, nehmen wir f (x) = e ^x .

Diese Funktion kann in Form einer Reihe von Potenzen wie folgt ausgedrückt werden:

und ^x ≈ 1 + x + (x ² /2 spielen !) + (x ³ /3 treffen ) + (x ⁴ /4 treffen ) + (x ⁵ /5 treffen ) + …

Wo! = n. (n-1). (n-2). (n-3)… und es dauert 0! = 1.

Wir werden mit Hilfe eines Taschenrechners prüfen, ob die Reihe tatsächlich mit der explizit angegebenen Funktion übereinstimmt. Beginnen wir zum Beispiel damit, x = 0 zu machen.

Wir wissen, dass e ⁰ = 1. Mal sehen, was die Serie macht:

und ⁰ ≈ 1 + 0 + (0 ² /2 spielen !) + (0 ³ /3 treffen ) + (0 ⁴ /4 treffen ) + (0 ⁵ /5 treffen ) + … = 1

Und jetzt versuchen wir x = 1. Ein Taschenrechner gibt e ¹ = 2,71828 zurück und vergleicht dann mit der Reihe:

und ¹ ≈ 1 + 1 + (1 ² /2) + (1 ³ /3 treffen ) + (1 ⁴ /4 treffen ) + (1 ⁵ /5 treffen ) + … = 2 + 0,5000 + 0,1667 + 0,0417 + 0,0083 +… ≈ 2.7167

Mit nur 5 Begriffen haben wir bereits eine genaue Übereinstimmung in e ≈ 2.71. Unsere Serie hat nur noch ein wenig zu tun, aber wenn weitere Begriffe hinzugefügt werden, konvergiert die Serie sicherlich gegen den exakten Wert von e. Die Darstellung ist genau, wenn n → ∞.

Wenn die vorherige Analyse für n = 2 wiederholt wird, werden sehr ähnliche Ergebnisse erhalten.

Auf diese Weise sind wir sicher, dass die Exponentialfunktion f (x) = e ^x durch diese Reihe von Potenzen dargestellt werden kann:

Abbildung 2. In dieser Animation können wir sehen, wie sich die Potenzreihe der Exponentialfunktion nähert, wenn mehr Begriffe verwendet werden. Quelle: Wikimedia Commons.

Geometrische Potenzreihe

Die Funktion f (x) = e ^x ist nicht die einzige Funktion, die eine Potenzreihendarstellung unterstützt. Zum Beispiel sieht die Funktion f (x) = 1/1 - x der bekannten konvergenten geometrischen Reihe sehr ähnlich:

Es reicht aus, a = 1 und r = x zu machen, um eine für diese Funktion geeignete Reihe zu erhalten, die bei c = 0 zentriert ist:

Es ist jedoch bekannt, dass diese Reihe für │r│ <1 konvergent ist, daher ist die Darstellung nur im Intervall (-1,1) gültig, obwohl die Funktion für alle x außer x = 1 gültig ist.

Wenn Sie diese Funktion in einem anderen Bereich definieren möchten, konzentrieren Sie sich einfach auf einen geeigneten Wert und fertig.

So finden Sie die Reihenerweiterung der Potenzen einer Funktion

Jede Funktion kann in einer auf c zentrierten Potenzreihe entwickelt werden, solange sie Ableitungen aller Ordnungen bei x = c aufweist. Das Verfahren verwendet den folgenden Satz, der als Taylors Satz bezeichnet wird:

Sei f (x) eine Funktion mit Ableitungen der Ordnung n, bezeichnet als f ⁽ⁿ⁾ , die eine Reihenausdehnung der Potenzen im Intervall I zulässt. Seine serielle Entwicklung von Taylor ist:

Damit:

Wobei R _n , der n-te Term der Reihe, als Rest bezeichnet wird:

Wenn c = 0 ist, wird die Reihe als Maclaurin-Reihe bezeichnet.

Diese hier angegebene Reihe ist identisch mit der zu Beginn angegebenen Reihe, nur dass wir jetzt die Möglichkeit haben, die Koeffizienten jedes Terms explizit zu finden, gegeben durch:

Wir müssen jedoch sicherstellen, dass die Reihe zu der darzustellenden Funktion konvergiert. Es kommt vor, dass nicht jede Taylor-Reihe notwendigerweise gegen das f (x) konvergiert, das bei der Berechnung der Koeffizienten bei _n berücksichtigt wurde .

Dies geschieht, weil möglicherweise die Ableitungen der Funktion, die bei x = c ausgewertet werden, mit dem gleichen Wert der Ableitungen einer anderen übereinstimmen, auch bei x = c. In diesem Fall wären die Koeffizienten gleich, aber die Entwicklung wäre mehrdeutig, da nicht sicher ist, welcher Funktion sie entspricht.

Zum Glück gibt es einen Weg zu wissen:

Konvergenzkriterium

Um Mehrdeutigkeiten zu vermeiden, konvergiert die Reihe gegen f (x) , wenn R _n → 0 als n → ∞ für alle x im Intervall I gilt.

Übung

- Übung gelöst 1

Finden Sie die geometrische Potenzreihe für die Funktion f (x) = 1/2 - x zentriert bei c = 0.

Lösung

Die gegebene Funktion muss so ausgedrückt werden, dass sie so genau wie möglich mit 1/1-x übereinstimmt, dessen Reihe bekannt ist. Schreiben wir also Zähler und Nenner neu, ohne den ursprünglichen Ausdruck zu ändern:

1/2 - x = (1/2) /

Da ½ konstant ist, kommt es aus der Summation und wird in Form der neuen Variablen x / 2 geschrieben:

Beachten Sie, dass x = 2 nicht zum Bereich der Funktion gehört und gemäß dem im Abschnitt Geometric Power Series angegebenen Konvergenzkriterium die Erweiterung für │x / 2│ <1 oder äquivalent -2 <x <2 gültig ist.

- Übung gelöst 2

Finden Sie die ersten 5 Terme der Maclaurin-Reihenerweiterung der Funktion f (x) = sin x.

Lösung

Schritt 1

Erstens sind die Derivate:

-Derivat der Ordnung 0: Es ist die gleiche Funktion f (x) = sin x

-Erste Ableitung: (sin x) ´ = cos x

- Zweite Ableitung: (sin x) ´´ = (cos x) ´ = - sin x

-Dritte Ableitung: (sin x) ´´´ = (-sen x) ´ = - cos x

-Vierte Ableitung: (sin x) ´´´´ = (- cos x) ´ = sin x

Schritt 2

Dann wird jede Ableitung bei x = c bewertet, ebenso wie eine Maclaurin-Expansion, c = 0:

sin 0 = 0; cos 0 = 1; - sin 0 = 0; -cos 0 = -1; sin 0 = 0

Schritt 3

Die Koeffizienten a _{n werden konstruiert} ;

a _o = 0/0! = 0; a ₁ = 1/1! = 1; a ₂ = 0/2! = 0; a ₃ = -1 / 3 !; a ₄ = 0/4! = 0

Schritt 4

Schließlich wird die Serie zusammengestellt nach:

sin x ≈ 0.x ⁰ + 1. x ¹ + 0 .x ² - (1/3!) x ³ + 0.x ⁴ … = x - (1/3!)) x ³ +…

Benötigt der Leser mehr Begriffe? Wie viele mehr ist die Serie näher an der Funktion.

Beachten Sie, dass die Koeffizienten ein Muster enthalten, der nächste Term ungleich Null _{5 ist} und alle mit einem ungeraden Index ebenfalls von 0 abweichen und die Vorzeichen abwechseln, so dass:

sin x ≈ x - (1/3!)) x ³ + (1/5!)) x ⁵ - (1/7!)) x ⁷ +….

Es bleibt eine Übung, um zu überprüfen, ob es konvergiert. Das Quotientenkriterium kann für die Konvergenz von Reihen verwendet werden.

Verweise

1. CK-12-Stiftung. Power Series: Darstellung von Funktionen und Operationen. Wiederhergestellt von: ck12.org.
2. Engler, A. 2019. Integralrechnung. Nationale Universität des Litoral.
3. Larson, R. 2010. Berechnung einer Variablen. 9 .. Auflage. McGraw Hill.
4. Mathematik Freie Texte. Potenzreihen. Wiederhergestellt von: math.liibretexts.org.
5. Wikipedia. Potenzreihen. Wiederhergestellt von: es.wikipedia.org.