SIMPSONS REGEL: FORMEL, BEWEIS, BEISPIELE, ÜBUNGEN - MATHE - 2025

Die Simpson - Regel ist eine Methode zur Berechnung ungefähr bestimmter Integrale. Es basiert auf der Aufteilung des Integrationsintervalls in eine gerade Anzahl von gleich beabstandeten Teilintervallen.

Die Extremwerte zweier aufeinanderfolgender Teilintervalle definieren drei Punkte, an die eine Parabel passt, deren Gleichung ein Polynom zweiten Grades ist.

Abbildung 1. Bei der Simpson-Methode wird das Integrationsintervall in eine gerade Anzahl von Intervallen gleicher Breite unterteilt. Die Funktion wird in jeweils 2 Teilintervallen durch eine Parabel angenähert, und das Integral wird durch die Summe der Fläche unter den Parabeln angenähert. Quelle: upv.es.

Dann wird die Fläche unter der Kurve der Funktion in den zwei aufeinanderfolgenden Intervallen durch die Fläche des Interpolationspolynoms angenähert. Addiert man den Beitrag zur Fläche unter der Parabel aller aufeinanderfolgenden Teilintervalle, so ergibt sich der ungefähre Wert des Integrals.

Da andererseits das Integral einer Parabel algebraisch genau berechnet werden kann, ist es möglich, eine analytische Formel für den ungefähren Wert des bestimmten Integrals zu finden. Es ist als Simpson-Formel bekannt.

Der Fehler des so erhaltenen ungefähren Ergebnisses nimmt ab, wenn die Anzahl der Unterteilungen n größer ist (wobei n eine gerade Zahl ist).

Im Folgenden wird ein Ausdruck angegeben, der die Schätzung der Obergrenze des Fehlers der Approximation an das Integral I ermöglicht, wenn eine Partition von n regulären Teilintervallen des Gesamtintervalls vorgenommen wurde.

Formel

Das Integrationsintervall ist in n Teilintervalle unterteilt, wobei n eine gerade ganze Zahl ist. Die Breite jeder Unterteilung beträgt:

h = (b - a) / n

Auf diese Weise wird die Partition über das Intervall erstellt:

{X0, X1, X2, …, Xn-1, Xn}

Wobei X0 = a, X1 = X0 + h, X2 = X0 + 2h, …, Xn-1 = X0 + (n-1) h, Xn = X0 + nh = b.

Die Formel, die es erlaubt, das bestimmte Integral I der kontinuierlichen und vorzugsweise glatten Funktion im Intervall zu approximieren, lautet:

Demonstration

Um die Simpson-Formel zu erhalten, wird in jedem Teilintervall die Funktion f (X) durch ein Polynom zweiten Grades p (X) (Parabel) angenähert, das durch die drei Punkte verläuft:; und .

Dann wird das Integral des Polynoms p (x) berechnet, in dem es sich dem Integral der Funktion f (X) in diesem Intervall annähert.

Abbildung 2. Grafik zur Veranschaulichung der Simpson-Formel. Quelle: F. Zapata.

Koeffizienten des Interpolationspolynoms

Die Gleichung der Parabel p (X) hat die allgemeine Form: p (X) = AX ² + BX + C. Wenn die Parabel die rot gekennzeichneten Punkte Q durchläuft (siehe Abbildung), werden die Koeffizienten A, B, C. werden aus folgendem Gleichungssystem bestimmt:

A (-h) ² - Bh + C = f (Xi)

C = f (Xi + 1)

A (h) ² + Bh + C = f (Xi + 2)

Es ist ersichtlich, dass der Koeffizient C bestimmt wird. Um den Koeffizienten A zu bestimmen, addieren wir die erste und dritte Gleichung, wobei wir erhalten:

2 A h ² + 2 C = f (Xi) + f (Xi + 2).

Dann wird der Wert von C ersetzt und A wird gelöscht, wobei Folgendes übrig bleibt:

A = / (2 h ² )

Um den Koeffizienten B zu bestimmen, wird die dritte Gleichung von der ersten subtrahiert und B wird gelöst, wobei erhalten wird:

B = = 2 h.

Zusammenfassend hat das Polynom zweiten Grades p (X), das durch die Punkte Qi, Qi + 1 und Qi + 2 verläuft, Koeffizienten:

A = / (2 h ² )

B = = 2 h

C = f (Xi + 1)

Berechnung des ungefähren Integrals in

Ungefähre Berechnung des Integrals in

Wie bereits erwähnt, wird eine Partition {X0, X1, X2, …, Xn-1, Xn} für das gesamte Integrationsintervall mit Schritt h = Xi + 1 - Xi = (b - a) / n erstellt, wobei n ist eine gerade Zahl.

Approximationsfehler

Beachten Sie, dass der Fehler mit der vierten Potenz der Anzahl der Unterteilungen im Intervall abnimmt. Wenn Sie beispielsweise von n Unterteilungen zu 2n wechseln, verringert sich der Fehler um den Faktor 1/16.

Die Obergrenze des durch Simpsons Näherung erhaltenen Fehlers kann aus derselben Formel erhalten werden, wobei der maximale Absolutwert der vierten Ableitung im Intervall durch die vierte Ableitung ersetzt wird.

Arbeitsbeispiele

- Beispiel 1

Betrachten Sie die Funktion f (X) = 1 / (1 + X ² ).

Finden Sie das bestimmte Integral der Funktion f (X) im Intervall nach der Simpson-Methode mit zwei Unterteilungen (n = 2).

Lösung

Wir nehmen n = 2. Die Integrationsgrenzen sind a = -1 und b = -2, also sieht die Partition folgendermaßen aus:

X0 = -1; X1 = 0 und X2 = +1.

Daher hat die Simpson-Formel die folgende Form:

Abbildung 3. Beispiel für die numerische Integration nach der Simpson-Regel mithilfe von Software. Quelle: F. Zapata.

Verweise

1. Casteleiro, JM 2002. Umfassende Berechnung (illustrierte Ausgabe). Madrid: ESIC Editorial.
2. UPV. Simpsons Methode. Polytechnische Universität von Valencia. Wiederhergestellt von: youtube.com
3. Purcell, E. 2007. Calculus Ninth Edition. Prentice Hall.
4. Wikipedia. Simpsons Regel. Wiederhergestellt von: es.wikipedia.com
5. Wikipedia. Lagrange-Polynominterpolation. Wiederhergestellt von: es.wikipedia.com