REDUKTION GLEICHER BEGRIFFE (MIT GELÖSTEN ÜBUNGEN) - MATHE - 2025

Die Reduktion solcher Begriffe ist eine Methode zur Vereinfachung algebraischer Ausdrücke. In einem algebraischen Ausdruck sind gleiche Begriffe solche, die dieselbe Variable haben; Das heißt, sie haben dieselben Unbekannten, die durch einen Buchstaben dargestellt werden, und diese haben dieselben Exponenten.

In einigen Fällen sind die Polynome umfangreich, und um zu einer Lösung zu gelangen, muss versucht werden, den Ausdruck zu reduzieren. Dies ist möglich, wenn es ähnliche Begriffe gibt, die durch Anwenden von Operationen und algebraischen Eigenschaften wie Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division kombiniert werden können.

Erläuterung

Gleiche Terme bestehen aus denselben Variablen mit denselben Exponenten, und in einigen Fällen unterscheiden sich diese nur durch ihre numerischen Koeffizienten.

Ähnliche Begriffe werden auch als solche angesehen, die keine Variablen haben. das heißt, jene Begriffe, die nur Konstanten haben. So sind beispielsweise die folgenden Begriffe:

- 6x ² - 3x ² . Beide Terme haben dieselbe Variable x ² .

- 4a ² b ³ + 2a ² b ³ . Beide Terme haben die gleichen Variablen a ² b ³ .

- 7 - 6. Die Begriffe sind konstant.

Die Begriffe, die dieselben Variablen, aber unterschiedliche Exponenten haben, werden als unterschiedliche Begriffe bezeichnet, z.

- 9a ² b + 5ab. Variablen haben unterschiedliche Exponenten.

- 5x + y. Die Variablen sind unterschiedlich.

- b - 8. Ein Term hat eine Variable, der andere ist eine Konstante.

Indem ähnliche Begriffe identifiziert werden, die ein Polynom bilden, können diese auf einen reduziert werden, indem alle Begriffe mit denselben Variablen mit denselben Exponenten kombiniert werden. Auf diese Weise wird der Ausdruck vereinfacht, indem die Anzahl der Begriffe, aus denen er besteht, verringert und die Berechnung seiner Lösung erleichtert wird.

Wie kann man ähnliche Begriffe reduzieren?

Die Reduzierung gleicher Begriffe erfolgt durch Anwendung der assoziativen Additionseigenschaft und der Verteilungseigenschaft des Produkts. Mit dem folgenden Verfahren kann eine Laufzeitreduzierung durchgeführt werden:

- Zunächst werden gleiche Begriffe gruppiert.

- Die Koeffizienten (die Zahlen, die die Variablen begleiten) der gleichen Terme werden addiert oder subtrahiert, und die assoziativen, kommutativen oder verteilenden Eigenschaften werden angewendet, je nachdem.

- Dann werden die neuen Begriffe geschrieben und das Zeichen, das sich aus der Operation ergibt, vor sich platziert.

Beispiel

Reduzieren Sie die Begriffe des folgenden Ausdrucks: 10x + 3y + 4x + 5y.

Lösung

Zunächst werden die Begriffe so angeordnet, dass sie ähnliche gruppieren, wobei die kommutative Eigenschaft angewendet wird:

10x + 3y + 4x + 5y = 10x + 4x + 3y + 5y.

Dann wird die Verteilungseigenschaft angewendet und die Koeffizienten, die die Variablen begleiten, werden addiert, um die Reduktion der Terme zu erhalten:

10x + 4x + 3y + 5y

= (10 + 4) x + (3 + 5) y

= 14x + 8y.

Um ähnliche Terme zu reduzieren, ist es wichtig, die Vorzeichen der Koeffizienten zu berücksichtigen, die die Variable begleiten. Es gibt drei mögliche Fälle:

Reduktion gleicher Terme mit Gleichheitszeichen

In diesem Fall werden die Koeffizienten addiert und das Vorzeichen der Terme vor das Ergebnis gestellt. Wenn sie positiv sind, sind die resultierenden Bedingungen daher positiv. Wenn die Terme negativ sind, hat das Ergebnis das Vorzeichen (-), das von der Variablen begleitet wird. Beispielsweise:

a) 22ab ² + 12ab ² = 34 ab ² .

b) -18x ³ - 9x ³ - 6 = -27x ³ - 6.

Reduktion gleicher Begriffe c

In diesem Fall werden die Koeffizienten subtrahiert und das Vorzeichen des größten Koeffizienten vor das Ergebnis gestellt. Beispielsweise:

a) 15x ² y - 4x ² y + 6x ² y - 11x ² y

= (15x ² y + 6x ² y) + (- 4 x ² y - 11x ² y)

= 21 × ² y + (-15 × ² y)

= 21 × ² y - 15 × ² y

= 6x ² und.

b) -5a ³ b + 3 a ³ b - 4a ³ b + a ³ b

= (3 a ³ b + a ³ b) + (-5a ³ b - 4a ³ b)

= 4a ³ b - 9a ³ b

= -5 bis ³ b.

Um ähnliche Terme mit unterschiedlichen Vorzeichen zu reduzieren, wird ein einziger additiver Term mit allen Termen mit positivem Vorzeichen (+) gebildet, die Koeffizienten werden addiert und das Ergebnis wird von den Variablen begleitet.

Auf die gleiche Weise wird ein subtraktiver Term gebildet, wobei alle Terme, die ein negatives Vorzeichen (-) haben, die Koeffizienten addiert werden und das Ergebnis von den Variablen begleitet wird.

Schließlich werden die Summen der beiden gebildeten Terme subtrahiert und das Vorzeichen des Größeren auf das Ergebnis gesetzt.

Reduzierung gleicher Begriffe im Betrieb

Die Reduktion gleicher Terme ist eine Operation der Algebra, die zusätzlich angewendet werden kann: Subtraktion, Multiplikation und algebraische Division.

In Summen

Wenn Sie mehrere Polynome mit gleichen Begriffen haben, um sie zu reduzieren, werden die Terme jedes Polynoms unter Beibehaltung ihrer Vorzeichen angeordnet, dann werden sie nacheinander geschrieben und die gleichen Terme werden reduziert. Zum Beispiel haben wir die folgenden Polynome:

3x - 4xy + 7x ² und + 5xy ² .

- 6x ² y - 2xy + 9 xy ² - 8x.

In Subtraktion

Um ein Polynom von einem anderen zu subtrahieren, wird das Minuend geschrieben und dann das Subtrahend mit seinen Vorzeichen geändert, und dann wird die Reduktion der gleichen Terme durchgeführt. Beispielsweise:

5a ³ - 3ab ² + 3b ² c

6ab ² + 2a ³ - 8b ² c

Somit werden die Polynome zu 3a ³ - 9ab ² + 11b ² c zusammengefasst.

In Multiplikationen

In einem Produkt von Polynomen werden die Terme, aus denen der Multiplikand besteht, mit jedem Term multipliziert, aus dem der Multiplikator besteht, wobei berücksichtigt wird, dass die Vorzeichen der Multiplikation gleich bleiben, wenn sie positiv sind.

Sie werden nur geändert, wenn sie mit einem negativen Term multipliziert werden. Das heißt, wenn zwei Terme desselben Vorzeichens multipliziert werden, ist das Ergebnis positiv (+), und wenn sie unterschiedliche Vorzeichen haben, ist das Ergebnis negativ (-).

Beispielsweise:

a) (a + b) _* (a + b)

= a ² + ab + ab + b ²

= a ² + 2ab + b ² .

b) (a + b) _* (a - b)

= a ² - ab + ab - b ²

= a ² - b ² .

c) (a - b) _* (a - b)

= a ² - ab - ab + b ²

= a ² - 2ab + b ² .

In Abteilungen

Wenn Sie zwei Polynome durch eine Division reduzieren möchten, müssen Sie ein drittes Polynom finden, das, multipliziert mit dem zweiten (Divisor), das erste Polynom (Dividende) ergibt.

Dazu müssen die Bedingungen der Dividende und des Divisors von links nach rechts geordnet werden, damit die Variablen in beiden in derselben Reihenfolge sind.

Dann wird die Division durchgeführt, beginnend mit dem ersten Term links von der Dividende bis zum ersten Term links vom Divisor, wobei immer die Vorzeichen jedes Terms berücksichtigt werden.

Reduzieren Sie beispielsweise das Polynom: 10x ⁴ - 48x ³ y + 51x ² und ² + 4xy ³ - 15y ^4, indem Sie es durch das Polynom dividieren: -5x ² + 4xy + 3y ² .

Das resultierende Polynom ist -2x ² + 8xy - 5y ² .

Gelöste Übungen

Erste Übung

Reduzieren Sie die Begriffe des angegebenen algebraischen Ausdrucks:

15a ² - 8ab + 6a ² - 6ab - 9 + 4a ² - 13 ab.

Lösung

Die kommutative Eigenschaft der Addition wird angewendet und gruppiert die Begriffe mit denselben Variablen:

15a ² - 8ab + 6a ² - 6ab + 9 + 4a ² - 13

= (15a ² + 6a ² + 4a ² ) + (- 8ab - 6ab) + (9 - 13).

Dann wird die Verteilungseigenschaft der Multiplikation angewendet:

15a ² - 8ab + 6a ² - 6ab + 9 + 4a ² - 13

= (15 + 6 + 4) a ² + (- 8 - 6) ab + (9 - 13).

Schließlich werden sie vereinfacht, indem die Koeffizienten jedes Terms addiert und subtrahiert werden:

15a ² - 8ab + 6a ² - 6ab + 9 + 4a ² - 13

= 25a ² - 14ab - 4.

Zweite Übung

Vereinfachen Sie das Produkt der folgenden Polynome:

(8x ³ + 7xy ² ) _* (8x ³ - 7 xy ² ).

Lösung

Jeder Term des ersten Polynoms wird mit dem zweiten multipliziert, wobei berücksichtigt wird, dass die Vorzeichen der Terme unterschiedlich sind. Daher ist das Ergebnis seiner Multiplikation negativ, und die Gesetze der Exponenten müssen angewendet werden.

(8x ³ + 7xy ² ) _* (8x ³ - 7xy ² )

= 64 x ⁶ - 56 x ³ _* xy ² + 56 x ³ _* xy ² - 49 x ² y ⁴

= 64 x ⁶ - 49 x ² y ⁴ .

Verweise

1. Angel, AR (2007). Elementare Algebra. Pearson Ausbildung ,.
2. Baldor, A. (1941). Algebra. Havanna: Kultur.
3. Jerome E. Kaufmann, KL (2011). Elementare und mittlere Algebra: Ein kombinierter Ansatz. Florida: Lernen einbinden.
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5. Vigil, C. (2015). Algebra und ihre Anwendungen.