SCHRÄGE LINIEN: EIGENSCHAFTEN, GLEICHUNGEN UND BEISPIELE - MATHE - 2025

Die schrägen Linien sind solche, die entweder relativ zu einer ebenen Fläche oder einer anderen Linie, die eine bestimmte Adresse angibt, geneigt sind. Betrachten Sie als Beispiel die drei Linien, die in einer Ebene gezeichnet sind und in der folgenden Abbildung dargestellt sind.

Wir kennen ihre jeweiligen relativen Positionen, weil wir sie mit einer Referenzlinie vergleichen, die normalerweise die x-Achse ist, die die Horizontale bezeichnet.

Abbildung 1. Vertikale, horizontale und schräge Linien in derselben Ebene. Quelle: F. Zapata.

Auf diese Weise ist bei Auswahl der Horizontalen als Referenz die Linie links vertikal, die Linie in der Mitte horizontal und die Linie rechts schräg, da sie gegenüber den täglichen Referenzlinien geneigt ist.

Jetzt nehmen die Linien, die sich in derselben Ebene befinden, wie z. B. die Oberfläche des Papiers oder des Bildschirms, unterschiedliche Positionen relativ zueinander ein, je nachdem, ob sie sich schneiden oder nicht. Im ersten Fall handelt es sich um Sekantenlinien, im zweiten Fall sind sie parallel.

Andererseits können die Sekantenlinien schräge Linien oder senkrechte Linien sein. In beiden Fällen sind die Steigungen der Linien unterschiedlich, aber die schrägen Linien bilden miteinander Winkel α und β, die sich von 90 ° unterscheiden, während die durch die senkrechten Linien bestimmten Winkel immer 90 ° betragen.

Die folgende Abbildung fasst diese Definitionen zusammen:

Abbildung 2. Relative Positionen zwischen Linien: Parallel, schräg und senkrecht unterscheiden sich in dem Winkel, den sie zueinander bilden. Quelle: F. Zapata.

Gleichungen

Um die relativen Positionen der Linien in der Ebene zu kennen, muss der Winkel zwischen ihnen bekannt sein. Beachten Sie, dass die Zeilen sind:

Parallel : Wenn sie dieselbe Neigung (dieselbe Richtung) haben und sich nie schneiden, sind ihre Punkte gleich weit entfernt.

Zufälle : wenn alle Punkte zusammenfallen und haben somit die gleiche Steigung, aber der Abstand zwischen den Punkten ist gleich Null.

Trockner : Wenn ihre Steigungen unterschiedlich sind, variiert der Abstand zwischen ihren Punkten und der Schnittpunkt ist ein einzelner Punkt.

Eine Möglichkeit, festzustellen, ob zwei Linien in der Ebene sekant oder parallel sind, besteht in ihrer Neigung. Die Kriterien für Parallelität und Rechtwinkligkeit der Linien sind folgende:

Wenn bei Kenntnis der Steigungen zweier Linien in der Ebene keines der vorherigen Kriterien erfüllt ist, schließen wir, dass die Linien schräg sind. Wenn Sie zwei Punkte auf einer Linie kennen, wird die Steigung sofort berechnet, wie wir im nächsten Abschnitt sehen werden.

Es ist möglich herauszufinden, ob zwei Linien sekant oder parallel sind, indem man ihren Schnittpunkt findet und das Gleichungssystem löst, das sie bilden: Wenn es eine Lösung gibt, sind sie Sekanten, wenn es keine Lösung gibt, sind sie parallel, aber wenn die Lösungen unendlich sind, fallen die Linien zusammen.

Dieses Kriterium informiert uns jedoch nicht über den Winkel zwischen diesen Linien, selbst wenn sie sich schneiden.

Um den Winkel zwischen den Linien zu kennen, benötigen wir zwei Vektoren u und v , die zu jedem von ihnen gehören. Somit ist es möglich, den Winkel, den sie bilden, anhand des auf diese Weise definierten Skalarprodukts der Vektoren zu kennen:

u • v = uvcos α

Gleichung der Linie in der Ebene

Eine Linie in der kartesischen Ebene kann auf verschiedene Arten dargestellt werden, z.

- Steigungsschnittform: Wenn m die Steigung der Linie und b der Schnittpunkt der Linie mit der vertikalen Achse ist, lautet die Gleichung der Linie y = mx + b.

- Allgemeine Gleichung der Linie : Ax + By + C = 0, wobei m = A / B die Steigung ist.

In der kartesischen Ebene sind vertikale und horizontale Linien besondere Fälle der Liniengleichung.

- Vertikale Linien : x = a

- Horizontale Linien : y = k

Abbildung 3. Links die vertikale Linie x = 4 und die horizontale Linie y = 6. Rechts ein Beispiel für eine schräge Linie. Quelle: F. Zapata.

In den Beispielen in Abbildung 3 hat die vertikale rote Linie die Gleichung x = 4, während die Linie parallel zur x-Achse (blau) die Gleichung y = 6 hat. Was die Linie rechts betrifft, sehen wir, dass sie schräg ist und um seine Gleichung zu finden, verwenden wir die in der Figur hervorgehobenen Punkte: (0,2) und (4,0) auf diese Weise:

Der Schnitt dieser Linie mit der vertikalen Achse beträgt y = 2, wie aus dem Diagramm ersichtlich ist. Mit diesen Informationen:

Die Bestimmung des Neigungswinkels zur x-Achse ist einfach. Ich fühle, dass:

Daher beträgt der positive Winkel von der x-Achse zur Linie: 180º - 26,6º = 153,4º

Beispiele für schräge Linien

Abbildung 4. Beispiele für schräge Linien. Quelle: Fechter Ian Patterson. Pisas schiefer Turm. Pixabay.

An vielen Stellen treten schräge Linien auf. Es ist wichtig, darauf zu achten, dass sie in Architektur, Sport, Stromversorgungskabeln, Rohren und vielen anderen Orten zu finden sind. In der Natur sind auch die schrägen Linien vorhanden, wie wir unten sehen werden:

Lichtstrahlen

Das Sonnenlicht bewegt sich in einer geraden Linie, aber die runde Form der Erde beeinflusst, wie das Sonnenlicht auf die Oberfläche trifft.

Im Bild unten sehen wir deutlich, dass die Sonnenstrahlen in tropischen Regionen senkrecht auftreffen, in gemäßigten Regionen und an den Polen jedoch schräg die Oberfläche erreichen.

Aus diesem Grund bewegen sich die Sonnenstrahlen über eine längere Strecke durch die Atmosphäre und die Wärme breitet sich über eine größere Oberfläche aus (siehe Abbildung). Das Ergebnis ist, dass die Bereiche in der Nähe der Pole kälter sind.

Abbildung 5. Die Sonnenstrahlen fallen schräg in die gemäßigten Zonen und die Pole, stattdessen sind sie in den Tropen mehr oder weniger senkrecht. Quelle: Wikimedia Commons.

Linien, die sich nicht in derselben Ebene befinden

Wenn sich zwei Linien nicht in derselben Ebene befinden, können sie immer noch schräg oder verzogen sein, wie sie auch genannt werden. In diesem Fall sind ihre Direktorvektoren nicht parallel, aber da sie nicht zur gleichen Ebene gehören, schneiden sich diese Linien nicht.

Zum Beispiel befinden sich die Linien in Abbildung 6 rechts eindeutig in verschiedenen Ebenen. Wenn Sie sie von oben betrachten, können Sie sehen, dass sie sich schneiden, aber keinen gemeinsamen Punkt haben. Rechts sehen wir die Räder des Fahrrads, deren Speichen sich von vorne gesehen zu kreuzen scheinen.

Abbildung 6. Schräge Linien, die zu verschiedenen Ebenen gehören. Quelle: links F. Zapata, rechts Pixabay.

Verweise

1. Geometrie. Direktorvektor einer Linie. Wiederhergestellt von: juanbragado.es.
2. Larson, R. 2006. Kalkül mit analytischer Geometrie. 8 .. Auflage. McGraw Hill.
3. Mathematik ist ein Spiel. Linien und Winkel. Wiederhergestellt von: juntadeandalucia.es.
4. Gerade Linien, die sich schneiden. Wiederhergestellt von: profesoraltuna.com.
5. Villena, M. Analytische Geometrie in R3. Wiederhergestellt von: dspace.espol.edu.ec.