Die Arten von Integralen , die wir im Kalkül finden, sind die unbestimmten Integrale und die bestimmten Integrale. Obwohl bestimmte Integrale viel mehr Anwendungen haben als unbestimmte Integrale, muss zunächst gelernt werden, wie unbestimmte Integrale gelöst werden.
Eine der attraktivsten Anwendungen bestimmter Integrale ist die Berechnung des Volumens eines Rotationskörpers. Beide Arten von Integralen haben die gleichen Eigenschaften der Linearität und auch die Integrationstechniken hängen nicht von der Art des Integrals ab.
Fest der Revolution
Aber obwohl es sehr ähnlich ist, gibt es einen Hauptunterschied; Beim ersten Integraltyp ist das Ergebnis eine Funktion (die nicht spezifisch ist), während beim zweiten Typ das Ergebnis eine Zahl ist.
Grundtypen von Integralen
Die Welt der Integrale ist sehr breit, aber darin können wir zwei Grundtypen von Integralen unterscheiden, die im täglichen Leben eine große Anwendbarkeit haben.
1- Unbestimmte Integrale
Wenn F '(x) = f (x) für alle x in der Domäne von f ist, sagen wir, dass F (x) ein Antiderivativ, ein Primitiv oder ein Integral von f (x) ist.
Nehmen wir andererseits an, dass (F (x) + C) '= F' (x) = f (x), was impliziert, dass das Integral einer Funktion nicht eindeutig ist, da wir unterschiedliche Werte für die Konstante C erhalten Antiderivate.
Aus diesem Grund heißt F (x) + C das unbestimmte Integral von f (x) und C heißt die Integrationskonstante und wir schreiben es folgendermaßen
Unbestimmtes Integral
Wie wir sehen können, ist das unbestimmte Integral der Funktion f (x) eine Familie von Funktionen.
Wenn Sie beispielsweise das unbestimmte Integral der Funktion f (x) = 3x² finden möchten, müssen Sie zuerst ein Antiderivativ von f (x) finden.
Es ist leicht zu erkennen, dass F (x) = x³ ein Antiderivativ ist, da F '(x) = 3x². Daraus kann geschlossen werden, dass
∫f (x) dx = ∫3x²dx = x³ + C.
2- Bestimmte Integrale
Sei y = f (x) eine reelle, stetige Funktion in einem geschlossenen Intervall und sei F (x) ein Antiderivativ von f (x). Das bestimmte Integral von f (x) zwischen den Grenzen a und b wird als Zahl F (b) -F (a) bezeichnet und wie folgt bezeichnet
Fundamentalsatz der Analysis
Die oben gezeigte Formel ist besser bekannt als "The Fundamental Theorem of Calculus". Hier wird "a" als Untergrenze und "b" als Obergrenze bezeichnet. Wie Sie sehen können, ist das bestimmte Integral einer Funktion eine Zahl.
In diesem Fall wird eine Zahl erhalten, wenn das bestimmte Integral von f (x) = 3x² in dem Intervall berechnet wird.
Um diese Zahl zu bestimmen, wählen wir F (x) = x³ als Antiderivativ von f (x) = 3x². Dann berechnen wir F (3) -F (0), was das Ergebnis 27-0 = 27 ergibt. Zusammenfassend ist das bestimmte Integral von f (x) im Intervall 27.
Es kann angemerkt werden, dass, wenn G (x) = x³ + 3 gewählt wird, G (x) ein Antiderivativ von f (x) ist, das sich von F (x) unterscheidet, dies jedoch das Ergebnis nicht beeinflusst, da G (3) -G ( 0) = (27 + 3) - (3) = 27. Aus diesem Grund erscheint die Integrationskonstante nicht in den bestimmten Integralen.
Eine der nützlichsten Anwendungen dieser Art von Integral besteht darin, dass wir die Fläche (das Volumen) einer ebenen Figur (eines Rotationskörpers) berechnen und geeignete Funktionen und Integrationsgrenzen (und eine Rotationsachse) festlegen können.
Innerhalb der bestimmten Integrale finden wir verschiedene Erweiterungen davon, wie z. B. Linienintegrale, Oberflächenintegrale, falsche Integrale und Mehrfachintegrale, die alle sehr nützliche Anwendungen in Wissenschaft und Technik haben.
Verweise
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