Es wird als relativ prim (Koprime oder relativ prim zueinander) bezeichnet, wenn ein Paar von ganzen Zahlen keinen anderen gemeinsamen Teiler als 1 hat.
Mit anderen Worten, zwei ganze Zahlen sind relative Primzahlen, wenn sie bei ihrer Zerlegung in Primzahlen keinen gemeinsamen Faktor haben.
Wenn zum Beispiel 4 und 25 gewählt werden, sind die Primfaktoren von jeweils 2² bzw. 5². Wie zu sehen ist, haben diese keine gemeinsamen Faktoren, daher sind 4 und 25 relative Primzahlen.
Wenn andererseits 6 und 24 ausgewählt werden, erhalten wir bei der Zerlegung in Primfaktoren 6 = 2 * 3 und 24 = 2³ * 3.
Wie Sie sehen können, haben diese beiden letzten Ausdrücke mindestens einen Faktor gemeinsam, daher sind sie keine relativen Primzahlen.
Verwandte Cousins
Ein Detail, mit dem man vorsichtig sein muss, ist, dass die Aussage, dass ein Paar von ganzen Zahlen relative Primzahlen sind, nicht bedeutet, dass eine von ihnen eine Primzahl ist.
Andererseits kann die obige Definition wie folgt zusammengefasst werden: Zwei ganze Zahlen "a" und "b" sind relative Primzahlen, wenn und nur wenn der größte gemeinsame Teiler von diesen 1 ist, dh gcd ( a, b) = 1.
Zwei unmittelbare Schlussfolgerungen aus dieser Definition sind:
-Wenn «a» (oder «b») eine Primzahl ist, ist gcd (a, b) = 1.
-Wenn «a» und «b» Primzahlen sind, ist gcd (a, b) = 1.
Das heißt, wenn mindestens eine der ausgewählten Zahlen eine Primzahl ist, dann ist das Zahlenpaar direkt eine relative Primzahl.
Andere Eigenschaften
Andere Ergebnisse, die verwendet werden, um zu bestimmen, ob zwei Zahlen relative Primzahlen sind, sind:
-Wenn zwei ganze Zahlen aufeinander folgen, handelt es sich um relative Primzahlen.
- Zwei natürliche Zahlen "a" und "b" sind nur dann relative Primzahlen, wenn die Zahlen "(2 ^ a) -1" und "(2 ^ b) -1" relative Primzahlen sind.
- Zwei ganze Zahlen «a» und «b» sind genau dann relative Primzahlen, wenn der Punkt (a, b) in der kartesischen Ebene grafisch dargestellt und die Linie konstruiert wird, die durch den Ursprung (0,0) und ( a, b) enthält keinen Punkt mit ganzzahligen Koordinaten.
Beispiele
1.- Betrachten Sie die ganzen Zahlen 5 und 12. Die Zerlegungen in Primfaktoren beider Zahlen sind: 5 bzw. 2² * 3. Zusammenfassend ist gcd (5,12) = 1, daher sind 5 und 12 relative Primzahlen.
2.- Lassen Sie die Zahlen -4 und 6. Dann -4 = -2² und 6 = 2 * 3, so dass das LCD (-4,6) = 2 ≠ 1 ist. Zusammenfassend sind -4 und 6 keine relativen Primzahlen.
Wenn wir die Linie, die durch die geordneten Paare (-4,6) und (0,0) verläuft, grafisch darstellen und die Gleichung dieser Linie bestimmen, kann überprüft werden, ob sie durch den Punkt (-2,3) verläuft.
Wiederum wird geschlossen, dass -4 und 6 keine relativen Primzahlen sind.
3.- Die Zahlen 7 und 44 sind relative Primzahlen und können dank der obigen Ausführungen schnell geschlossen werden, da 7 eine Primzahl ist.
4.- Betrachten Sie die Zahlen 345 und 346. Als zwei aufeinanderfolgende Zahlen wird verifiziert, dass gcd (345,346) = 1 ist, daher sind 345 und 346 relative Primzahlen.
5.- Wenn die Zahlen 147 und 74 berücksichtigt werden, dann sind dies relative Primzahlen, da 147 = 3 * 7² und 74 = 2 * 37, daher ist das LCD (147,74) = 1.
6.- Die Zahlen 4 und 9 sind relative Primzahlen. Um dies zu demonstrieren, kann die oben erwähnte zweite Charakterisierung verwendet werden. In der Tat ist 2 ^ 4 -1 = 16-1 = 15 und 2 ^ 9-1 = 512-1 = 511.
Die erhaltenen Zahlen sind 15 und 511. Die Primfaktoren dieser Zahlen sind 3 * 5 bzw. 7 * 73, so dass gcd (15.511) = 1 ist.
Wie Sie sehen, ist die Verwendung der zweiten Charakterisierung eine längere und mühsamere Aufgabe als die direkte Überprüfung.
7.- Betrachten Sie die Zahlen -22 und -27. Dann können diese Zahlen wie folgt umgeschrieben werden: -22 = -2 * 11 und -27 = -3³. Daher ist gcd (-22, -27) = 1, also sind -22 und -27 relative Primzahlen.
Verweise
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